3.5.3三角形的外接圆与外心

三角形的外接圆与外心（2015•湖北）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】分类讨论．【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．【解答】解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．（2015•河北）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．【解答】解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形外心的定义，正确把握外心的定义是解题关键．（2015•台湾）如图，坐标平面上有A（0，a）、B（﹣9，0）、C（10，0）三点，其中a＞0．若∠BAC=95°，则△ABC的外心在第几象限？（）A．一 B．二 C．三 D．四【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【分析】根据钝角三角形的外心在三角形的外部和外心在边的垂直平分线上进行解答即可．【解答】解：∵∠BAC=95°，∴△ABC的外心在△ABC的外部，即在x轴的下方，∵外心在线段BC的垂直平分线上，即在直线x=上，∴△ABC的外心在第四象限，故选：D．【点评】本题考查的是三角形的外心的确定，掌握外心的概念和外心与锐角、直角、钝角三角形的位置关系是解题的关键，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．（2014•台湾）如图，O为△ABC的外心，△OCP为正三角形，OP与AC相交于D点，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为何？（）A．85 B．90 C．95 D．110【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【分析】利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA=35°，进而结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵O为△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC，∴∠OAC=35°，AO=CO，∴∠OAC=∠OCA=35°，∴∠AOC=110°，∵△OCP为正三角形，∴∠AOP=50°，∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出∠OAC=∠OCA=35°是解题关键．（2013•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；垂径定理；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】根据直径是圆中最长的弦，可知当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，由圆周角定理得出∠BAP=90°，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出AP=CP，则△APC是等腰三角形，判断A正确；当△APC是等腰三角形时，分三种情况：①PA=PC；②AP=AC；③CP=CA；确定点P的位置后，根据等边三角形的性质即可得出PO⊥AC，判断B正确；当PO⊥AC时，由垂径定理得出PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；如果点P在B点的位置，∠ACP=60°；判断C错误；当∠ACP=30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置．如果点P在P1的位置，易求∠BCP1=90°，△BP1C是直角三角形；如果点P在P2的位置，易求∠CBP2=90°，△BP2C是直角三角形；判断D正确．【解答】解：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP=90°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，∴BP⊥AC，∴∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，∴AP=CP，∴△APC是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意；B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：①如果PA=PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；②如果AP=AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；③如果CP=CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；故本选项正确，不符合题意；C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；如果点P在B点的位置，∠ACP=60°；故本选项错误，符合题意；D、当∠ACP=30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3．如果点P在P1的位置，∠BCP1=∠BCA+∠ACP1=60°+30°=90°，△BP1C是直角三角形；如果点P在P2的位置，∵∠ACP2=30°，∴∠ABP2=∠ACP2=30°，∴∠CBP2=∠ABC+∠ABP2=60°+30°=90°，△BP2C是直角三角形；故本选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，难度适中，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．（2012•攀枝花）下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】三角形的外接圆与外心；垂径定理；圆周角定理；命题与定理；中心对称图形．【专题】压轴题．【分析】根据等边三角形的性质即可得出等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断①；举出反例，即可判断②；根据三角形的外接圆的定义即可判断③；根据垂径定理即可判断④．【解答】解：∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴①是假命题；如图，∠C和∠D都对弦AB，但∠C和∠D不相等，即②是假命题；三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形，圆周角定理，垂径定理，三角形的外接圆等知识点的应用，通过做此题培养了学生的理解能力和辨析能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．（2010•兰州）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】三角形的外接圆与外心；圆的认识；确定圆的条件．【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．