专题08 二元一次方程组解答题压轴训练（解析版）-2020-2021学年七年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版尖子生专用）

专题08二元一次方程组解答题压轴训练（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。一、解答题1．阅读理解，对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如：，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，值等于666，而，所以．（1）计算：_________；（2）若，且，求n的值；（2）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值．【答案】（1）13；（2）315或324；（3）【分析】（1）根据F（n）的定义求解．（2）设n的十位数字为a，个位数字为b，表示出新三位数，根据新旧三位数的和得到方程，结合a的范围求出n值即可；（3）由s=100x+43，t=150+y结合F（s）+F（t）=20，即可得出关于x，y的二元一次方程，解出x，y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s），F（t）的值，将其代入k的定义式，求出最小值即可．【详解】解：（1）对调256的任意两个数位上的数字后得到的三个相异数是：652，265，526，这三个相异数的和为1443．∵1443÷111=13，∴F（n）=13．故答案为：13．（2）若F（n）=9，则三个新三位数的和为999，∵300＜n＜330，∴n百位数字为3，十位数字小于3，设n的十位数字为a，个位数字为b，则n=300+10a+b，∴新三位数为：300+10b+a，100b+10a+3，100a+30+b，∴300+10b+a+100b+10a+3+100a+30+b=999，∴a+b=6，∵十位数字0＜a＜3，∴a=1，b=5或a=2，b=4，∴n=315或324．故答案为：315或324．（3）∵s，t都是“相异数”，其中s=100x+43，t=150+y，∴F（s）=（403+10x+340+x+100x+34）÷111=x+7，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6，∵F（s）+F（t）=20，∴x+7+y+6=20，得x+y=7，∵1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，又∵“相异数”定义，x≠4，x≠3，y≠1，y≠5，∴或，∴或，∴或，∴k的最小值是．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，新定义的阅读理解能力，解题的关键是理解相异数的定义．2．我市某包装生产企业承接了一批大型会议的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材，如图1所示，（单位：）（1）列出方程（组），求出图中与的值．（2）在试生产阶段，若将40张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒．①两种裁法共产生型板材________张，型板材________张；②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，根据题意完成表格：礼品盒板材竖式无盖纸盒（个）横式无盖纸盒（个）型（张）型（张）________③若做成图2所示的竖式与横式两种无盖礼品盒将裁得的型板材恰好用完，求裁得的型板材最少剩几张？【答案】（1）a=60、b=40；（2）①84，48；②见解析；③2张【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解．（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；②同样由图示完成表格；③根据A型板材恰好用完，得到4x+3y=84，求出整数解，再比较计算即可．【详解】解：（1）由题意得：，解得：，答：图甲中a与b的值分别为：60、40．（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×40=80，裁法二产生A型板材为：1×4=4，所以两种裁法共产生A型板材为80+4=84（张），由图示裁法一产生B型板材为：1×40=40，裁法二产生A型板材为，2×4=8，所以两种裁法共产生B型板材为40+8=48（张），故答案为：84，48．②由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，每个礼品盒用2张B型板材，所以用B型板材2y张．礼品盒板材竖式无盖纸盒（个）横式无盖纸盒（个）型（张）型（张）2y③由上表可知横式无盖款式共5y个面，用A型3y张，则B型需要2y张．则做两款盒子共需要A型（4x+3y）张，B型（x+2y）张．要使A型板材恰好用完，则4x+3y=84，∴x=21-y，当y=20时，x=6，则x+2y=46，当y=24时，x=3，则x+2y=51＞48，当y=16时，x=9，则x+2y=41，∴48-46=2张，∴B型板材最少剩2张．【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程（组）的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，再根据图示解答．3．阅读材料并完成题目：（材料一）我们可以将任意两位数记为（其中a，b分别表示该数的十位数字和个位数字，且），显然．（材料二）若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字0，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“惟勤数”，如36的“惟勤数”为306若将一个两位正整数N减5后得到一个新数，我称这个新数为N的“惟真数”，如36的“惟真数”为31．（1）76的“惟勤数”是_________，“惟真数”是_________；（2）求证：对任意一个两位正整数，其“惟勤数”与“惟真数”之差能被5整除；（3）有一个两位数，其“惟勤数”与“惟真数”之和为439，其“惟真数”的各位数字之和为10，请通过列方程求这个两位数．