人教A版高中数学选择性必修第三册 第6章 §6.2.3-2.4 组合与组合数 同步课时讲练（教师版）

第第页6.2.3组合6.2.4组合数第1课时组合及组合数的定义学习目标1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．知识点一组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．知识点二排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Aeq\o\al(m,n)间存在的关系Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．(√)2．“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．(×)3．组合数Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3)).(√)4．两个组合相同，则其对应的元素一定相同．(√)一、组合概念的理解例1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．反思感悟排列、组合辨析切入点(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．跟踪训练1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．解(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．二、组合的个数问题例2在A，B，C，D四位候选人中．(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)间的等量关系吗？解(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有Aeq\o\al(2,4)＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.(2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.(3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应Aeq\o\al(2,2)个排列，即Aeq\o\al(2,4)＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2).类比可知，从n个不同元素选出m个元素的排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)间的等量关系为Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m).反思感悟组合个数的求解策略(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕．(2)公式法：利用排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)之间的关系Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))求解．跟踪训练2从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．解先将图所示：由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．三、简单的组合问题例3有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．答案(1)45(2)21(3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有Ceq\o\al(2,6)种方法；第2类，选出的2名是女教师有Ceq\o\al(2,4)种方法．根据分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))＋eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(6×5,2×1)＋eq\f(4×3,2×1)＝15＋6＝21(种)不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,6)种，从4名女教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,4)种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))×eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(种)．反思感悟利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．跟踪训练3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(A\o\al(3,8),A\o\al(3,3))＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(A\o\al(2,7),A\o\al(2,2))＝eq\f(7×6,2×1)＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(A\o\al(3,7),A\o\al(3,3))＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是()A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，bC．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d答案ABC2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是()A．10B．5C．4D．1答案B解析组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．3．在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为()A．4×13手 B．134手C．Aeq\o\al(13,52)手 D．Ceq\o\al(13,52)手答案D解析本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到Ceq\o\al(13,52)手不同的牌．4．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________．(填序号)①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动．答案①②③解析①②为组合问题，③为排列问题．5．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________．答案ab，ac，ad，bc，bd，cd解析可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.1．知识清单：(1)组合与组合数的定义．(2)排列与组合的区别与联系．(3)用列举法写组合．2．方法归纳：枚举法．3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有()A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数C．由1,2,3组成两位数的不同方法数D．由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数答案AB2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()A．Aeq\o\al(3,10)种 B．Ceq\o\al(3,10)种C．Ceq\o\al(3,10)Aeq\o\al(3,10)种 D．30种答案B解析三张票没区别，从10人中选3人，即Ceq\o\al(3,10).3．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为()A．3B．4C．12D．24答案B解析由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为()A．4B．8C．28D．64答案C解析由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))＝eq\f(8×7,2×1)＝28(条)公路．5．某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有()A．Ceq\o\al(5,9)种B．Aeq\o\al(3,7)种C．Ceq\o\al(3,7)种D．Ceq\o\al(5,7)种答案C解析只需再从其他7名队员中选3人，即Ceq\o\al(3,7)种选法．6．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法．答案84解析只需从9名学生中选出3名即可，从而有Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(A\o\al(3,9),A\o\al(3,3))＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84(种)选法．7．若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为________．答案6解析由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(4×3,2×1)＝6(个)．8．有3张参数是________．(用数字作答)答案10解析由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3))＝eq\f(5×4×3,3×2×1)＝10(种)不同方法．9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为Aeq\o\al(2,10)＝90.(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝45.(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝45.(4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(A\o\al(3,10),A\o\al(3,3))＝120.(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为Aeq\o\al(3,10)＝720.10．平面内有10个点，其中任意3个点不共线．(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数，共有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝eq\f(10×9,2×1)＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(A\o\al(3,10),A\o\al(3,3))＝eq\f(10×9×8,3×2×1)＝120(个)．11．(多选)下列问题是组合问题的有()A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有2021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C．集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法答案ABC解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.12．