【解答】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选：B．【点评】此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．（2010•攀枝花）如图所示．△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小是（）A．56° B．62° C．28° D．32°【考点】三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理；圆周角定理．【分析】由题意可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出∠AOB，再利用圆周角定理确定∠C．【解答】解：如图，连接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=28°，∴∠OAB=∠OAB=28°，∴∠AOB=124°，∴∠C=62°．故选B．【点评】本题是利用圆周角定理解题的典型题目，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键，在解题和圆有关的题目是往往要添加圆的半径．（2010•本溪）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=4，则⊙O的直径等于（）A． B．3 C．5 D．7【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．【分析】作直径AE，连接BE构造直角三角形，利用同弧圆周角相等，半圆上的圆周角是直角证明△ADC∽△ABE，根据相似比可求得AE长，即直径．【解答】解：作直径AE，连接BE，∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，由勾股定理得AD==4．∵∠ACD=∠AEB，（同弧圆周角相等）∠ABE=90°，（半圆上的圆周角是直角）∴△ADC∽△ABE，AE：AC=AB：AD，∴AE==5，则直径AE=5．故选C．【点评】主要考查了圆中的有关性质．注意：利用直径所对的圆周角是90度构造直角三角形是常用的辅助线方法．（2010•台湾）如图所示，甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为55°、60°、65°．若==，则甲、乙、丙周长的关系为（）A．甲=乙=丙 B．甲＜乙＜丙 C．甲＜丙＜乙 D．丙＜乙＜甲【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】根据在三角形中，大角对大边，知甲图中，AB最大；乙图中，DE是中间；丙图中，GH最小．再进一步结合已知条件即可判断三个图形的周长的大小．【解答】解：根据大角对大边和已知条件，得甲图中的最大边=乙图中的中间边=丙图中的最小边．所以它们的周长大小是甲＜乙＜丙．故选B．【点评】此题考查了同一个三角形中的边角关系．（2009•衡阳）如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点 B．BC中点C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理的逆定理．【专题】应用题．【分析】了解直角三角形的判定及三角形的外心的知识，是解答的关键．【解答】解：因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度．因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，所以它的外心在斜边AB的中点处，故选A．【点评】本题比较容易主要考查直角三角形的判定及三角形的外心的知识．（2009•孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】连接OA，由圆周角定理，易求得∠COA的度数，在等腰△OAC中，已知顶角∠COA的度数，即可求出底角∠CAO的度数．【解答】解：连接OC，由圆周角定理，得∠AOC=2∠B=120°，△OAC中，OA=OC，∴∠CAO=∠ACO=30°．故选B．【点评】此题综合考查了圆周角定理和三角形的内角和定理．（2009•威海）已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB=AC=5，BC=6，则⊙O的半径为（）A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．【分析】已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则AD必过圆心O，Rt△ABD中，AB=5，BD=3∴AD=4设⊙O的半径为x，Rt△OBD中，OB=x，OD=4﹣x根据勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即：x2=（4﹣x）2+32，解得：x==3.125．故选C．【点评】本题考查了三角形的外接圆、等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用．（2009•台湾）如图，在坐标平面上，Rt△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x轴，M为Rt△ABC的外心．若A点坐标为（3，4），M点坐标为（﹣1，1），则B点坐标为何（）A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【分析】本题可先根据坐标系中线段中点的计算方法解出C点的坐标，再根据AB垂直x轴，BC平行y轴即可得出B点的坐标．【解答】解：如图：作MN∥BC，∵∠ABC=90°，AB垂直x轴，M为Rt△ABC的外心，∴AM=CM，AM：CM=AN：BN，MN∥x轴．∵若A点坐标为（3，4），M点坐标为（﹣1，1），∴N点的坐标为（3，1），∴B点的坐标为（3，﹣2），故选B．【点评】此题考查了外心的性质、直角三角形的性质及平行线的性质，解题的关键是充分运用数形结合的思想从而解决问题．（2008•南京）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）A． B． C． D．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【分析】连接OA，并作OD⊥AB于D；由于等边三角形五心合一，则OA平分∠BAC，由此可求出∠BAO的度数；在Rt△OAD中，根据⊙O的半径和∠BAO的度数即可求出AD的长，进而可得出△ABC的边长．【解答】解：连接OA，并作OD⊥AB于D，则∠OAD=30°，OA=2，∴AD=OA•cos30°=，∴AB=2．故选C．【点评】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法．（2008•毕节地区）如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若AD=3，AC=2，则cosD的值为（）A． B． C． D．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据圆周角定理的推论，得∠B=∠D．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=，则cosD==．