专题10 易错易混集训：勾股定理（解析版）

专题10易错易混集训：勾股定理易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式典型例题典型例题易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解例题：（2022·湖北·恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）若一个直角三角形的两边长为3和4，则它第三边的长为______．【答案】或5【分析】分边长为4的边是斜边和直角边两种情况，再分别利用勾股定理即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当边长为5的边是斜边时，则第三边长为；（2）当边长为5的边是直角边时，则第三边长为；综上，第三边长为或5，故答案为：或5．【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．【变式训练】1．（2022·广东·东莞市南城阳光实验中学八年级期中）直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为_____．【答案】或【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解．【详解】解：当3是直角边时，第三边长为：，当3是斜边时，第三边长为：，所以，第三边长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理，是基础题，注意要分情况讨论．2．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15，那么这个三角形的第三边长为______．【答案】17或【分析】分两种情况：当8和15都是直角边时；当15是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．【详解】解：当8和15都是直角边时，第三边长为：，当15是斜边长时，第三边长为：．故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．3．（2022·云南·弥勒市长君实验中学八年级阶段练习）已知，那么以，为边长的直角三角形的第三边长为_______．【答案】4或【分析】先根据算术平方根和偶次方的非负性求出，再分①长为3和5的边均为直角边，②长为5的边为斜边两种情况，利用勾股定理即可得．【详解】解：，且，，解得，①当长为3和5的边均为直角边时，则这个直角三角形的第三边长为；②当长为5的边为斜边时，则这个直角三角形的第三边长为；故答案为：4或．【点睛】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性、勾股定理，正确分两种情况讨论是解题关键．4．（2022·安徽·合肥市西苑中学八年级期中）已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为______．【答案】5或##或5【解析】【分析】由非负性的性质可求得x与y的值，再分两种情况，利用勾股定理即可求得第三边的长．【详解】∵，，且，∴，，解得：x=3，y=4．当x=3，y=4为直角三角形的两直角边时，由勾股定理得第三边为：；当x=3为一直角边，y=4为斜边时，由勾股定理得第三边为：．故答案为：5或．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，涉及两个非负数的和为零则它们均为零的性质，注意求得的两边无法确定都是直角边还是一条直角边和一条斜边，故要分类讨论．5．（2020·四川成都·八年级阶段练习）如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．【答案】5或##或【解析】【分析】分两种情况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，故答案为：或【点睛】本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.6．（2022·河南·郑州市二七区侯寨一中八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点始终落在边AC上，若△MC为直角三角形，则BM的长为____________【答案】+或1【分析】①如图1，当∠MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CM是等腰直角三角形，得到CM=M，列方程即可得到结论．【详解】解：①如图1，当∠MC=90°，与A重合，M是BC的中点，∴BM=BC=+；②如图2，当∠MC=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CM是等腰直角三角形，∴CM=M，∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点，∴BM=M，∴CM=BM，∵BC=+1，∴CM+BM=BM+BM=+1，∴BM=1，综上所述，若△MC为直角三角形，则BM的长为+或1，故答案为：+或1．

【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．7．（2022·河南·郑州枫杨外国语学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是斜边AB上一个动点，E是直线BC上的一个动点，将△ABC沿DE折叠，使点B的对应点F落在直线AB上，连接CF，当△CEF是直角三角形时，线段BD的长为_____．【答案】或5【分析】分两种情况讨论：当∠CFE＝90°时，过点C作CM⊥AB于点M，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，由直角三角形两锐角互余易得FC=AC=6，则M为AF的中点，由面积相等可求得CM的长，再由勾股定理可求得MF的长，则可求得BF的长，从而可得BD的长；当∠ECF＝90°时，此时点F落在点A，则BD＝AB＝5．【详解】解：①当∠CFE＝90°时，过点F作CM⊥AB于点M，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，∵∠A+∠B=90°，∠EFB+∠CFA=90°，∴∠A=∠CFA，∴FC=AC=6，∵CM⊥AB，∴；∵，∴，在Rt△CFM中，由勾股定理得：，∴，∴，∴；②当∠ECF＝90°时，点F落在点A，则BD＝AB＝5；综上，线段BD的长为或5．故答案为：或5．【点睛】本题主要考查翻折变换（折叠问题）、勾股定理、等腰三角形的判定，由翻折的性质和直角三角形锐角互余得到FC=AC，是解答本题的关键．注意等积思想的应用．易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解例题：（2021·北京市鲁迅中学八年级期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC=___________．【答案】7或25【解析】【分析】已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠ABC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．【详解】解：分两种情况：①如图1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD=在Rt△ADC中AC=20，AD=12，由勾股定理得：DC=∴BC的长为BD+DC=9+16=25．②如图2，同理得：BD=9，DC=16，∴BC=CD-BD=7．综上所述，BC的长为25或7．故答案为：25或7．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长．当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论．【变式训练】1．（2021·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为________________．【答案】32或42##42或32【解析】【分析】作出图形，利用勾股定理列式求出、，再分在内部和外部两种情况求出，然后根据三角形的周长的定义解答即可．【详解】解：，，边上的高，，，如图1，在内部时，，此时，的周长，如图2，在外部时，，此时，的周长，综上所述，的周长为32或42．故答案为：32或42．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是分情况讨论求出的长，作出图形更形象直观．2．（2022·山西·孝义市第六中学校八年级阶段练习）已知△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC边上的高AD＝4，则BC＝__________．【答案】或【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：当△ABC为锐角三角形；当△ABC为钝角三角形；利用勾股定理，分别求出答案即可．【详解】解：分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：；在Rt△ACD中，根据勾股定理得：，此时；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：；在Rt△ACD中，根据勾股定理得：，此时．综上，BC的长为或．故答案为：或．