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有()A．60种B．36种C．10种D．6种答案D解析甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝6(种)不同的选法．13．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A．224B．112C．56D．28答案B解析由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝eq\f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))·eq\f(A\o\al(1,4),A\o\al(1,1))＝112.14．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.答案1∶2解析∵m＝Ceq\o\al(2,4)，n＝Aeq\o\al(2,4)，∴m∶n＝1∶2.15．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有________个矩形；(2)从A点走向B点最短的走法有________种．答案(1)210(2)210解析(1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,5)＝eq\f(A\o\al(2,7),A\o\al(2,2))·eq\f(A\o\al(2,5),A\o\al(2,2))＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有Ceq\o\al(6,10)·Ceq\o\al(4,4)＝eq\f(A\o\al(6,10),A\o\al(6,6))·eq\f(A\o\al(4,4),A\o\al(4,4))＝210(种)走法．16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？解(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2Ceq\o\al(2,6)＝2×eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))＝30(场)．(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．第2课时组合数公式学习目标1.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式.2.能运用组合数公式进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题．知识点一组合数公式组合数公式乘积形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n阶乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)规定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知识点二组合数的性质性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).1．Ceq\o\al(2019,2020)＝________.答案20202．Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝________.答案33．若Ceq\o\al(m,7)＝21，Ceq\o\al(m,6)＝15，则Ceq\o\al(m－1,6)＝________.答案64．方程Ceq\o\al(x,5)＝Ceq\o\al(2,5)，则x＝________.答案2或3一、组合数公式的应用命题角度1化简与求值例1－1求值：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)；(2)Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n).解(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＝3×eq\f(8×7×6,3×2×1)－2×eq\f(5×4,2×1)＝148.(2)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(38－n≤3n，,3n≤21＋n，))∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝Ceq\o\al(2,30)＋Ceq\o\al(1,31)＝466.命题角度2与组合数有关的证明例1－2证明：mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).证明mCeq\o\al(m,n)＝m·eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(n·n－1！,m－1！n－m！)＝n·eq\f(n－1！,m－1！n－m！)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).命题角度3与组合数有关的方程或不等式例1－3(1)(多选)若Ceq\o\al(4,n)>Ceq\o\al(6,n)，则n的可能取值有()A．6B．7C．8D．9答案ABCD解析由Ceq\o\al(4,n)>Ceq\o\al(6,n)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n！,4！n－4！)>\f(n！,6！n－6！)，,n≥6))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2－9n－10<0，,n≥6))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<n<10，,n≥6，))又n∈N*，则n＝6,7,8,9.∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．(2)已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，求Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8).解∵eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，∴eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m！,6！)＝eq\f(7×7－m！m！,10×7！)，即eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m5－m！,6×5！)＝eq\f(7×m！7－m6－m5－m！,10×7×6×5！)，∴1－eq\f(6－m,6)＝eq\f(7－m6－m,60)，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.∵0≤m≤5，m∈N*，∴m＝2，∴Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8)＝Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝Ceq\o\al(3,9)＝84.反思感悟(1)组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)一般用于计算，而组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)一般用于含字母的式子的化简与证明．(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数Ceq\o\al(m,n)的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*.(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).跟踪训练1(1)计算：Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)证明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1).(1)解Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝4950＋200＝5150.(2)证明eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(n－1！,m！n－1－m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)＝Ceq\o\al(m,n).二、有限制条件的组合问题例2课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．解(1)Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(种)．(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，所以共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有Ceq\o\al(4,12)＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练2某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有()A．210种B．420种C．56种D．22种答案A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,7)＝210(种)．三、分组、分配问题命题角度1平均分组例3－1(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？解(1)先从6本书中选2本给甲，有Ceq\o\al(2,6)种方法；再从其余的4本中选2本给乙，有Ceq\o\al(2,4)种方法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有Ceq\o\al(2,2)种方法，所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(种)方法．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有Aeq\o\al(3,3)种方法．根据分步乘法计数原理，可得Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝xAeq\o\al(3,3)，所以x＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15.因此分为三份，每份两本，一共有15种方法．命题角度2不平均分组例3－2(1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？解(1)这是“不平均分组”问题，一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(种)方法．(2)在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(种)方法．命题角度3分配问题例3－36本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？