正定矩阵的判定

正定矩阵的判定泰山学院正定矩阵的判定所在学院专业名称申请学士学位所属学科年级学生姓名、学号指导教师姓名职称装订日期2015年6月30日一、开题报告二、任务书三、论文1.封面2.中文摘要3.英文摘要4.目录5.正文6.参考文献7.致谢评委评语及其建议：评委签字：学院盖章：2014年12月20日泰山学院毕业论文任务书题目正定矩阵的判定学院年级专业姓名学号指导教师签字学生签字2014年12月20日你的毕业论文开题报告已通过，现将毕业论文工作任务下达给你,请按照要求认真完成。主要内容如下：正定矩阵的判定基本要求论文写作前必须充分收集关于“正定矩阵的判定”的相关资料；在参考已有文献的基础上，矩阵作为科学研究的一项重要工具，在数学、工程技术、自然科学以及经济管理等领域发挥着重要作用，要有一定的新见解；论文的文字要通顺、书写规范、表述准确.倡导独立思考、杜绝抄袭和尽可能减少雷同；文字数控制在6000字左右。应收集的资料及主要参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996.[2]王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989.[3]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1993.[4]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[5]北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.[6]张禾瑞，郝炳新.高等代数(第四版)[M].北京：高等教育出版社，1999.进度安排1.调研、收集资料务必于2014年12月10日前完成。2.写作初稿务必于2015年4月10日前完成。3.修改、定稿、打印务必于2015年5月30日前完成。本毕业论文完成期限任务书下达于2014年12月20日。任务完成后，2015年6月5日前按照规定格式打印交至学院，由指导教师评阅后提交毕业论文答辩委员会。泰山学院本科毕业论文 正定矩阵的判定所在学院专业名称申请学士学位所属学科年级学生姓名、学号指导教师姓名、职称完成日期二〇一五年六月摘要PAGE\*ROMANI摘要矩阵理论是线性代数的核心内容，是数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。并且矩阵理论在几何学、物理学、概率论及最优化理论等诸多学科中具有广泛的应用而且一直都是重要的热门课题。矩阵作为科学研究的一项重要工具，在数学、工程技术、自然科学以及经济管理等领域发挥着重要作用，掌握好矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件。正定矩阵作为一类特殊的矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位，而正定矩阵的判定又是正定矩阵研究的重要内容，接下来文中文中给出了定义法、标准型法、顺序主子式法、特征值法、矩阵分解法五种判断实对称矩阵正定的方法，并举例说明如何判断一个实对称方阵是否正定。关键词：线性代数；正定矩阵；基本概念；性质；判定方法ABSTRACTPAGE\*ROMANIIABSTRACTMatrixtheoryisthecorecontentoflinearalgebra,isoneofthemostimportantbasicconceptsinmathematics,isanimportanttoolforthemainresearchobjectalgebraanditsapplication,itrunsthrougheverypartoflinearalgebra.Andthematrixtheoryingeometry,physics,probabilitytheoryandtheoptimizationtheoryandotherdisciplinesiswidelyusedandhasbeenahottopicof.Matrixisanimportanttoolofscientificresearch,playanimportantroleinthefieldofmathematics,engineeringtechnology,naturalscienceandeconomicmanagement,mastermatrixtheoryisessentialtolearnlinearalgebra.Positivedefinitematrixasakindofspecialmatrixplaysaveryimportantroleinmatrixtheory,anddeterminethepositivedefinitematrixandpositivedefinitematrixisanimportantcontentoftheresearch.ThispapergivesthedefinitionofChinesemethod,standardmethod,sequenceanalysis,eigenvaluemethod,matrixdecompositionmethodoffivekindsofmethodstojudgethepositiverealsymmetricmatrix,andanexampleisgiventoillustratehowtojudgewhetherarealsymmetricpositivedefinitematrix.Keywords:Linearalgebra,Positivedefinitematrix,Thebasicconcept,Nature,Judgingmethod目录PAGE\*ROMANIII目录TOC\o1引言12正定矩阵的基本概念13正定矩阵的性质24正定矩阵的判定方法34.1定义法34.2标准形法44.3顺序主子式法54.4特征值法64.5矩阵分解法85参考文献 106致谢 11泰山学院本科毕业论文PAGE\*Arabic111引言矩阵理论是线性代数的核心内容，是数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。并且矩阵理论在几何学、物理学、概率论及最优化理论等诸多学科中具有广泛的应用而且一直都是重要的热门课题。