2023-2024学年浙江省杭州市滨江区八年级(上)期末数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市滨江区八年级（上）期末

数学试卷

一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（3分）下列图形中，属于轴对称图形的是（）

B.

D.

2.（3分）已知三角形的两边长分别为5cm和7cm,则第三边的长可以是)

A.1cmB.2cmC.6cmD.12cm

3.(3分)若aVO,b>0,则点(a,b+1)在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（3分）等腰三角形的一个外角是80°,则其底角等于（)

A.40°B.80°C.100°D.40°或100°

5.（3分）已知aVbVO,则下列各式中，正确的是（

A.3a>3bB.a2Vb2

C.一4a+l>-4b+lD.

一5-5

6.（3分）点M（3,-3）关于y轴对称的点的坐标是（）

A.(3,-3)B.(3,3)C.(-3,3)D.(一3,-3)

7.（3分）对于一次函数y=-5x+3,下列结论正确的是（）

A.图象经过（-1,1）B.y随x的增大而减小

C.图象经过一、三、四象限D.不论x取何值，总有yVO

8.（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的4ABC的是（）

A.ZA=90°,ZB=30°B.AB=3,BC=4

C.ZA=20°,ZB=120°,ZC=40°D,NA=30°,ZB=45°,AB=3

9.（3分）已知（xpy＞，（x2,y2）,（x3,y3）为直线y=2x-1上的三个点，且X]Vx2Vx?,

第1页（共5页）

则以下判断正确的是（）

A.若X|X3<0,则丫1丫2>0B.若X］》>。，则y2y3>0

C.若%*3<0,则丫］丫2>0D.若X2X3<0,则丫1丫3>。

10.（3分）如图，在AABC中，CA=CB=8,AB=6,ZC<90°,点D,E,F分别在边

BC,AC,AB上，连接DF,DE.已知点B和点E关于直线DF对称，若ED=CD,则

CE的长为（）

二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.

11.（3分）函数的自变量x的取值范围是

yx+2---------------

12.（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡

钳）在图中，若测量得AB'=10cm,则工件内槽宽AB为cm.

13.（3分）将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写

为.

14.（3分）一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣

2分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了题.

15.（3分）已知关于x的一次函数y1=ax+b与y2=bx+a（a,b为常数，a>b且abWO）,

下列结论：①点（1,a+b）在函数yi=ax+b图象上；②若丫］>丫2，则x>l；③若a+b

=0,则函数yi=ax+b一定不经过第二象限；④若函数y2=bx+a经过点（2,0）,则函

数yi=ax+b一定经过点（_/，0）.其中正确结论的序号是.

16.（3分）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法

证明了勾股定理.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,分别以AB,AC和BC为边，

第2页（共5页）

按如图所示的方式作正方形ABKH,ACIG和BCFD,KH与CI交于点J,AB与DF交于

点E.若四边形BCFE和△HIJ的面积和为5,四边形ACJH和aBDE的面积和为12,则

AC+BC的值为.

三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(6分)解不等式(组)：

’3-5x.3x+l1

(1)5x-3<l-3x；(2).2-32.

3(x-l)<6

18.(6分)如图，已知N饼口线段a,b,用直尺和圆规作aABC,使/B=N®BC=a,AC

=b,这样的三角形能作几个？(保留作图痕迹)

a

19.(8分)如图，在AABC中，AD是AABC的高线，AE是aABC的角平分线.

(1)若NB=60°,ZC=40°,求NDAE的度数.

(2)若/B=a,ZC=P(a>p),请直接写出NDAE的度数(用含a,掰代数式表示).

20.(8分)一次函数的图象经过M(3,2),N(-2,-8)两点.

(1)求此函数的表达式.

(2)试判断点P(3a,6a-4)是否在此函数的图象上，并说明理由.

第3页(共5页)

21.(10分)如图，在aABC中，ZABC=45°,CD±AB于点D,BE1AC于点E,CD与

BE相交于点F.

(1)求证：BF=AC；

(2)若NA=60°,AADC的中线DG=1,求BC的长.