【解答】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．∵AD=3，AC=2，∴CD=．∴cosD==．故选B．【点评】此题综合运用了圆周角定理的推论以及锐角三角函数的定义．（2007•广州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（）A．AD=DB B． C．OD=1 D．AB=【考点】三角形的外接圆与外心；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】连接OA，OB，根据由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．利用三角函数可求得AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1，AB=2，从而判断出D是错误的．【解答】解：连接OA，OB．∵OD⊥AB，∴由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．∴AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．∴AB=2．∴A，B，C均正确，D错误．故选D．【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．（2007•雅安）已知O是△ABC的外心，∠ABC=60°，AC=4，则△ABC外接圆的半径是（）A． B． C． D．【考点】三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理；解直角三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】构造直角三角形，根据锐角三角函数进行计算．可设该三角形外接圆的圆心是O，作直径CD，连接AD，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90°，分别求得∠D=∠B=60°，∠CAD=90°，根据直角三角形ACD中sinD=，得CD=，从而求出圆的半径是．【解答】解：设该三角形外接圆的圆心是O，作直径CD，连接AD．根据同弧所对的圆周角相等，得∠D=∠B=60°．根据直径所对的圆周角是90°，得∠CAD=90°．在直角三角形ACD中，根据sinD=，得CD==，则圆的半径是．故选C．【点评】注意：构造直角三角形，根据锐角三角函数进行计算．可以发现一个结论即正弦定理：在△ABC中，=2R（R是三角形外接圆的半径）．（2006•肇庆）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，则∠CPB等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；圆周角定理．【分析】根据等边三角形的每个内角都是60°，得∠A=60°，再根据圆周角定理，得∠CPB=∠A=60°．【解答】解：∠CPB=∠A=60°．故选C．【点评】此题综合运用了等边三角形的性质以及圆周角定理的推论．（2006•张家界）已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【分析】连接OA，并作OD⊥AB于D，可求得AD=OA•cos30°=，则AB=3．【解答】解：连接OA，并作OD⊥AB于D，则：∠OAD=30°，OA=，∴OD=，∴AD==，∴AB=3．故选B．【点评】此题主要考查由外接圆的半径求内接等边三角形的边长．（2005•陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=，则弦AC的长为（）A．3 B． C． D．【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】若想利用∠B的正弦值，需构建与它相等的圆周角，延长AO交⊙O于D，在Rt△ADC中，由圆周角定理，易得∠D=∠B，即可根据∠D的正弦值和直径AD的长，求出AC的长．【解答】解：延长AO交圆于点D，连接CD，由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=，Rt△ADC中，sinD=，AD=2R=4，∴AC=AD•sinD=3．故选A．【点评】此题主要是根据圆周角定理的推论，作出直径所对的圆周角，利用锐角三角函数求解．（2005•武汉）已知：如图，△ABC中，∠A=60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E．连接DE、OE．下列结论：①BC=2DE；②D点到OE的距离不变；③BD+CE=2DE；④AE为外接圆的切线．其中正确的结论是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】连接OD，可证明△ODE是等边三角形，所以①、②正确；根据已知条件，③不一定成立，错误；根据切线的定义，④错误．【解答】解：连接OD∵∠A=60°∴∠B+∠C=120°，∴+=240°，∵∠B+∠C=120°，∴2=120°，∴=60°，∴∠DOE=60°又OD=OE∴△ODE是等边三角形，所以①正确，则D到OE的长度是等边△ODE的高，则一定是一个定值，因而②正确；③根据已知条件，③不一定成立，错误；④根据切线的定义，错误．故选A．【点评】综合运用了三角形的内角和定理、圆周角定理和等边三角形的判定和性质．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，D为CB延长线上一点，∠AOC=130°，则∠ABD的度数为（）A．40° B．50° C．65° D．100°【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】本题要通过构造圆周角求解；在优弧AC上取一点E，连接AE、CE；由圆周角定理，易求得∠AEC的度数；再根据圆内接四边形的性质即可求出∠ABD的度数．【解答】解：在优弧AC上任意找一点E，连接AE、CE，根据圆周角定理，得∠E=65°；∵四边形ABCE内接于⊙O，∴∠ABD=∠E=65°．故选C．【点评】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质．（2005•锦州）如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A．3cm B．3cm C．4cm D．4cm【考点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心，将等边三角形的边长用含半径的代数式表示出来，进行求解即可．【解答】解：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R．∴BD=cos∠OBC×OB=R，BC=2BD=R．∵BC=12，∴R==4．故选D．【点评】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法．关键是作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心．（2005•淮安）如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于（）A．35° B．110° C．145° D．35°或145°【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】分类讨论．