专题01 二次函数几何定义（原卷版）

专题01二次函数几何定义一、知识导航1．考向分析：我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本专题将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．2．定义：二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点形成的图形就叫抛物线．3．模型：（1）已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等，请写出动点形成的抛物线的解析式．解：由题意得：，过点M作MB⊥直线y=-4，垂足记为B点，则MB=，∴MA=MB，即，两边平方，化简得：．故M点形成的抛物线的解析式为．（2）若点的坐标是，在（1）中求得的抛物线上是否存在点，使得最短？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．解：过P点做PQ⊥直线y=-4，则PA=PQ，故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短．过点D作直线y=-4的垂线，与抛物线交点即为P点，垂足为Q，此时PQ+PD最短，PA+PQ=PD+PQ=DQ=8，为最小值，此时P点坐标为．

4．模型总结：结论1：对于抛物线，焦点坐标为，准线为直线．焦点一般会用字母F表示．而且二次项系数很多时候是，只是为了焦点坐标便于计算．至于形如的抛物线可化为顶点式，然后通过由平移来确定焦点和准线．结论2：如下图，FM⊥FN．证明：设，，则，∴，∴FM⊥FN．结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．证明：倍长中线证两次全等．结论4：记MN与y轴交于点G，则．二、典例精析例一：如图，点为抛物线上一动点．（1）若抛物线是由抛物线通过图像平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线经过轴上一点，且平行于轴，点的坐标为，过点作于．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点的坐标为（1，5），求的最小值．【分析】（1）向右平移2个单位，向上平移1个单位；（2）①直线l即为抛物线的准线，所求F点为焦点．考虑特殊位置，当P点在顶点时，可得F点坐标为（0，1）或（0，-1）（舍掉），以下证明P在抛物线任意位置，均满足PF=PM：设P点坐标为，则，又，∴PF=PM，∴当F点坐标为（0，1）时，PM=PF恒成立．②由①可得PQ+PF=PQ+PM，过点Q作QM⊥x轴，与x轴交点即为M点，与抛物线交点为P点，此时PQ+PM=QM=6，故QP+PF的最小值为6．

三、中考真题演练1．（2023·湖北鄂州·中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；【技能训练】(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．请阅读上面的材料，探究下题：(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．2．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．

(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．3．探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．如图，在平面直角坐标系中，某款探照灯抛物线的表达式为，焦点为F．(1)点F的坐标是___________；(2)过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线射出，所在直线与x轴的交点坐标为．①画出沿射线方向射出的光线的反射光线；②所在直线与x轴的交点坐标为___________．4．已知抛物线方程为，点是抛物线上任意一点．（1）我们称为抛物线的焦点，直线:为抛物线的准线，连接线段，作于点．求证：；（2）已知抛物线过点．①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标；②将绕焦点顺时针旋转，得到点，求周长的最小值；③直线：与抛物线交于、两点，点是坐标原点，．求证：直线过定点．5．如图，在顶点为P的抛物线的对称轴