第五章-二次型习题

高等代数习题注意：红色的习题不做，计算题第五章二次型1．二次型为正定二次型的充分必要条件是(A)(B)(C)(D)2．，则下列结论正确的是【】(A)A是正定矩阵(B)A是负定矩阵(C)A是半正定矩阵(D)A不是正定矩阵3.，则二次型()【】(A)(B)(C)(D)5.二次型的规范型是(A)；(B)；(C)；(D)；6.为一个正定的实二次型，矩阵，则【】(A)A是正定矩阵(B)A是可逆矩阵(C)A不是可逆矩阵(D)以上结论都不对7.n阶实对称矩阵A与n阶实对称矩阵B合同的充分必要条件是【】(A)(B)A,B的正惯性指数相等(C)A,B为正定矩阵(D),且A,B的正惯性指数相等8.以下各式中,()是二次型.【】9.已知实二次型经过，可化为化成标准则a=【】(A)(B)2(C)0(D)310．二次型的规范型是【】11.设，以为矩阵的二次型分别为【】(A)，(B)，(C)，(D)，12.已知是阶实对称矩阵，则二次型为正定的充要条件是【】13.，则二次型的规范性是【】14.若二次型的规范型=【】；；；15.下列结论正确的是【】(A)是正定二次型；(B)是负定矩阵(C)是正定矩阵(D)16.二次型经非退化线性变换化成标准型()【】(A)(B)(C)(D)17.，则二次型的秩=【】(A)2(B)3(C)0(D)118.已知矩阵，，则下列结论正确的是【】(A)是负定二次型；(B)是负定二次型(C)存在使得=0；(D)是正定二次型19.是对称矩阵，，则有【】20.，则存在可逆矩阵C,C=(),使得=（）【】(A)(B)(C)(D)21.二次型为【】(A)正定的；(B)半正定的；(C)负定的；(D)不定的。22.设矩阵A=，可逆矩阵，使为对角形矩阵，则T=()，=()23.设A=，B=，，则与矩阵()合同【】(A)(B)(C)(D)第二题：填空题1．已知正负惯性指数均为1的二次型通过合同变换化为，其中，则（）2．二次型的矩阵是()3.二次型的秩（）4．二次型的规范型是5．已知实二次型经非退化变换可化成标准型，则满足（）6.已知与合同，则（）7.是n阶正定矩阵，则满足（）8.二次型的规范型（）9.设，与为矩阵二的次型的规范型（）11.实二次型的标准型()第三题：计算题1．求非退化线性变换，化实二次型为标准型，并判断它是否为正定二次型.2．基础)设，(1)为何值时，是正定矩阵？(2)为何值时，存在可逆矩阵，使得.3．(本题10分，中)已知二次型，通过非退化线性变换化为标准形，求常数及所用的非退化线性变换.4、（本题10分，基础）用非退化线性变换，化实二次型为标准型并写出非退化线性变换，判断该二次型是否为正定二次型.5、（本题10分，基础）已知二次型的秩为2，（1）求a的值（2）求非退化线形变换，把化成标准形（3）求方程的解.6、（本题10分，基础）求非退化线性变换，化实二次型为标准型，并判断它是否为正定二次型.7、（本题10分，基础）用非退化线性替换化下列二次型为标准型，把上述二次型进一步化为规范型，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。8、（本题10分，基础）已知二次型的秩为2,求:参数c和二次型的标准型，并判断其类型。9、（本题10分，基础）把二次型化为标准型，并写出相应的变换,并判断其类型。10、（本题10分，基础）二次型的正、负惯性指数都是1，求a。四、证明题1、（本题10分，基础）设A,B都是实矩阵，且秩r(A+B)=n,证明:是正定矩阵。2、（本题10分，中）为正定矩阵，其中A为m阶矩阵,D为n阶矩阵，B为阶矩阵，证明：A，D与都是正定矩阵。3、（本题10分，难）设为正定矩阵，其中A