2023-2024学年全国高考数学倒计时模拟卷含解析

2023-2024学年全国高考数学倒计时模拟卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知taim=侬2',贝口（

）

V2）V2Jl-sm2p

c兀

A.2a+〃=gB.a/3=—

C.a-/3=-D.cc+2/7=—

4

2.函数sin2x的图象可能是

3.已知”，夕是两平面，I,m,〃是三条不同的直线，则不正确命题是（）

A.若m^a,nila,贝!!mVnB.若mHa,nila,贝！|瓶〃〃

C.若LLa,lUp,贝（Ja"D.若a"。,IUB，且〃/“，则〃/

为得到函数y=cos12x+1J的图像，只需将函数y=sin2%的图像（）

4.

A.向右平移二个长度单位B.向右平移二个长度单位

612

5兀5兀

C.向左平移二个长度单位D.向左平移一个长度单位

612

5.要得到函数＞=5M。》+?]的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

A.向右平移J个单位B.向右平移£个单位

o3

C.向左平移£个单位D.向左平移?个单位

3o

6.函数/（力=三-三+x的图象在点（1"（功处的切线为/,贝!J/在y轴上的截距为（）

A.-1B.1C.-2D.2

7.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100],

若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）

8.已知集合用={刈-1<》<2},N={x|x(x+3)<0},则MCN=()

A.[-3,2)B.(-3,2)C.(-1,0]D.(-1,0)

9.设全集U={xeZ|(x+l)(x—3)W0},集合A={0,l,2},贝!)<?*=()

A.{-1,3}B.{-1,0}C.{0,3}D.{-1,0,3}

10.“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数九，如果〃为偶数就除以2,如果九是奇数，就将其乘3再加

1,执行如图所示的程序框图，若输入”=10,则输出i的（）

/输血/

CW)

A.6B.7C.8D.9

11.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60。，则双曲线C的方程不可能为（）

22222222

A.土-乙=1B.土-乙=1C.工-土=1D.匕-土=1

155515312217

12.2021年某省将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、

政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

1111

A.—B.—C.—D.一

8462

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖膈，如图，在鳖麝P-A5C中，平面ABC,

ABLBC,且AP=AC=4,过4点分别作于点E,APLPC于点歹，连接所，则三棱锥P—A所的

体积的最大值为.

14.函数/（x）=ln（l-x）+J4+3x-d的定义域是.（写成区间的形式）

15.已知函数/（尤）=（：05%-1082（2*+1）+公（0€£）为偶函数，则。=.

16.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.某校在周末学生业余兴趣活动中开

展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的

不同安排种数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)求函数y=Jl-x+j3x+2的最大值.

18.(12分)已知函数/(x)=lnx-依+a,其中a>0.

(1)讨论函数/(x)的零点个数；

(2)求证：ex+sinx>xlnx+1.

19.(12分)某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数

据分为[9,10)[10,11),[11,12),[12,13),[13,14]五个小组(所调查的芯片得分均在[9,14]内)，得到如图所示的频率分布

直方图，其中a—〃=(M8.

jUWffl距

03sl---------------

0^F:rlIT'h.

°91011121314分敷(单位，万分)

(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).

(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。

若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认

定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二

测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分,

手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方

法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均

为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元,

试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由.

20.(12分)已知定点4(-3,0),5(3,0),直线AM、相交于点〃，且它们的斜率之积为-土，记动点”的轨

迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程；

(2)过点7(1,0)的直线与曲线C交于P、。两点，是否存在定点S(x0,0),使得直线SP与SQ斜率之积为定值，

若存在，求出S坐标；若不存在，请说明理由。

21.(12分)已知函数/(x)=#+cosx(aeR),/(x)是/(尤)的导数.

(1)当。=1时，令//(%)=/'(%)—x+InX,"(x)为/i(x)的导数.证明：，(x)在区间存在唯一的极小值点；

2TC

(2)已知函数y=/(2x)—-/在0,-上单调递减，求。的取值范围.

3_2_

x=t(x=cosO

22.(10分)已知直线/：厂厂口为参数)，曲线。1：<.八(。为参数).