22.（10分）甲、乙两车分别从相距200km的A,B两地相向而行，乙车比甲车先出发小

4

时，两车分别以各自的速度匀速行驶.甲从A地出发，行驶80千米到达C地（A,B,C

三地在同一直线上）时，因有事停留了5小时后，按原速度继续前往B地，乙车从B地

4

经过4小时直达A地的同时，甲车也到达了B地.甲、乙两车距A地的路程分别记为yi

（km）,y2（km）,它们与乙车行驶的时间x（h）的函数关系如图所示.

（1）分别求出甲、乙两车的速度及丫2关于X的函数表达式•

（2）试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇.

23.（12分）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数

学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部A点

恰好在点B的正北方向，测量方案如下表:

课题测量河流宽度

工具测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等

小组第一小组第二小组第三小组

第4页（共5页）

(2)第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所

求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行,

请说明理由.

(3)请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后

指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并说明方案的可

行性.

24.(12分)如图1,已知4ABC和4DBE都是等边三角形，且点D在边AC上，AD>CD.

（1）求证：Z\ABD^ACBE.

(2)求NDCE的度数.

(3)如图2,过点B作BF_LAC于点F,设4BCE的面积为Si，ABCD的面积为S2,

求ABFD的面积(用含Si，52的代数式表示).

（151）（图2）

第5页(共5页)

2023-2024学年浙江省杭州市滨江区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1•【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫

做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两

旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.

选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

所以是轴对称图形.

故选：A.

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置.

2.【分析】设三角形第三边的长是x,由三角形三边关系定理得到2Vx<12,即可得到答案.

【解答】解：设三角形第三边的长是X,

.\7-5<x<7+5,

：.2<x<12,

.•.第三边的长可以6cm.

故选：C.

【点评】本题考查三角形三边关系定理，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边

之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边

3.【分析】根据点在平面直角坐标系中第二象限的坐标特点解答即可.

【解答】解：：a<0,b>0,

.\b+l>0,

点、（a,b+1）在第二象限.

故选：B.

【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限

的符号特点分别是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限第四

象限（+,-）.

4.【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解.

第1页（共15页）

【解答】解：：等腰三角形的一个外角为80。，

二相邻角为180°-80°=100°,

•.•三角形的底角不能为钝角，

.•.100°角为顶角，

二底角为:（180°-100°）+2=40°.

故答案为：A.

【点评】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会

用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

5.【分析】运用不等式的性质进行逐一辨别、求解.

【解答】解：:.aCbVO,

根据不等式的性质2,得3a<3b；

根据不等式的性质3,得a2>ab>b2,即a2>b2；

根据不等式的性质1和3,得-4a+1>-4b+1；

根据不等式的性质3,得吃〉-L,

-5~5

二选项C符合题意，选项A,B,1）不符合题意，

故选：C.

【点评】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行辨别.

6.【分析】让横坐标为原来点的相反数，纵坐标不变即可得到关于y轴对称的点的坐标.

【解答】解：...是关于y轴对称，原来点的坐标为（3,-3）,

二所求点的横坐标为-3,纵坐标为-3,

即（-3,-3）,

故选：D.

【点评】考查关于y轴对称的点的特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标

互为相反数，纵坐标不变.

7.【分析】根据一次函数y=-5x+3的图象和性质，对所给选项依次判断即可.

【解答】解：将x=-l代入函数解析式得，

y=-5X（-1）+3=8W1,

所以点（-1,1）不在一次函数的图象上.

故A选项错误.

第2页（共15页）

因为-5<0,

所以一次函数y=-5x+3中y随x的增大而减小.

故B选项正确.

因为一次函数与y轴交于点（0,3）,且y随x的增大而减小，

所以该一次函数的图象经过第一、二、四象限.

故C选项错误.

当x=-1时，

y=-5X（-1）+3=8>0.

故D选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键.

8.【分析】由全等三角形的判定，即可判断.