解可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(种)方法；②“1,2,3型”，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(种)方法；③“1，1,4型”，有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90(种)方法，所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法．反思感悟“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．跟踪训练3将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．(1)有多少种放法？(2)每盒至多1个球，有多少种放法？(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？解(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法．(2)这是全排列问题，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)放法．(3)方法一先将4个小球分为3组，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有Aeq\o\al(3,4)种投放方法，故共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,4)＝144(种)放法．方法二先取4个球中的2个“捆”在一起，有Ceq\o\al(2,4)种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有Aeq\o\al(3,4)种投放方法，所以共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144(种)放法．(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有Ceq\o\al(1,4)种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有Ceq\o\al(1,4)·2＝8(种)放法．(5)先从4个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子中选出1个盒子放入2个球，余下2个盒子各放1个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＝12(种)放法．与几何有关的组合应用题典例如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解(1)方法一可作出三角形Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＝116(个)．其中以C1为顶点的三角形有Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝36(个)．方法二可作三角形Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,4)＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝36(个)．(2)可作出四边形Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,6)＝360(个)．[素养提升](1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．1．Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(5,7)的值为()A．72B．36C．30D．42答案B解析Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(5,7)＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(6×5,2×1)＋eq\f(7×6,2×1)＝15＋21＝36.2．若Ceq\o\al(2,n)＝28，则n的值为()A．9B．8C．7D．6答案B解析因为Ceq\o\al(2,n)＝28，所以eq\f(1,2)n(n－1)＝28，又n∈N*，所以n＝8.3．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，则m等于()A．9B．8C．7D．6答案C解析由已知得m(m－1)(m－2)＝6×eq\f(mm－1m－2m－3,4！)，解得m＝7，故选C.4．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为______．答案96解析从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,4)＝96(种)．5．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．答案18解析从4名男医生中选2人，有Ceq\o\al(2,4)种选法，从3名女医生中选1人，有Ceq\o\al(1,3)种选法，由分步乘法计数原理知，所求选法种数为Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＝18.1．知识清单：(1)涉及具体数字的可以直接用公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)简化运算．(4)分组分配问题．2．方法归纳：分类讨论、正难则反、方程思想．3．常见误区：分组分配中是否为“平均分组”．1．计算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)等于()A．120B．240C．60D．480答案A解析Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝eq\f(7×8,2×1)＋eq\f(6×7×8,3×2×1)＋eq\f(8×9,2×1)＝120.2．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有()A．60种B．48种C．30种D．10种答案C解析从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有Ceq\o\al(2,5)种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有Ceq\o\al(2,3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)＝30(种)，故选C.3．(多选)下列等式正确的有()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！) B．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1) D．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)答案ABC解析A是组合数公式；B是组合数性质；由eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(m＋1,n＋1)×eq\f(n＋1！,m＋1！n－m！)＝Ceq\o\al(m,n)得C正确；D错误．4．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()A．Ceq\o\al(32,197)·Ceq\o\al(2,3)种 B．Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)种C．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(5,197)种 D．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,197)种答案B解析至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)种抽法，(2)3件次品，2件正品，共Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)种．5．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A．205B．110C．204D．200答案A解析方法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为Ceq\o\al(0,5)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,5)＝205.方法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝205.6有______种．答案36解析把4名学生分成3组有Ceq\o\al(2,4)种方法，再把3组学生分配到3所学校有Aeq\o\al(3,3)种方法，故共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)保送方案．7．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)答案336解析当每个台阶上各站1人时有Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)种站法；当两个人站在同一个台阶上时有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)种站法．因此不同的站法种数为Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)＝210＋126＝336.8．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．答案600解析可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(种)选法；②甲、丙同不去，有Aeq\o\al(4,6)＝360(种)选法，所以共有600种不同的选派方案．9．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，求Ceq\o\al(12,n)的值．解由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2×eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求Ceq\o\al(12,n)的值，故n≥12，所以n＝14，于是Ceq\o\al(12,14)＝Ceq\o\al(2,14)＝eq\f(14×13,2×1)＝91.10．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解可以分三类：第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)种选法．根据分类加法计数原理，一共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)＝42(种)不同的选法．11．若Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，则n等于()A．12B．13C．14D．15答案C解析因为Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，即Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n)＋Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.12．在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共(m＋n＋1)个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，则可作出的三角形的个数为()A．Ceq\o\