、y=73+<3t[y=sing

(1)设/与C]相交于A,B两点,求|A到；

(2)若把曲线G上各点的横坐标压缩为原来的,倍，纵坐标压缩为原来的且倍，得到曲线C,设点P是曲线。2上

22

的一个动点，求它到直线/距离的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

利用二倍角公式，和同角三角函数的商数关系式，化简可得tana=8s=tan+£],即可求得结果.

l—sin2£<4)

【详解】

cos2(3cos2sin201+tan/

tana==tan?+夕,

1-sin2(3cos2P+sin2/?-2sinpcos/31-tan

JTIT

所以&=—+〃，即

44

故选:C.

【点睛】

本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数，难度较易.

2、D

【解析】

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在4,兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令/(%)=2®sin2x,

因为九£R,于(-Q=2Tsin2(—%)=-2Wsin2x=-f(x),所以f(x)=2®sin2%为奇函数，排除选项A,B;

jr

因为兀)时，/(x)<0,所以排除选项C,选D.

2

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值

域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性;

(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复.

3、B

【解析】

根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面

垂直的判定定理，判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.

【详解】

A.若〃//。，则在&中存在一条直线/,使得///〃，lua,贝！JmJJ,又///〃，那么相」〃，故正确；

B.若mlla,nlla,则相〃”或相交或异面，故不正确；

C.若〃//?,则存在au/?,使///1,又:.aVa,则。，尸，故正确.

D.若a//£,且///a,贝或////7,又由/a":.111/3,故正确.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.

4、D

【解析】

TTTTTC)TC57cTC

y=cos(2x+—)=sin(2x+—+—)=sin(2x+—)=sin2(x+—),所以要的函数y=cos(2x+—)的图象，只需将

3326123

57r

函数y=sin2x的图象向左平移上个长度单位得到，故选D

12

5、D

【解析】

直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；

【详解】

解：函数y=sin[2x+?]=sin

•••要得到函数y=sin[2x+的图象，

只需将函数y=sin2x的图象向左平移B个单位.

O

故选：D.

【点睛】

本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题.

6、A

【解析】

求出函数在x=1处的导数后可得曲线在(1,7(1))处的切线方程，从而可求切线的纵截距.

【详解】

f'(x)=3x2-2x+l,故"1)=2,

所以曲线y=/(x)在(1"(功处的切线方程为：y=2(x-l)+/(l)=2x-l.

令x=0,则y=-1,故切线的纵截距为—1.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题

属于基础题.

7、D

【解析】

根据频率分布直方图中频率=小矩形的高x组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频会数求出班级人数.

频率

【详解】

根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是(0.005+0.010)x20=0.30,

1Q

...样本容量(即该班的学生人数)是中=60(人).

0.30

故选：D.

【点睛】

频数

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率日的应用问题,属于基础题

样本容量

8,C

【解析】

先化简N={x|x(x+3)S0}={M-3SrW0},再根据M={^-1VxV2},求两集合的交集.

【详解】

因为N={x|x(x+3)<0}={x|-3Sc<0},

又因为M={x|-l<x<2},

所以MHN^[x\-l<x<0}.

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9^A

【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合A的补集.

【详解】

由(x+l)(x-3)W0解得—0K3,故。={—1,0,123},所以的人={—1,3},故选A.

【点睛】

本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

10、B

【解析】

模拟程序运行，观察变量值可得结论.

【详解】

循环前，=1,”=10,循环时：n=5,i=2,不满足条件〃=1；"=16,，=3,不满足条件〃=1；巩=8,，=4,不满

足条件〃=1；n=4,i=5,不满足条件〃=1；n=2,i=6,不满足条件〃=1；n=l,i=7,满足条件〃=1,退出

循环，输出i=7.

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论.

11,C

【解析】

判断出已知条件中双曲线。的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.

【详解】

两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与X轴的夹角时要分为两种情况.依题意，双曲渐近线与X轴的夹角为30。或60。,

双曲线C的渐近线方程为了=土/x或y=±石X.A选项渐近线为y=±gx,B选项渐近线为y=±也x,C选项

122

渐近线为y=土5X，D选项渐近线为y=±6x.所以双曲线C的方程不可能为，一%=1・

故选：C

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

12、B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有C；=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率尸=—=一,

124

故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、逑

3

【解析】

由已知可得△AEGAPE尸均为直角三角形，且A尸=20,由基本不等式可得当AE=E^=2时，△AEF的面积最

大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值.