【答案】（1）706，71；（2）见解析；（3）42【分析】（1）根据“惟勤数”和“惟真数”的定义可得结果；（2）分别算出这个两位正整数的“惟勤数”和“惟真数”，再相减即可证明；（3）首先得到55x+y=222，分5≤y≤9和0≤y≤4两种情况分别列方程组，根据结果进行取舍．【详解】解：（1）76的“惟勤数”是706，“惟真数”是71；（2）两位正整数，其“惟勤数”是100a+b，“惟真数”是10a+b-5，∴100a+b-（10a+b-5）=100a+b-10a-b+5=90a+5=5（18a+1），∴“惟勤数”与“惟真数”之差能被5整除；（3）由题意可得：100x+y+10x+y-5=439，则55x+y=222，当5≤y≤9时，x+y-5=10，即x+y=15，解得：；当0≤y≤4时，x-1+y+10-5=10，x+y=6，解得：；∴这个两位数为42．【点睛】本题考查了新定义在数字问题中的应用，二元一次方程组的应用，读懂定义并正确列式，是解题的关键．4．阅读理解：对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字均为奇数，百位数字与个位数字均为偶数，则称这个四位数为“均衡数”．将一个“均衡数”的千位数字与十位数字组成一个新的两位数m，原来千位数字作为m的十位数字；将一个“均衡数”的百位数字与个位数字组成另一个新的两位数n，原来百位数字作为n的十位数字．例如：“均衡数”3812，则．若各个数位上的数字都不为零且十位数字大于个位数字，则将m中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，n中的任意一个数字作为这个新的两位数的个位数字，按这个方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：时，．（1）3456_______（填“是”或“不是”）“均衡数”，最小的“均衡数”为_______；（2）若是一个完全平方数，请求出所有满足条件的“均衡数”．【答案】（1）是，1212；（2）1616，3812，5814，7622，7652【分析】（1）根据“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，进一步求得最小的“均衡数”；（2）设m=ab，n=xy（a＞b，x＞y），可得F（m，n）=2（10a+10b+x+y），由于0＜2（10a+10b+x+y）＜396，2（10a+10b+x+y）是偶数，又是一个完全平方数，可得满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，依此进行分析即可求解．【详解】解：（1）由“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，最小的“均衡数”为1212．故答案为：是，1212；（2）设m=ab，n=xy（a＞b，x＞y），F（m，n）=F（ab，xy）=10a+x+10a+y+10b+x+10b+y=2（10a+10b+x+y），∵0＜a，b，x，y＜9，∴0＜2（10a+10b+x+y）＜396，∵2（10a+10b+x+y）是偶数，又是一个完全平方数，∴满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，当2（10a+10b+x+y）=64时，a=1，b=1，x=6，y=6满足题意，当2（10a+10b+x+y）=100时，a=3，b=1，x=8，y=2满足题意，当2（10a+10b+x+y）=144时，a=5，b=1，x=8，y=4满足题意，当2（10a+10b+x+y）=196时，a=7，b=1，x=9，y=9不满足题意，当2（10a+10b+x+y）=256时，a=7，b=5，x=6，y=2满足题意，当2（10a+10b+x+y）=324时，没有解．故所有满足条件的“均衡数”为1616，3812，5814，7622，7652．【点睛】此题考查了完全平方数的应用问题．注意掌握数的整除问题，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．5．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．（1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，__________米．（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值．（3）若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是_______（请写出满足条件的n的值）．【答案】（1）0.4，0.6；（2）x=10，y=16；（3）52或65【分析】（1）根据方案一可得AE，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得AF；（2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，解之即可；（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，根据能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，确定a的范围，由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，列出方程，求出整数解即可．【详解】解：（1）AE=2÷5=0.4(米)，AF=AB-AF=AD÷2-AF=2÷2-0.4=0.6(米)；（2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，可得：，解得：；（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有n-a块按方案二进行切割．根据有140片甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于140片，∴5a≤140，即a≤28，丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，则解得：，（其中a≤28，,且a,n都是正整数）∴n=52时，a=20;n=65时，a=25；综上：n的值是52或65．【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂图形，找到等量关系，列出方程（组）．6．