图1

图2【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理进行计算，会运用分类讨论的思想进行分析．3．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．【答案】或【解析】【分析】根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．4．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期末）在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿线段以每秒的速度运动到．当点的运动时间______秒时，的面积为．【答案】或【分析】根据线段中点的性质得到，再由三角形的面积公式推出，结合图形可以分点在点左侧和点在点右侧两种情况进行讨论，由线段之间的和差关系及行程问题公式时间路程速度进行求解即可．【详解】解：∵点是的中点，∴，又，即，解得，当点在点左侧时，，则，此时点的运动时间秒．当点在点右侧时，，则，此时点的运动时间秒，综上，点的运动时间为或秒．故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是求得长度后结合图形分情况进行讨论点在点左侧和点在点右侧．易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解例题：（2022·浙江绍兴·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB为边在△ABC外作等腰直角△ABD，连接CD，则CD=_____．【答案】2或或【解析】【分析】分三种情况画出图形，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案．【详解】解：如图1，∠ABD=90°，∵AC=4，BC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，延长CB，过点D作DE⊥CB于点E，∵DE⊥CB，∴∠BED=∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠CBA+∠DBE=90°，∴∠CAB=∠EBD，在△ACB与△BED中，，∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2，∴CE=6，根据勾股定理得：；如图2，∠BAD=90°，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°，∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠CAB+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠ADE，在△ACB与△DEA中，，∴△ACB≌△DEA（AAS），∴DE=AC=4，AE=BC=2，∴CE=6，根据勾股定理得：；如图3，∠ADB=90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，在△AFD和△DEB中，，∴△AFD≌△DEB（AAS），∴AF=DE，DF=BE，∴2+DF+BE=4，∴DF=BE=1，∴CE=DE=3，∴．综合以上可得CD的长为2或或．故答案为2或或．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式训练】1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．【答案】5或8或【解析】【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①当AB＝BP时，如图1，t＝5；②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．故答案为：5或t＝8或t＝．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．2．（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）Rt△ABC中，直角边AC＝8，斜边AB＝17，在直线AC上取一点D，使△ABD为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为_____．【答案】50或34+3或34+5或【分析】分三种情况讨论：①如图1，当AB＝BD＝17时；②如图2，当AB＝AD＝17时；③如图3，当AB为底时，AD＝BD．【详解】解：在Rt△ABC中，BC，①如图，图1当AB＝BD＝17时，CD＝CA＝8时，AD＝16，∴△ABD的周长为17×2+16＝50；②如图，图2当AB＝AD＝17时，得CD＝AD﹣AC＝9或CD＝AD+AC＝25，在Rt△BCD中，或，∴△ABD的周长为或．③如图，图3当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣8，在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2，即x2＝（x﹣8）2+152，解得：，∴△ABD的周长为．综上，△ABD的周长为50或34+3或34+5或．故答案为：50或34+3或34+5或．【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，分类讨论思想是本题的关键．3．（2022·辽宁朝阳·中考真题）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为_____．【答案】3或．【分析】分两种情况，先证明，再根据全等三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，点在的右边，与都是等边三角形，，，，，即．在和中，，，，，，，等边三角形的边长为3，如图，点在的左边，同上，，，，，过点作交的延长线于点，则，，，，在中，，，，或（舍去），，等边三角形的边长为，故答案为：3或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式例题：（2021·新疆伊犁·八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是___________cm．【答案】【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可．【详解】解：如图如图如图它所行的最短路线的长为：故答案为：．【点睛】本题考查平面展开图—最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键．【变式训练】1．（2022·广东梅州·八年级期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．【答案】26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，原图长度增加4米，则AB=20+4=24(m)，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC==26(m)，∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．故答案为：26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．2．（2022·福建·武平县实验中学八年级期中）如图1，圆柱形容器高为6cm，底面周长为6cm，在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为_____．【答案】【分析】将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知B的长度即为所求．【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点，连接A′B，则A′B即为最短距离，．答：蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是cm．故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．3．（2022·广东韶关实验中学八年级期中）如图，长方体的长，宽，高，点在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是_________．【答案】25【分析】首先将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM；或将长方体沿CH、GD、GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，或将长方体沿AB、AF、EF剪开，向下翻折，使面CBEH和下面在同一个平面内，连接AM，然后分别在Rt△ADM与Rt△ABM与Rt△ACM，利用勾股定理求得AM的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．【详解】解：将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM，如图1，由题意可得：MD=MC+CD=5+10=15cm，AD=20cm，在Rt△ADM中，根据勾股定理得：AM=cm；将长方体沿CH、GD、GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，如图2，由题意得：BM=BC+MC=20+5=25（cm），AB=10cm,在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=cm,连接AM，如图3，由题意得：AC=AB+CB=10+20=30（cm），MC=5cm,在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AM=cm,∵，则需要爬行的最短距离是25．【点睛】此题考查了最短路径