【详解】

由如_L平面ABC,得四_L3C,

XAB±BC,KPAHAB^A,PAB,贝!]5cLLAE,

XPBVAE,贝！JAE_L平面尸JBC,

于是AE_LE尸，且AE_LPC,结合条件AF_LPC,得PC_L平面AEB,

：./\AEF.△PEF均为直角三角形，由已知得A尸=2起,

而SAAEF=LXAEXEFCAE2+EF2)=工4尸2=2,

244

当且仅当AE=E^=2时，取“="，此时AAEF的面积最大,

三棱锥P-AEF的体积的最大值为：

VP.AEF=1XPFXS*AEF=-X2V2X2=^1

333

故答案为殍

【点睛】

本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属

于中档题.

14.[-1,1）

【解析】

[1-x>0Ix<1

要使函数,⑶有意义’需满足4+­。,即解得TC故函数小）的定义域是TD.

1

15、

2

【解析】

根据偶函数的定义列方程，化简求得。的值.

【详解】

由于/（%）为偶函数，所以=

即cos（-%）-log2（2一*+1）—ax=cosx-log2（2*+1）+at,

即cosx-log2（+1）—at=cosx-log2（2*+1）+ax,

gplog2（2*+1）-log2（2-*+1）-2ax=0,

XX

即2'+1nnl（2*+1>2'c.八口“（2+1Y2AN

即l°g22一+]—2ax=0'即现2Q-*+1）2*—2ax=°，即log2^~2ax=0，即

log,2T-2ax=x-2ax=（l-2a^x=0,所以1一2a=0,a=g.

故答案为：一

2

【点睛】

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.

16、24

【解析】

分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列,

同时它们内部也全排列.

【详解】

第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有42=2种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全

排有月用=12种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数

为用其羯=24.

故答案为：L

【点睛】

本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用

插入法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

172岳

3

【解析】

试题分析：由柯西不等式(ab+cd?W(/+02)(/+/)得(6:++2)2=(J3—3x•+2•5

<(3-3x+3x+2)(1+l)=y

试题解析：因为“i二7+，3x+2)2=(V3-3x-J+\3x+2-®

<(3-3%+3%+2)(1+l)=y,

所以y=〈友5.

3

3-3%3x+2

=/

等号当且仅当1------1--，即工=一时成立.

312

所以y的最大值为冬叵.

3

考点：柯西不等式求最值

18、(1)。=1时，f(x)有一个零点；当。>0且时，/(元)有两个零点；(2)见解析

【解析】

(1)利用/(X)的导函数，求得了(X)的最大值的表达式，对"进行分类讨论，由此判断出了(X)的零点的个数.

(2)由lnx<x-l,得至!J%lnx+1«X2-x+i和XK/T,构造函数"(x)=e*+sin%一犬之十九一1,利用导数证得

/z(x)>0,即有+sinx>x2-x+1,从而证得，+sinx>x2-x+1>xlnx+1,即ex+sinx>xlnx+L

【详解】

(1)f(x)=-—―(a>0,%>0),

%

，当犬£(0,4)时，/(x)>0,当%£(L+8)时，f'(%)<0,「./(九)在(0—)上递增，在(J_,+QO)上递减，

aaaa

f{x)</(—)=-Ina+4-1.

a

令g(%)=-lnx+x-1=-(Inx-x+1),.・.g(x)在(0,1)上递减，在(2)上递增，

gMNg(D=。，.\-lna+a-l>09当且仅当a=1时取等号.