为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元．（2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．①求购买垃圾箱的总花费w(元)与购买A型垃圾箱的个数x之间的函数关系式；②当购买A型垃圾箱多少个时总费用最少，最少费用是多少？【答案】（1）每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；（2）①；②买16个A型垃圾箱时总费用最少，最少费用是3280元【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可解决（2）先根据题意得出买垃圾箱的总花费w(元)与购买A型垃圾箱的个数x之间是一次函数的关系，写出解析式．再根据一次函数图像的增减性和自变量的取值范围，得出函数的最小值即可．【详解】解：（1）设每个A型垃圾箱m元，每个B型垃圾箱n元．根据题意，得解得答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元．（2）①设购买x个A型垃圾箱，则购买(30－x)个B型垃圾箱，x≤16，且x为整数．根据题意，得w＝100x＋120(30－x)＝－20x＋3600.②w＝－20x＋3600，其中k＝－20＜0，∴w随x值增大而减小，∴当x＝16时，w取最小值，w最小＝－20×16＋3600＝3280.答：买16个A型垃圾箱时总费用最少，最少费用是3280元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．一次函数的解析式、一次函数的增减性及一次函数最小值问题．抓住自变量取值范围是关键．是中考常考题型．7．我国最新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要繳纳税收，具体如表，其中应纳税所得额＝月工资﹣5000﹣专项扣除金额﹣依法确定的其他扣除金额．（1）某员工的应纳税所得额为4000元，求该员工缴纳的税额是多少？（2）我国专项扣除的常见项目及金额如下：①每个子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除2000元；③赡养每位老人扣除2000元．某公司一技术专家的月工资是40000元，他有1个读初中的子女、一套住房的贷款和赡养2位老人，则该技术专家缴纳的税额是多少元？（3）公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加了公益捐赠活动后，实际收入33610元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元？2020年个人所得税税收表（工资薪金所得适用）级数应纳税所得额税率10至3000元的部分3%2超过3000元至12000元的部分10%3超过12000元至25000元的部分20%4超过25000元至35000元的部分25%5超过35000元至55000元的部分30%【答案】（1）190元；（2）4090元；（3）3000元【分析】（1）根据题意可以计算出该员工需缴纳的个人所得税；（2）根据题意减去专项扣除的常见项目；可计算技术专家需缴纳的个人所得税；（3）设该技术专家在三月份实际纳税额x，元捐赠了y元，公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，根据实际收入可计算出捐赠数；【详解】解：（1）由题意可得，应纳税所得额为4000元0-3000元部分：3000×3%=903000-4000元部分：（4000-3000）×10%=100100+90=190元答：该员工缴纳的税额是190元；（2）应纳税所得额=40000-5000-2000-2000-2×2000=27000依据税率表分级计算：0-3000元部分：3000×3%=903000-12000元部分：（12000-3000）×10%=90012000-25000元部分：（25000-12000）×20%=260025000-27000元部分：（27000-25000）×25%=50090+900+2600+500=4090元答：该技术专家缴纳的税额是4090元.（3）设实际纳税额x元，公益捐赠了y元，40000-33610=6390元∵y＞6390-4090=2300∴27000-y＜24700，即应纳税所得额不足25000元由题意可列方程组解得答：技术专家在三月份捐赠了3000元．【点睛】本题考查分类纳税，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，方程组的性质解答．8．对任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么成这个数为“OK数”．将一个“OK数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如：“OK数”＝1234，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三位数的和为234＋134＋124＋123＝615，615÷3＝205，所以则．（1）计算：；（2）若“OK数”（，x，y都是正整数），也是“OK数”，且能被8整除．求的值．【答案】(1)190，1049，(2)198．【分析】(1)根据题意中的含义，进行计算即可；(2)先求出，再根据也是“OK数”，且能被8整除确定的值，再求即可．【详解】解：(1)1213去掉千位上的数字得到213，去掉百位上的数字得到113，去掉十位上的数字得到123，去掉个位上的数字得到121，213+113+123+121=570，570÷3=190，F(1213)=190，8567去掉千位上的数字得到567，去掉百位上的数字得到867，去掉十位上的数字得到857，去掉个位上的数字得到856，567+867+857+856=3147，3147÷3=1049，；(2)n=8900+10x+y(1≤x≤9,1≤y≤9y都是正整数)，n的十位上的数字为x，个位上的数字为y，∵n为"OK数”，x≠y，n去掉千位上的数字为900+10x+y，去掉百位上的数字为800+10x+y，去掉十位上的数字为890+y，去掉个位上的数字为890+x，900+10x+y+800+10x+y+890+y-+x=3480+21x+3y，(3480+21x+3y)÷3=1160+7x+y，即F(n)=1160+7x+y，又∵F(n)为"OK数”，千百位的数字不同，则百位上的数字至少为2，即F(n)≥1200，又“OK数"十位与个位数字不相同，∴F(n)>1200，∴7x+y>40，又∵1≤x≤9，1≤y≤9且x，y均为正整数，x≠y，∴7x+y≤7×9+8=71，∵F(n)能被8整除，1160÷8=145，∴7x+y能被8整除，又∵40<7x+y≤71，解得，x=9，y=1，F(n)=1160+7x9+1=1224．