【分析】由于三角形的外心的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部．所以此题要考虑两种情况：根据圆周角定理，①当点O在三角形的内部时，则∠BAC=∠BOC=35°；②当点O在三角形的外部时，则∠BAC=（360°﹣70°）=145°．【解答】解：①当点O在三角形的内部时，则∠BAC=∠BOC=35°；②当点O在三角形的外部时，则∠BAC=（360°﹣70°）=145°．故选D．【点评】注意此题的两种情况，熟练运用圆周角定理．（2005•宁德）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为直径，AC=BC，则∠A的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．60°【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】综合题．【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，再根据AC=BC，得∠A=∠B=45°．【解答】解：∵AB为直径，∴∠C=90°，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°．故选C．【点评】此题主要是运用了圆周角定理的推论和等边对等角的性质．（2005•乌兰察布）若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆直径是（）A．8 B．10 C．5或4 D．10或8【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．【分析】本题应分两种情况进行讨论，①当8是直角边时，根②当8是斜边时，分别求出即可．【解答】解：①当8是直角边时，斜边是10，这个直角三角形外接圆直径是10；②当8是斜边时，直角三角形外接圆直径是8．故选D．【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．（2005•沈阳）已知O为△ABC的外心，∠A=60°，则∠BOC的度数是（）A．30° B．120° C．90° D．60°【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=120°．【解答】解：∠BOC=2∠A=120°．故选B．【点评】考查了圆周角定理，注意：当O是三角形的外心时，则∠BOC=2∠A或360°﹣2∠A．（2003•台湾）如图所示，△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的外心，∠C=60°，BC=2．若△AOB面积=a，△OBC面积=b，则下列叙述何者正确（）A．a＞b B．a＜b C．a﹣b=0 D．a+b=4【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】由于直角三角形的外心是斜边的中点，即OA=OC；由此可知：△AOB和△BOC等底同高，故两者的面积相等，即a=b．【解答】解：∵△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的外心；∴OA=OC，∴△AOB和△BOC等底同高，∴S△AOB=S△BOC，即a=b，∴a﹣b=0．故选C．【点评】本题考查的知识点有两个：①直角三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重合；②若两个三角形等底等高，则这两个三角形的面积相等．（2002•陕西）在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，AC=6，则△ABC外接圆的半径为（）A．2 B．3 C． D．3【考点】三角形的外接圆与外心；含30度角的直角三角形．【分析】先求得∠C=90°，BC=AB，△ABC外接圆的直径为AB，再由勾股定理得，AB=4，所以△ABC外接圆的半径为2．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=90°，∴BC=AB，△ABC外接圆的直径为AB，由勾股定理得，AB=4，∴△ABC外接圆的半径为2．故选A．【点评】此题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形的外接圆的圆心在斜边上；还考查了直角三角形的性质，30°角所对的直角边是斜边的一半．（2002•黑龙江）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆直径是（）A．5 B．10 C．5或4 D．10或8【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】这个三角形的外接圆直径是斜边长，有两种情况情况：（1）斜边是BC，即外接圆直径是8；（2）斜边是AC，即外接圆直径是=10．【解答】解：根据题意得（1）斜边是BC，即外接圆直径是8；（2）斜边是AC，即外接圆直径是=10；故选D．【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．（2001•陕西）给出下列命题：①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形，其中正确命题共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．【分析】根据外心与内心的概念，分别分析即可判断对错．三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；反过来说圆的内接三角形可以无数多个；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个．故正确的命题有2个．【解答】解：三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①是对的；反过来说圆的内接三角形可以无数多个，所以②是错的；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③是对的；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个，④是错误的．所以正确的命题有2个．故选B．【点评】考查三角形外心与内心的概念，属于概念题．（2001•贵阳）已知⊙O的半径等于等边△ABC的高，△DEF是⊙O的内接等边三角形，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．3：2 D．2：3【考点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】等边三角形的外接圆在三角形三边的垂直平分线上．假设△ABC的边为2x，可以求出它的高为x．再根据题里的已知条件，可求出△DEF的边长．【解答】解：对于等边三角形，外接圆的圆心也是三个内角的平分线的交点，综合起来，可求出△DEF的边长的一半为=x，那么△DEF的边长为3x，而△ABC∽△DEF，所以两个三角形的周长比等于边长比等于2：3．故选D．【点评】此题利用了等边三角形的外接圆的圆心既是三角形的垂直平分线的交点，也是三个内角的平分线的交点，还用了勾股定理．（2001•海南）已知正三角形的边长为3，则它的外接圆的面积为（）A．3π B．6π C．9π D．