【解答】解：A、C中的条件没有边的长度，不能画出唯一的AABC,故A、C不符合题

意；

B、只是知道两边的长度，还缺少两边的夹角或第三边的长度，不能画出唯一的aABC,

故B不符合题意；

D、已知两角和这两角的夹边，由ASA判定能画出唯一的aABC,故D符合题意.

故选：1）.

【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS,ASA,

AAS,SSS,HL.

9.【分析】根据一次函数y=2x-l的图象和性质即可解决问题.

【解答】解：一次函数y=2x-1的图象如图所示,

因为且

所以xi<0,x3>0.

结合函数图象可知，

此时yi<0，但丫2的正负无法确定.

故A选项错误.

因为X]X2>0,

则xi>0，x2>0或X]V0,x2<0,

当x2>0时，

第3页（共15页）

丫2和丫3的正负都无法确定.

故B选项错误.

因为

所以X2<0，x3>0,

则xi〈O.

结合函数图象可知，

Yi<0,y2<0,

>0

所以yiy2-

故C选项正确.

结合上述过程，

当x3>0时，丫3的正负无法确定，

故D选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查一次函数的图象和性质，根据所给条件，进行正确的讨论是解题的关

键.

10.【分析】如图，连接EB,过点C作CJ_LAB于点J.首先证明BELAC,利用面积法求

出BE,再利用勾股定理求出CE.

【解答】解：如图，连接EB,过点C作CJ_LAB于点J.

VB,E关于DF对称,

.\DB=DE,

VED=DC,

ADB=DE=DC,

ZBEC=90°,

ABE±AC,

：CA=CB=8,CJ±AB,

•**AJ=JB—*AB=3,

2

•••CJ=VAC2-AJ2=VS2-32=^55,

•*-S^ABC=QJ=』cacEBE,

22

第4页（共15页）

.RP_6XV55_3V55

•.BE-一§-------二

...CE=VBC2-BE2=^82-(3^L^2=^..

故选：B.

【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是

学会利用面积法解决问题.

二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.

11.【分析】根据分式的分母不为0可得X+2W0,即可得出答案.

【解答】解：由题意得：X+2W0,

解得：xW-2.

故答案为：xW-2.

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，准确熟练地进行计算是解题的关键.

12.【分析】根据全等的SAS定理证得aAOB丝ZXA'0B',即可得到A'B'=AB,进而

得出答案.

【解答】解：连接A'B',如图，

,:点、0分别是AA'、BB'的中点，

AOA=0A',OB=0B',

在△AOB和4A'OB'中，

，ZA0B=ZAyOB',

[OB=OB，

」.△AOB/Z\A'OB'(SAS).L-~-)

:.A'B'=AB,

'.'AB—10cm,

AB=10cm,

故答案为：10.

【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等.

13.【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相

等，应放在“那么”的后面.

【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；

第5页(共15页)

故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面

是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，

比较简单.

14.【分析】设小滨答错了x道题，则答对（IO-1-x）道题，利用总分=5X答对题目数-

2X答错题目数，结合小滨的竞赛成绩超过30分，可列出关于x的一元一次不等式，解

之取其中的最大整数值，即可得出结论.

【解答】解：设小滨答错了x道题，则答对（10-1-x）道题，

根据题意得：5（10-1-x）-2x>30,

解得：x〈K,

7

又为自然数，

.'.X的最大值为2,

二小滨至多答错了2道题.

故答案为：2.

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一

次不等式是解题的关键.

15.【分析】①将点（1,a+b）代入y产ax+b即可判断；②根据题意列不等式，求解即可;

③若a+b=0,又a>b,则a>0,b<0,根据一次函数图象的性质判断即可；④将点（2,

0）代入y2=bx+a,可得a=-2b,将a=-2b代入y〕=ax+b,得到y]=-2bx+b,再判

断其是否经过（[，0）即可.