去掉千位上的数为224，去掉百位上的数为124，去掉十位上的数为124，去掉个位上的数为122，224+124+124+122=594，594÷3=198，F[F(n)]=198．【点睛】本题考查了新定义问题，涉及到了二元一次方程整数解，解题关键是准确理解题意，按照题意进行相关运算，列出代数式和方程．9．对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，则称这样的三位数为“清南数”．将“清南数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数．其中十位数字大于个位数字的两位数叫“乾数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“坤数”．将所有“乾数”的和记为P（m），所有“坤数”的和记为Q（m），例如：P（342）＝32+42+43＝117，Q（342）＝23+24+34＝81．（1）请直接写出P（572）和Q（572）的值；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“清南数”n满足P（n）﹣Q（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．【答案】（1）P（572）=199；Q（572）=109；（2）675【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）设“清南数”n的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为c，根据“清南数”的定义求出P（n）=，Q（n）=，计算P（n）﹣Q（n）=，由完全平方数的定义得到y-c=2；计算，利用是完全平方数，得到x+y+c=8或x+y+c=18，组成方程组求出符合题意的解即可．【详解】解：（1）P（572）=52+72+75=199；Q（572）=25+27+57=109；（2）设“清南数”n的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为c，∵“清南数”的十位数字最大，个位数字最小，∴P（n）=，Q（n）=，∴P（n）﹣Q（n）=，∵P（n）﹣Q（n）是完全平方数，x、y、c都不为0且互不相等，∴y-c=2；∵=，是完全平方数，∴x+y+c=8或x+y+c=18，解方程组，没有符合题意的解；解方程组，符合题意的解为，∴“清南数”n为675．【点睛】此题考查有理数的加法计算法则，解三元一次方程组，列代数式计算整式的加减法，正确理解新定义计算法则是解题的关键．10．有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题∶已知实数、满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题∶（1）已知二元一次方程组则______，______．（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？（3）对于实数、，定义新运算∶，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______．【答案】（1）4，2；（2）21元；（3）24【分析】（1）让两个式子相加即可求出，然后让两个式子相减即可求出；（2）设购买1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，根据题意列出方程组求解即可；（3）首先根据已知建立一个关于a，b，c的方程组，通过对方程变形即可得出答案．【详解】（1）①-②得，①+②得，∴；（2）设购买1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，根据题意得①②得：，∴，答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元．（3），，①-②得，②×3-①×2得，，．【点睛】本题主要考查解方程组及整体代入法，掌握解方程组的方法是关键．11．一个四位正整数，若其千位上与百位上的数字之和等于十位上与个位上的数字之和，都等于k，那么称这个四位正整数为“k类诚勤数”，例如：2534，因为，所以2534是“7类诚勤数”．（1）请判断7441和5436是否为“诚勤数”并说明理由；（2）若一个四位正整数A为“5类诚勤数”且能被13整除，请求出的所有可能取值．【答案】（1）7441不是“诚勤数”；5463是“诚勤数”；（2）满足条件的A为：2314或5005或3250．【分析】（1）直接利用定义进行验证，即可得到答案；（2）由题意，设这个四位数的十位数是a，千位数是b，则个位数为（5a），百位数为（5b），然后根据13的倍数关系，以及“5类诚勤数”的定义，利用分类讨论的进行分析，即可得到答案．【详解】解：（1）在7441中，7+4=11，4+1=5，∵115，∴7441不是“诚勤数”；在5436中，∵5+4=6+3=9，∴5463是“诚勤数”；（2）根据题意，设这个四位数的十位数是a，千位数是b，则个位数为（5a），百位数为（5b），且，，∴这个四位数为：，∵，，∴，∵这个四位数是13的倍数，∴必须是13的倍数；∵，，∴在时，取到最大值60，∴可以为：2、15、28、41、54，∵，则是3的倍数，∴或，∴或；①当时，，∵，且a为非负整数，∴或，∴或，若，则，此时；若，则，此时；②当时，，∵，且a为非负整数，∴是3的倍数，且，∴，∴，则，∴；综合上述，满足条件的A为：2314或5005或3250．【点睛】本题考查了二元一次方程，新定义的运算法则，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出二元一次方程，结合新定义，利用分类讨论的思想进行解题．12．阅读下列材料，然后解答后面的问题．已知方程组，求x+y+z的值．解：将原方程组整理得，②–①，得x+3y=7③，把③代入①得，x+y+z=6．仿照上述解法，已知方程组，试求x+2y–z的值．【答案】3【分析】根据题目的解法，把x+2y-z看成一个整体，进行解方程即可.【详解】解：由题意得，将原方程整理得