专题08 探索“手拉手”模型（解析版）

专题08探索“手拉手”模型【常见模型】共顶点的等腰三角形共顶点的等边三角形共顶点的等腰直角三角形共顶点的正方形【典例解析】【例1】（2021·射阳县月考）如图，，都是等边三角形，BE，CD相交于点O．（1）求证：BE=CD；（2）求∠BOC的度数．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC；（2）由（1）可得出∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=180°-∠ODB-60°-∠ADC=120°-（∠ODB+∠ADC）=60°，∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-60°=120°．【例2】（2020·常州市武进区月考）如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面的结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC,其中结论正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D.【解析】∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，∴△ABE≌△DBC，①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正确；由△ABP≌△DBQ，∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；由全等三角形对应边上的高相等，知B到CD、AE的距离相等，故BM平分∠AMC，∴④正确；综上所述：正确的结论有4个.【例3】（2020·沙坪坝月考）已知：在中，，以为顶点作，连接．（1）如图，若，求的面积：（2）如图，若为的中点，连接并延长交于，求证：（3）如图，为上一点，，连接为上一点，，连接，过作于，若，请直接写出的长．【答案】见解析.【解析】（1）解：∵BE=2.5∴BD=BE=2.5∵∠CBE=120°∴∠ABD=60°∵AD⊥BD∴AB=2BD=5，∴△ABC面积为：12.5.（2）证明：过A作AM∥BD交BF延长线于M∴∠M=∠FBD，∠MAB+∠ABD=180°∵F为AD的中点∴AF=DF又∠1=∠2，∴△AMF≌△DBF∴AM=BD，∴AM=BE，∵∠CBE+∠ABD=180°，∠ABD+∠BAM=180°∴∠CBE=∠BAM∴△ABM≌△BCE∴∠BEC=∠M=∠FBD∵∠FBD+∠HBE=90°∴∠BEC+∠HBE=90°∴∠BHE=90°，即FH⊥CE.（3）在BF上取一点M，使得BM=DF，连接GM，过A作AN⊥BF于N，可得：△GMB≌△GFD，得等边△GMF故BF=FG+DF=9由角平分线得：AH=AN，而S△ABF=10，故AH=．【例4】（2020·湖南双清期末）以点为顶点作等腰，等腰，其中，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接、．（1）试判断、的数量关系，并说明理由；（2）延长交于点试求的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE.（2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠ABD，在△CDF中，∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF，∵∠CDF=∠BDA，∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；（3）BD=CE成立，∠BFC=90°．理由如下：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，∴∠BFC=∠DAB=90°．【例5】（2019·河北安平期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则___________度．【答案】132.【解析】解：∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠BCD=∠ACE又AC=BC，CD=CE∴△BDC≌△AEC∴∠DBC=∠EAC∵∠EBD=∠DBC+∠EBC=42°∴∠EAC+∠EBC=42°，∴∠ABE+∠EAB=48°∴∠AEB=132°故答案为：132.【习题专练】1.（2020·沈阳兴华月考）（1）问题发现与探究：如图，都是等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接BD，则：（1）线段AE，BD之间的大小关系是___________；；（2）求证：AD=2CM+BD；【答案】（1）AE＝BD，90°；（2）见解析.【解析】（1）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACD≌△BCE，∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC，∵∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠AEC＝135°，∴∠BDC＝135°，∴∠ADB＝90°；故答案为：AE＝BD，90°；（2）证明：在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM，∴AD＝DE＋AE＝2CM＋BD.2.（2020·江阴市月考）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解：∵∠AOB=∠COD=40°∴∠AOC=∠BOD又OA=OB,OC=OD∴△AOC≌△BOD∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；过O作OG⊥CM于G，OH⊥BM于H，可得：OG=OH，∴OM平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故答案为：B．3.（2020·山东济阳期末）如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是()①；②；③；④若，且，则．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】解：∵△ABD与△AEC是等边三角形∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC即∠DAC=∠EAB∴△DAC≌△BAE∴BE=CD，①正确；∵△DAC≌△BAE∴∠ADO=∠ABO∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB∴∠BDA-∠ADC≠∠CEA-∠AEB∴∠BDO≠∠CEO，③错误∵AD∥BC∴∠DAC+∠BCA=180°∵∠DAB=60°，∠BAC=90°∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°∵∠ACE=60°∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°∴BC⊥CE，④正确故由①②④三个正确，故答案为：C.4.（2020·重庆巴南月考）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．5.（2019·东北师大附中期末）已知和都是等腰三角形，，，．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则__________．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：．（深入研究）（3）如图③，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，则的度数为__________；线段，之间的数量关系为__________．（4）如图④，和都是等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，则的度数为__________；线段，，之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转，连结、．当，时，在旋转过程中，与的面积和的最大值为__________．【答案】见解析.【解析】[初步感知]=.（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE都是等腰直角三角形，AM为△ADE中DE边上的高，∴AM=EM=MD，∴AM+BD=CM；故答案为：90°，AM+BD=CM；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，△ADE与△ADC面积的和达到最大，∴△ADC面积最大，∵在旋转的过程中，AC始终保持不变，∴要△ADC面积最大，∴点D到AC的距离最大，∴DA⊥AC，∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+×AC×AD=5+2=7，故答案为7．6.（2019·福建龙岩期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．【解析】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．理由：∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延长MB交AN于点C．∵△MBP≌△ANP，∴∠PAN＝∠PMB，∵∠PAN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）结论成立理由：∵△APM，△BPN，都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝PA，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）取PB的中点C，连接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC为等边三角形，∴∠PAC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．7.（2019·江苏盐城期中）（1）（观察发现）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，则线段BD与AE的数量关系是，BD与AE相交构成的锐角的度数是.（只要求写出结论，不必说明理由）（2）（深入探究）如图2，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，猜想线段BD与AE的数量关系，以及BD与AE相交构成的锐角的度数.请说明理由结论：理由：_______________________【答案】（1）BD=AE，60°；（2）BD=AE，60°；（3）见详解.【解析】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