2

【解答】解：将x=l代入yi=ax+b,得y]=a+b,

:.点、（1,a+b）在函数yi=ax+b图象上，

故①正确；

若丫1>丫2，即ax+b>bx+a,解得x>l,

故②正确；

若a+b=0,又a>b,则a>0,b<0,

，yi=ax+b的图象占一、三、四象限，

二函数一定不经过第二象限，

故③正确；

第6页（共15页）

将（2,0）代入y2=bx+a,得y2=2b+a=0,

/.a=-2b,

./=-2bx+b,

当X=2时，y.=-2bxA+b=0,

22

二函数yi=ax+b一定经过点,，Q）,

故④正确.

故答案为：①②③④.

【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式的联系，

熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

16.【分析】可证明4AEF与△HJI全等，进而得出AABC的面积，再将所给的面积全部相

加,得出正方形BCFD和梯形ACIH的面积之和，用AC和BC的长将其表示出来即可解

决问题.

【解答】解：由题知，

令BC—a,AC—b,

:四边形ABKH和四边形ACIG是正方形，

ZBAH=ZCAG=90°,AB=AH,AC=AG,

AZBAH-ZCAH=ZCAG-ZCAH,

即NBAC=ZHAG.

在ABAC和中，

'AB=AH

.ZBAC=ZHAG,

AC=AG

.•.ABAC^AHAG（SAS）,

AHG=BC=a.

又：AF=b-a,IH=b-a,

AAF=IH.

VZHAG+ZAHG=ZAHG+ZJHI=90°,

ZHAG=ZJHI,

AZBAC=ZJHI.

在AEAF和△JHI中,

第7页（共15页）

2EFA=/I

■AF=IH,

ZBAC=Z.THI

AAAEF丝△HJI（ASA）,

=S

S^AEFAHJI-

又：四边形BCFE和△HIJ的面积和为5,

；.S西.BCFE+S.AEF=5,

即S4ABC=5,

,•yab=5»

则ab=10.

又•・•四边形BCFE和△HIJ的面积和为5,四边形ACJH和△BDE的面积和为12,

将四部分的面积相加得，

S正才”DFC+S借”CIH=17,

.*.a2+b2-lab=17,

则a2+b2=22.

.・.（a+b）2=a2+b2+2ab=22+2X10=42,

贝!Ia+b=J^（舍负），

即AC+BC的值为

故答案为：V42.

【点评】本题考查勾股定理的证明，整体思想的巧妙运用是解题的关键.

三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17•【分析】（1）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，然后把x的系数化为1得

到不等式的解集即可；

（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解

集.

【解答】解:（1）5x-3<l-3x,

移项得5x+3x<l+3,

合并得8x<4,

系数化为1得x<2；

2

第8页（共15页）

3（x-l）＜6（2）

解①得x＜会，

解②得xW3,

所以不等式组的解集为

21

【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各

不等式的解集，再求出这些解集的公共部分.解集的规律：同大取大；同小取小；大小

小大中间找；大大小小找不到.也考查了解一元一次不等式.

18.【分析】先作NMBN再在0M上截取BC=a,然后以C为圆心，b为半径画弧

交BN于A和A',则4ABC和AA'BC满足条件.

【解答】解：这样的三角形能作2个.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，

一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图

形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

19.【分析】（I）由高线可得NADB=90°,再由三角形的内角和可求得NBAD=30°,Z

BAC=80°,利用角平分线的定义可求得/BAE=40°,从而可求NDAE的度数；

（2）参照（1）进行求解即可.

【解答】解：（1）VAD是aABC的高线，

AZADB=90°,

：/B=60°,NC=40°,

ZBAD=1800-ZB-ZADB=30°,

第9页（共15页）

ZBAC=180°-NB-NC=80°,

VAE是aABC的角平分线，

ZBAE=—ZBAC=40°,

2

AZDAE=/BAE-ZBAD=10°；

(2)VAD是ZiABC的高线，

AZADB=90",

：NB=a,ZC=ft

ZBAD=180°-ZB-ZADB=90°-a,

ZBAC=180°-ZB-NC=180°-a-ft

VAE是Z\ABC的角平分线，

ZBAE=AZBAC=90°-1•a」B，

222

ZDAE=NBAE-ZBAD=工a'B.

