人教版2024年数学七年级上册 暑假讲义05 有理数的乘方及混合运算+同步练习 (教师版)

页有理数的乘方及混合运算【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0叫做底数，n叫做指数.要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．【典型例题】类型一、有理数乘方1.把下列各式写成幂的形式：(1)SKIPIF1<0；(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；(3)SKIPIF1<0．【答案与解析】(1)SKIPIF1<0；(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52；(3)SKIPIF1<0【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.2．计算：（1）SKIPIF1<0（2）（3）（4）（5）SKIPIF1<0（6）SKIPIF1<0（7）SKIPIF1<0（8）SKIPIF1<0【答案与解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0SKIPIF1<0【总结升华】SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不同，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的n次幂的相反数．举一反三：【变式1】计算：(1)(-4)4(2)23(3)SKIPIF1<0(4)(-1.5)2【答案】(1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；(2)23＝2×2×2=8；(3)SKIPIF1<0(4)(-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25【变式2】比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（）A． 它们底数相同，指数也相同B． 它们底数相同，但指数不相同C． 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D． 虽然它们底数不同，但运算结果相同【答案】D．解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.类型二、乘方的符号法则3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，SKIPIF1<0，-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；SKIPIF1<0运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．举一反三：【变式】计算：(-1)2009的结果是()．A．-lB．1C．-2009D．2009【答案】A类型三、有理数的混合运算4.计算：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0【答案与解析】（1）法一：原式＝SKIPIF1<0；法二：原式=SKIPIF1<0（2）原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)原式SKIPIF1<0=-32-3+66-9=22(4)原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．举一反三：【变式1】计算：SKIPIF1<0【答案】原式SKIPIF1<0【变式2】计算：SKIPIF1<0【答案】原式SKIPIF1<05.SKIPIF1<0（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0 （C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】C【解析】逆用分配律可得：SKIPIF1<0，所以答案为：C【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.举一反三：【变式】计算：SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0类型四、探索规律6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第SKIPIF1<0次捏合抻拉得到根面条，要想得到64根细面条，需次捏合抻拉.第1次第2次第3次【答案】8;32;SKIPIF1<0;6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：第1次：SKIPIF1<0；第2次：SKIPIF1<0；第3次：SKIPIF1<0；…；第SKIPIF1<0次：SKIPIF1<0.第3次捏合抻拉得到面条根数：SKIPIF1<0，即8根；第5次得到：SKIPIF1<0，即32根；第SKIPIF1<0次捏合抻拉得到SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．举一反三：【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．【答案】6科学记数法与近似数【学习目标】1.理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数；2.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；3.体会近似数在生活中的实际应用.【要点梳理】要点一、科学记数法把一个大于10的数表示成SKIPIF1<0的形式（其中SKIPIF1<0是整数数位只有一位的数，l≤|SKIPIF1<0|＜10，SKIPIF1<0是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“SKIPIF1<0”照写，其它与正数一样，如SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；（2）把一个数写成SKIPIF1<0形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.要点二、近似数及精确度1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到SKIPIF1<0米，说明结果与实际数相差不超过SKIPIF1<0米.【典型例题】类型一、科学记数法1.用科学记数法表示：(1)SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0亿；（3）SKIPIF1<0【答案与解析】解：（1）把SKIPIF1<0写成SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，它是将原数的小数点向左移动9位得到的，即把原数缩小到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0亿=300000000000，把SKIPIF1<0亿写成SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值应比300000000000的整数位少1，因此SKIPIF1<0，所以3000亿=SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0写成SKIPIF1<0时，“-”照写，其它和正数一样，所以SKIPIF1<0.【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成SKIPIF1<0形式，SKIPIF1<0的确定：n比这个数的整数位数少1.举一反三：【变式】中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（） A．