即∠ACE=∠BCD，

在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，

由三角形的外角性质，∠DPE=∠AEC+∠DBC，

∠DCE=∠BDC+∠DBC，∴∠DPE=∠DCE=60°；（2）结论BD=AE，∠DPE=60°还成立．∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，∵∠BDC+∠CDE+∠AED=∠AEC+∠CDE+∠AED=∠CDE+∠CED=180°-∠DCE=180°-60°=120°，∴∠DPE=180°-（∠BDC+∠CDE+∠AED）=180°-120°=60°；8.（2019·内蒙古赛罕期中）如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有_________．①；②；③；④；⑤平分【答案】①②③⑤.【解析】解：∵△ABE，△BCD均为等边三角形，∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴AD=EC，故①正确；∴∠DAB=∠BEC，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM和△EBN中，∴△ABM≌△EBN（ASA），∴BM=BN，故②正确；∴△BMN为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN∥AC，故③正确；若EM=MB，则AM平分∠EAB，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；作BG⊥AD，BH⊥CE，可知△ABD≌△EBC，∴两个三角形对应边的高相等，即BG=BH，∴OB是∠AOC的角平分线，故⑤正确.故答案为：①②③⑤.9.（2020·安徽淮南月考）（提出问题）（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：CN∥AB．图1（类比探究）（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论CN∥AB还成立吗？请说明理由．图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵△ABC和△AMN都是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠ABM=∠BAC=∠ACB=∠MAN=60º，∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN，∴∠BAM=∠CAN，又AB=AC，AM=AN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ACN=∠ABM=60º，又∠ACB=60º，∴∠ABM+∠BCN=180º，∴CN∥AB；（2）CN∥AB成立，理由如下：∵△ABC和△AMN都是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠ABM=∠BAC=∠ACB=∠MAN=60º，∴∠BAC+∠MAC=∠MAC+∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，AB=AC，AM=AN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ACN=∠ABM=60º，又∠ACB=60º，∴∠ABM+∠BCN=180º，∴CN∥AB．10.（2020·四川彭州期末）（1）如图1，和都是等边三角形，且