22P

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间

的关系.

20.【分析】(1)利用待定系数法求直线MN的解析式即可；

(2)利用(1)中的解析式，通过计算自变量为3a对应的函数值可判断点P是否在此函

数的图象上.

【解答】解：(1)设一次函数解析式为y=kx+b,

把M(3,2),N(-2,-8)分别代入得，(3k+b=2，

-2k+b=-8

解得卜七，

(b=-4

二一次函数解析式为y=2x-4；

(2)点P(3a,6a-4)此函数的图象上.

理由如下：

:•当x=3a时，y=2x-4=6a-4,

二点P(3a,6a-4)在直线y=2x-4上.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b,则需要两组x,

y的值.也考查了一次函数图象上点的坐标特征.

21.【分析】(1)根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出NDAC=ZDFB,BD=CD,

第10页(共15页)

利用AAS证明AACD^AFBD,根据全等三角形的性质即可得解；

(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出AC=2,AD=1,再根据勾股定理求解即可.

【解答】(1)证明：1CD±AB,

AZCDA=ZBDF=90°,

AZDBF+ZDFB=1800-ZBDF=90°,

又〈BEJLAC,

AZBEA=90°,

AZDBF+ZDAC=180°-ZBEA=90°,

ZDAC=ZDFB,

XVZABC=45°,

：.ZDCB=180°-ZABC-ZBDF=45°=ZABC,

ABD=CD,

在△ACD和△FBD中，

，ZDAC=ZDFB

-ZCDA=ZBDF,

CD=BD

」.△ACD丝△FBD(AAS),

AAC=BF；

(2)解：如图，/

在RtAACD中，中线DG=1,n/\

：.AC=2DG=2,/Z

VZA=60°,ZADC=90°,

BC

：.ZACD=30°,

AD=—AC=1,

2

•■•CD=VAC2-AD2=V3=BD,

•'•BC=VBD2CD2=V6.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识,

利用AAS证明4ACD^AFBD是解题的关键.

22.【分析】(1)根据路程除以时间可得甲，乙的速度；用中路程减去乙行驶的路程可列出

丫2关于x的函数表达式;

第11页(共15页)

(2)通过计算可知乙车在甲车停留时和甲车相遇；再列出式子2QQ二8。.计算即可.

50

【解答】解：(1)甲车速度为200+(4----)=80(km/h)；乙车的速度为200・4

44

=50(km/h)；

根据题意，y2=200-50x；

(2)当甲车行驶80千米到达C地时，x=^.+804-80=—,

44

此时乙车行驶的路程为国X50=62.5(km),

4

♦.•甲车有事停留了$小时，

4

二甲车停留时，乙车又行驶了9x50=62.5(km),

4

V62.5+62.5+80200,

二乙车在甲车停留时和甲车相遇；

..200-80=24(h),

50

二乙车在出发2.41后与甲车相遇.

【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用

的信息.

23.【分析】(1)判定aABC是等腰直角三角形，即可得到BC=AB,

(2)由ASA证明AABO丝△FEO，推出EF=AB,

(3)由ASA证明AABC^ADBC,推出BI)=AB.

【解答】解：(1)VABJ_BC,ZACB=45°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

ABC=AB,

二河宽AB的长度就是线段BC的长度.

故答案为：BC；

(2)第二小组的方案可行，理由如下：

V0是BE中点，

AOB=0E,

VAB±BE,EF±BE,

AZABO=ZFE0=90°,

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在aABO和△FEO中，

rZABO=ZFEO

•BO=EO,

ZAOB=ZFOE

.'.△ABO^AFEO(ASA),

AEF=AB,

二河宽AB的长度就是线段EF的长度.

（3）见表格,

课测量河流宽度

题

工测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等

具

小第一小组第二小组第三小组

组

测观测者从B点向正东走到C观测者从B点向正东走到E观测者从B点向正西走到C

量点，此时恰好测得：ZACB点，0是BE的中点，继续点，使用测量角度的仪器测

方=45。从点E沿垂直于BE的EF得/BCD