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】正三角形的边长为3，可得其外接圆的半径为×=，故其面积为3π．【解答】解：∵正三角形的边长为3，∴其外接圆的半径为×=，∴其面积为3π．故选A．【点评】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60度．（2000•绵阳）等腰三角形的外心一定在（）A．腰上的高所在的直线上 B．顶角的平分线上C．腰的中线上 D．底边的垂直平分线上【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．【分析】三角形的外心是三边中垂线的交点，可据此判断出正确的选项．【解答】解：由于三角形的外心是三边垂直平分线的交点，因此等腰三角形的外心一定在底边的垂直平分线上；故选D．【点评】正确理解三角形外心的性质是解答此题的关键．（2000•广西）钝角三角形的外心在（）A．三角形内 B．三角形外C．三角形的边上 D．上述三种情况都有可能【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】三角形的外心是三边中垂线的交点，简单画图即可得出本题的结论．【解答】解：如图；钝角△ABC中，AB、AC的垂直平分线交于点O，点O即为△ABC的外心，由图知点O在△ABC外部，故选B．【点评】此题主要考查的是三角形外心的性质：锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合．（1999•温州）如图，△ABC的外接圆⊙O的直径BE交AC于点D，已知弧BC等于120°，，则关于x的一元二次方程根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的正实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的正实数根【考点】三角形的外接圆与外心；根的判别式；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】BD为直径，连接CE，构成直角三角形．过O点作OF⊥BC．在Rt△CDF中，运用锐角三角函数求边长；在Rt△BCE中，因为弧BC等于120°，可求其两锐角分别为60°、30°，根据锐角三角函数可求BD、DE的长，代入判别式中，确定判别式的符号．【解答】解：过O点作OF⊥BC，垂足为点F，连接CE．在Rt△CDF中，．设CF=2，则DF=．已知弧BC等于120°，BE为直径，所以∠E=60°，∠ECB=90°，∠EBC=30°．在Rt△BDF中，BD=2DF=2，BF=3．在Rt△BCE中，BC=BF+CF=5，BE==，DE=BE﹣BD=．∵△=（BD）2﹣4•BD•DE=（×2）2﹣4×2×=36﹣32=4＞0，又x1+x2=BD＞0，x1•x2=BD•DE＞0，∴方程有两个不相等的正实数根，故选D．【点评】本题是圆的问题、锐角三角函数与一元二次方程根的判别式的综合运用，一般需要把问题转化到直角三角形中，利用锐角三角函数设边长，求边长，再用判别式判断方程根的情况．（1999•安徽）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，△ABC，△ABD，△ACD的外接圆半径分别为R，R1，R2，那么有（）A．R=R1+R2 B．R= C．R2=R1R2 D．R2=R12+R22【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】根据90度的圆周角对的弦是直径，再结合勾股定理即可求得三者之间的关系．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴R=BC，R1=AB，R2=AC；∵BC2=AB2+AC2，∴R2=R12+R22．故选D．【点评】主要考查了圆中的有关性质和勾股定理的运用．要注意在圆中90度的圆周角对的弦是直径．（1998•宁波）钝角三角形三边长分别为a，b，c（a＞b＞c），外接圆半径和内切圆半径分别为R，r，则能够盖住这个三角形的圆形纸片的最小半径是（）A．R B．r C． D．【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】要使该圆能够盖住这个三角形，且半径最小，则该圆的半径应是外接圆半径R．【解答】解：∵能够盖住这个三角形，且半径最小的圆应是外接圆，∴能够盖住这个三角形的圆形纸片的最小半径是R．故选A．【点评】考查了三角形和圆的两种位置关系．（2015•兰州）已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是30°或150°．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案．【解答】解：如图：连接BO，CO，∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°．若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．∴∠A=30°或150°．故答案为：30°或150°．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理等知识，得出△OBC是等边三角形是解题关键．（2014•宁夏）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】网格型．【分析】根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．【解答】解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．（2011•烟台）如图，△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【专题】网格型．【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【点评】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．（2010•大庆）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是．【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题；网格型．【分析】根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点．结合图形发现其外心的位置，再根据勾股定理得外接圆的半径==．【解答】解：由图可知：△ABC的外接圆半径==．【点评】此题能够结合图形确定其外接圆的圆心，再根据勾股定理计算其外接圆的半径．（2010•济南）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2），则△ABC外接圆半径的长度为．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心M（设△ABC的外心为M）必在直线x=1上；由图知：AC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到M（1，0）；连接MB，过M作MD⊥BC于D，由勾股定理即可求得⊙M的半径长．【解答】解：设△ABC的外心为M；∵B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），∴M必在直线x=1上，由图知：AC的垂