（复习课）2024年高中数学高二暑假讲义02 正余弦定理（教师版）

第第页复习课高中数学高二暑假讲义02正余弦定理【例题讲解】【例1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝eq\f(a2,4)，求角A的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝eq\f(a2,4)，得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2,4)，故有sinBsinC＝eq\f(1,2)sin2B＝sinBcosB，因为sinB≠0，所以sinC＝cosB，又B，C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,2)±B.当B＋C＝eq\f(π,2)时，A＝eq\f(π,2)；当C－B＝eq\f(π,2)时，A＝eq\f(π,4).综上，A＝eq\f(π,2)或A＝eq\f(π,4).解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.【例2】在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状.[解]∵(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由余弦定理可得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．【例3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝－sin2C.(1)求C的大小；(2)若c＝2eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，求△ABC的面积.[思路探究](1)由m·n＝－sin2C，利用三角恒等变换求出C的大小；(2)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面积公式求解．[解](1)由题意，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA＝－sin2C，即sin(A＋B)＝－sin2C，sinC＝－2sinCcosC.由0<C<π，得sinC>0.所以cosC＝－eq\f(1,2).C＝eq\f(2π,3).(2)由C＝eq\f(2π,3)，A＝eq\f(π,6)，得B＝π－A－C＝eq\f(π,6).由正弦定理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(b,sin\f(π,6))＝eq\f(2\r(3),sin\f(2π,3))，解得b＝2.所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×sineq\f(π,6)＝eq\r(3).【例4】如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值．(结果保留根号，无需求近似值)[思路探究]根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决．[解]设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即128t2－60t－27＝0，解得t＝eq\f(3,4)或t＝－eq\f(9,32)(舍去)，∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．根据正弦定理，得sin∠BAC＝eq\f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq\f(5\r(3),14)，则cos∠BAC＝eq\r(1－\f(75,142))＝eq\f(11,14).又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，sinθ＝sin(45°－∠BAC)＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC＝eq\f(11\r(2)－5\r(6),28).【例5】SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②，由①②可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，不合题意，故舍去，故SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0．【例6】已知SKIPIF1<0的三边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0边上的高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由题，三角形的面积：SKIPIF1<0由余弦定理：SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值为4.故选：C课堂跟踪训练1.如图，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．[解](1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝eq\f(1,7)，所以sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7).所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝eq\f(ABsin∠BAD,sin∠ADB)＝3.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49.所以AC＝7.2.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.[解]法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝eq\f(\r(2),2).∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．3.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12eq\r(6)海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8eq\r(3)海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．[解]由题意，画出示意图．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12eq\r(6).由正弦定理得AD＝eq\f(AB,sin60°)·sin45°＝24(海里)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))2，∴CD＝8eq\r(3)(海里)．即A处与D处之间的距离为24海里，C，D之间的距离为8eq\r(3)海里．4.已知SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0三个内角SKIPIF1<0的对边，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值为____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以根据正弦定理得:SKIPIF1<0，化简可得:SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，(A为三角形内角)解得:SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，(b=c时等号成立)故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0正余弦定理检测卷1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝()A．4∶1∶1 B．2∶1∶1C．eq\r(2)∶1∶1 D．eq\r(3)∶1∶1答案D解析∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝eq\f(\r(3),2)∶eq\f(1,2)∶eq\f(1,2)＝eq\r(3)∶1∶1.故选D．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝eq\r(15)，b＝2，A＝60°，则tanB等于()A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,2)D．eq\f(\r(3),2)答案B解析由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(2,\r(15))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,\r(5))，根据题意，得b<a，故B<A＝60°，因此B为锐角．于是cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(2,\r(5))，故tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(1,2).3．在△ABC中，已知a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，则c等于()A．2eq\r(5) B．eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．以上都不对答案C解析∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴5＝15＋c2－2eq\r(15)×c×eq\f(\r(3),2).化简，得c2－3eq\r(5)c＋10＝0，即(c－2eq\r(5))(c－eq\r(5))＝0，∴c＝2eq\r(5)或c＝eq\r(5).4．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形答案B解析∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．5．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为()A．150° B．120°C．60° D．75°答案B解析令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3,2x＋1＝5，∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α，∴cosα＝eq\f(x2－12＋2x＋12－x2＋x＋12,2x2－12x＋1)＝－eq\f(1,2)，∴最大角为120°.6．在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是()A．[3eq\r(3)，6] B．(2,4eq\r(3))C．(3eq\r(3)，4eq\r(3)] D．(3,6]答案D解析由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(3,\f(\r(3),2)).∴AC＝2eq\r(3)sinB，AB＝2eq\r(3)sinC．∴AC＋AB＝2eq\r(3)(sinB＋sinC)＝2eq\r(3)[sinB＋sin(120°－B)]＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinB＋\f(\r(3),2)cosB＋\f(1,2)sinB))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)sinB＋\f(\r(3),2)cosB))＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinB＋\f(1,2)cosB))＝6sin(B＋30°)．∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.∴eq\f(1,2)<sin(B＋30°)≤1.∴3<6sin(B＋30°)≤6.∴3<AC＋AB≤6.7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，则c＝________.答案eq\f(14,5)解析∵cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，∴sinA＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(12,13).∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(56,65).又sin(π－C)＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinC＝eq\f(56,65)，由正弦定理，得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(3×\f(56,65),\f(12,13))＝eq\f(14,5).8．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________km(精确到0.1km)．答案5.2解析作出示意图如图．由题意，知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理，得eq\f(6,sin35°)＝eq\f(BS,sin30°)，解得BS≈5.2(km)．9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且eq\f(2a－c,c)＝eq\f(tanB,tanC)，则角B的大小为________．答案60°解析∵eq\f(2a－c,c)＝eq\f(tanB,tanC)，根据正弦定理，得eq\f(2sinA－sinC,sinC)＝eq\f(tanB,tanC)＝eq\f(sinBcosC,sinCcosB).化简为2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝eq\f(1,2).∵0°<B<180°，∴B＝60°.10．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3eq\r(3)，BD＝5，sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)，则CD的长度等于________．答案4解析由题意知sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠CBD))＝cos∠CBD，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝27＋25－2×3eq\r(3)×5×eq\f(2\r(3),5)＝16.∴CD＝4.11．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)若c－b＝1，求a的值．解(1)在△ABC中，∵cosA＝eq\f(12,13)，∴sinA＝eq\f(5,13).又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝30，∴bc＝12×13.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝bccosA＝144.(2)由(1)知bc＝12×13，又c－b＝1，∴b＝12，c＝13.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝122＋132－2×12×13×eq\f(12,13)＝25，∴a＝5.12．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．解由余弦定理，知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知条件，得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分，得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理，得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理，知△ABC是直角三角形．13．已知△A