①々=1时，/(%)有一个零点；

②a>]时，-e(0,1),/(—)=-ina+ae(0,1),/|—|=—\na+a—l>0,/(1)=0,f(―)=-<0,此时/(%)

aaa\ajee

有两个零点；

③0<“vl时，一>1,/(—)=—In〃+〃—1〉0,/(I)=0,/(—-)=—2Inci-----ci令

aaaa9

(p(x)=-21nx--+x(x>1),/.cp(x)=――->0,(p(x)在(0,1)上递增，

xx

°(九)<0(1)=0,/(二)=-21na--+a<Q9此时f(x)有两个零点；

aa

综上:a=l时，/(%)有一个零点;当〃>0且awl时，/(%)有两个零点；

(2)由(1)可知：111元二元—1,.・・元111元+14无2一%+1,尤<6]-1,

令/i(x)=+sinx-x2+x-1,/i(x)=+cosx-2x+1>ex-2x+1+cosx>0,勿»在(。,+。)上递增，

h(x)>h(0)=0,ex+sinx>x2-x+1>xlnx+1.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转

化的数学思想方法，属于中档题.

19、(1)11.57(2)预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析

【解析】

(1)先求出。=025,匕=007,再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；(2)先求

出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.

【详解】

(1)依题意，(0.05+a+〃+035+028)xl=1,故a+b=032.

又因为a—Z?=0.18.所以a=025,Z?=0J07,

所求平均数为95x0.05+105x0.25+115x035+125x028+135x0X)7

=0.475+2625+4.025+35+0.945=1157(万分)

(2)由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率。=0.0.28+0.07=0.7.

设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600,900,1200,1500,

P(X=600)=032=009,P(X=900)=0.73+0.7x032+03x0.7x03=0.469,

P(X=1200)=C^x03x0.72x03=01323,P(X=1500)=C；x03x072x0.7=03087,

故每颗芯片的测试费用的数学期望为

E(X)=600x0.09+900x0.469+1200x01323+1500x03087=1097.91(元)，

因为100x1097.91>100000,

所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

2

20、(1)^-+y2=l(x^±3)；⑵存在定点S(±3,0),见解析

【解析】

(1)设动点/(X»),则左屈=上；，左皿=工土3)，利用％«上.=一!，求出曲线C的方程.

x+3x-39

x=my+1

(2)由已知直线/过点7(1,0),设/的方程为九=加,+1,则联立方程组2：2人，

X+9y=9

消去X得(7〃2+9)y2+272-8=0,设PQ,y),Q(X2,必)利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程,

推出结果.

【详解】

解：(1)设动点M(x,y),贝必xw—3)

X~T~J

^MB--W3),

X—J

kMA-kMB=—J，即~~•一X=一'，

9x+3x-39

V-2

化简得：—+y2=lo

9'

由已知xw±3,故曲线C的方程为土+y2xw±3)

9'

（2）由已知直线/过点T（1,O）,设/的方程为》=%+1,

x=my+1,

则联立方程组%2,,消去X得(n?+9)y2+2年—8=0,

—+y=1、'

19.

2m

X+%=

m+9

设PQ（x,y）,贝卜

228

%%=--7-T-

m+9

又直线SP与SQ斜率分别为3淄%—Vi.

k%%

SQ

x2-x0my2+l-x0

则嚷〜（町+1一%）（冲2+1-%）（其一9）疗+9（1-%）2°

—82

当％=3时,VmeT?,

9(17。)9;

1

当斗；=-3时，VmGR,ksp,k

SQ18°

所以存在定点5（±3,0）,使得直线SP与SQ斜率之积为定值。

【点睛】

本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

21、（1）见解析；（2）a<\

【解析】

(1)设g(x)=〃(x)=L-cosx,g'(x)==+sinx,注意到g(x)在［0,1］上单增，再利用零点存在性定理即可

xx12J

解决；

QJTJTA.JT

(2)函数y=/(2x)--/在0,-上单调递减，则y<0在0,-恒成立，即2ax—sin2x——在o上

3_2__2_3_2_

恒成立，构造函数巩x)=24a-sin2x-4gx.3,求导讨论皿为的最值即可.

【详解】

(1)由已知，f\x)=x-smx,所以/z(x)=lnx—sinx,

1.-1

设g(x)=/z(x)=——cosx,g(x)=—+sinx,

当时，g’(x)单调递增，而g'(l)<0,g'^>0,且g(x)在［0,5］上图象连续

不断.所以g(x)在上有唯一零点a,

当xe(O,