矩阵作为科学研究的一项重要工具，在数学、自然科学、工程技术以及经济管理等领域发挥着重要作用，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件。正定矩阵作为一类特殊的矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位，而正定矩阵的判定又是正定矩阵研究的重要内容，接下来文中文中给出了定义法、标准型法、顺序主子式法、特征值法、矩阵分解法五种判断实对称矩阵正定的方法，并举例说明如何判断一个实对称方阵是否正定。2正定矩阵的基本概念定义1实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数，有定义2若实数域上的一个元二次型是正定二次型，则称为正定矩阵。其中，注：（1）正定二次型和正定矩阵是一一对应的关系。（2）经非退化的线性替换，新二次型的矩阵和原二次型的矩阵合同。3正定矩阵的性质1、与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵。实际上由合同的传递性、正定矩阵均与单位矩阵合同可知结论成立。2、正定矩阵的主对角线上的元素全大于零。事实上当实对称矩阵是正定矩阵时，由它确定的二次型必为正定二次型。不妨假设，取，代入上式得，这与正定矛盾，所以假设不成立，即。3、正定矩阵的行列式大于零。正定矩阵与单位矩阵合同，存在可逆矩阵，使得，，由此还可看出：正定矩阵一定是可逆矩阵。4、正定矩阵的元素的绝对值的最大者一定是主对角线上的元素。设是正定矩阵，其中为绝对值最大者，则，又知道所有主子式都大于零，，与假设矛盾，正定矩阵中元素的绝对值的最大者一定是主对角线上的元素。注：这个结论常用于判定某些实对称矩阵不是正定的矩阵。这是因为只要有一个非主对角线上的元素的绝对值不小于主对角线上元素的绝对值的最大者，则这个实对称矩阵必定不是正定矩阵。5、正定矩阵乘积的特征根都大于零。设均为正定矩阵，则有可逆矩阵，使得，可逆，又是正定矩阵，从而与正定矩阵相似，而相似矩阵的特征根相同，所以的特征根都大于零。注：不一定是对称矩阵。6、若是一个阶正定矩阵，则（其中是主对角线上元素全大于零的上三角形矩阵）。事实上有可逆矩阵,使得(其中是正交矩阵，是一个上三角矩阵且主对角线上的元素均为正数)。。7、正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵。正定矩阵与单位矩阵合同，存在可逆矩阵，使得，取逆矩阵，即有，则与单位矩阵合同，是正定矩阵。4正定矩阵的判定方法正定矩阵是一类特殊重要的矩阵，正定矩阵的判定又是正定矩阵讨论的重要内容，以下给出了五种正定矩阵的判定方法。4.1定义法阶实对称矩阵称为正定矩阵，如果对于任意的维实非零列向量，都有.正定的实对称矩阵简称为正定矩阵，记作：。例1设是正定矩阵，是非奇异实方阵，则也是正定矩阵。证明是实对称矩阵，也是实对称矩阵，又对任何实的非零列向量，由于，，即是正定矩阵例2设都是阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。证明显然矩阵是实对称矩阵，任取知，由，知存在阶可逆矩阵，使得,即，所以对任意的，因为，所以总存在一个，使得，又有：对以上的成立。所以，即。注：用定义证明矩阵正定需证明两点：1）为实对称矩阵。2）对任何的非零实列向量，4.2标准形法（合同变换法）下面五个陈述是等价的：1）阶实对称矩阵是正定的；2）正惯性指数等于；3）合同于单位矩阵；4）存在可逆矩阵，使得；5）的特征值全大于零。推论与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵。例2证明：若是正定矩阵，则也是正定矩阵。证明是正定矩阵，是实对称矩阵，可逆，且，即也是实对称矩阵。例3设是阶实对称矩阵，，证明：为正定矩阵的充要条件为对所有的正定矩阵恒有证明必要性由正定，则存在实可逆矩阵，使得，于是充分性设不是正定的，由，必有负特征值，设为由实对称,则存在正交矩阵,使得,这里令则正定.令,则正定,但是,矛盾.4.3顺序主子式法1）的所有顺序主子式全大于零。2）的所有主子式全大于零。注：类似的我们可以得到半正定矩阵的7个等价命题：a）阶实对称矩阵是半正定的；b)负惯性指数为零；c)合同于；d)存在阶矩阵,使得；e)的特征值全非负。例4判断二次型是否正定。解二次型的矩阵为三角矩阵的任意的阶顺序主子式=，所以矩阵为正定矩阵，原二次型为正定二次型。例5取何值时，二次型是正定二次型。解二次型对应的矩阵为要使二次型正定，则的各阶顺序主子式全大于零，即满足：得到，时，二次型为正定二次型。4.4特征值法的特征值全大于零，于是存在正交矩阵，使得，，，即存在正交线性替换，使得，，例6证明：二次型为正定二次型。证设的矩阵为，则由，可知的特征值，由于特征值全为正数，所以是正定矩阵，从而为正定二次型。例7设,问满足什么条件正定。解（1）当变元的个数为偶数时，的矩阵为，于是，故的特征值为（均为重），故正定（2）当变元的个数为奇数时，，故的特征值为正定综上所述，4.5矩阵分解法如果矩阵有分解式:，则列满秩时，正定；行满秩时，半正定。一般地，如果矩阵能分解成若干个简单矩阵的和、积等，则可能将问题化难为易，矩阵分解也是一种解决问题的方法。例8证明：是半正定矩阵。证明：因为，其中是行满秩的，所以是半正定矩阵。例9设阶实对称矩阵，而且正定，求证：存在正定矩阵，使，且是唯一的。证明由正定，则存在正交矩阵，使得，这里令，则是正定矩阵，且下证唯一性。设存在正定矩阵使得,则是反对称矩阵，于是的特征值为零和纯虚数。若能证明的特征值全为零，则。由正定，则存在正定矩阵，使得，于是由实对称，则其特征值皆为实数，又知的特征值皆为实数，于是的特征值皆为实数。由的特征值为和纯虚数，则的特征值全为，故，注意到可逆，所以可得，故，唯一性得证。参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996.[2]王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989.[3]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1993.[4]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[5]北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.[6]于增海.高等代数考研选讲[M