0.675×105 B． 6.75×104 C． 67.5×103 D． 675×102【答案】B．2.把下列用科学记数法表示的数转化成原数.（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0千米【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用解：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0千米=SKIPIF1<0千米【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数，方法简单：SKIPIF1<0是几就将SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的小数点向右移动几位.类型二、近似数及精确度3．由四舍五入法得到的近似数6.8×103，下列说法中正确的是（）A． 精确到十分位，有2个有效数字B． 精确到个位，有2个有效数字C． 精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字【思路点拨】103代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【答案】C．【解析】解：个位代表千，那么十分位就代表百，乘号前面从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个．【总结升华】本题考查了近似数与有效数字，较大的数用a×10n表示，看精确到哪一位，需看个位代表什么；有效数字需看乘号前面的有效数字．举一反三：【变式】用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数（1）SKIPIF1<0万（精确到千位）；（2）12341000（精确到万位）.【答案】解：（1）SKIPIF1<0万=SKIPIF1<0SKIPIF1<0或表示为SKIPIF1<0万；（2）12341000SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.4.下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪一位.（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0亿；（3）SKIPIF1<0【答案与解析】解：(1)SKIPIF1<0精确到百分位；（2）SKIPIF1<0亿精确到百万位；（3）SKIPIF1<0精确到千位.【总结升华】一般的近似数，四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位，例：SKIPIF1<0精确到百分位，则百分位就是精确度；若是汉字单位“万、千、百”类近似数，精确度是由其最后一位数所在的数位确定的，但必须先把该数写成单位为“个”位的数再确定其精确度；用形如SKIPIF1<0的数，其精确度看SKIPIF1<0中最后一位数在原数中的数位.类型三、近似数与精确数5．测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他身高的精确值x所在范围是_____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】1.66是由四舍五入得到的数，若通过“入”得到1.66，则最小数应是1.655，若通过“舍”得到1.66，则最大数不存在，但能判断小于1.665，所以SKIPIF1<0.【总结升华】本类型题目的答案一般形式为：SKIPIF1<0，“精确度”是用来说明结果与实际数误差大小的，如精确到SKIPIF1<0表示结果与实际数字相差不大于SKIPIF1<0.举一反三：【变式】近似数SKIPIF1<0的准确数SKIPIF1<0的取值范围是_________________.【答案】SKIPIF1<0.《乘方》课时练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3计算－22的结果是()A.－2B.－4C.2D.4答案为：BLISTNUMOutlineDefault\l3一个数的偶数次幂是正数，这个数是（）A.正数B.负数C.正数或负数D.有理数答案为：CLISTNUMOutlineDefault\l3下列各式不成立的是()A.22=(-2)2B.(-2)3=-23C.-(-2)=-|-2|D.-(-3)=|＋(-3)|下列各式不成立的是()A.22=(-2)2B.(-2)3=-23C.-(-2)=-|-2|D.-(-3)=|＋(-3)|LISTNUMOutlineDefault\l3在0,﹣(﹣1),(﹣3)2，﹣32，﹣|﹣3|,a2中，正数的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个答案为：BLISTNUMOutlineDefault\l3钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米,170000用科学记数法表示为()A.1.7×103 B.1.7×104 C.17×104 D.1.7×105答案为：D.LISTNUMOutlineDefault\l3我国国土面积约960万平方千米,用科学记数法可表示为()平方千米.A.96×105 B.960×104 C.9.6×107 D.9.6×106答案为：D.LISTNUMOutlineDefault\l3据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为()A.3.9×1010B.3.9×109C.0.39×1011D.39×109答案为：A.LISTNUMOutlineDefault\l3一个数用科学记数法表示为5.1×10n＋1，则原数的整数位有()A.(n－1)位B.n位C.(n＋1)位D.(n＋2)位答案为：D.LISTNUMOutlineDefault\l3计算3.8×107－3.7×107，结果用科学记数法表示为()A.0.1×107B.0.1×106C.1×107D.1×106答案为：DLISTNUMOutlineDefault\l3下列各对数中，数值相等的是()A.－27与(－2)7B.－32与(－3)2C.－3×23与－32×2D.－(－3)2与－(－2)3答案为：A.LISTNUMOutlineDefault\l3-xn与(-x)n的正确关系是()A.相等B.互为相反数C.当n为奇数时它们互为相反数，当n为偶数时相等D.当n为奇数时相等，当n为偶数时互为相反数答案为：DLISTNUMOutlineDefault\l3下列结论正确的是(

)A.两个负数，绝对值大的反而小

B.两数之差为负，则这两数异号

C.任何数与零相加，都得零

D.正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是负数答案为：A.LISTNUMOutlineDefault\l3设a=-(-3-2)2，b=(-3)×(-2)，c=(-3)2÷(-2)2，则(

)A.b>a>c

B.b>c>a

C.a>b>c

D.c>a>b答案为：B二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3计算：－14＋1=____________答案为：0LISTNUMOutlineDefault\l3将5700000用科学记数法表示为．答案为：5.7×106．LISTNUMOutlineDefault\l3据教育部统计，参加全国统一高考的考生有940万人，940万人用科学记数法表示为人．答案为：9.4×106．LISTNUMOutlineDefault\l3已知(a－1)2＋(b－3)2028=0，则a2029b3=________.答案为：27LISTNUMOutlineDefault\l3比较大小：(－3)2＋42____________2×(－3)×4；答案为：>LISTNUM