高考文数一轮复习课件第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例总纲目录教材研读1.平面向量的数量积考点突破2.向量的数量积的性质3.向量的数量积的运算律考点二平面向量数量积的应用考点一平面向量数量积的运算4.平面向量的数量积的坐标表示考点三平面向量与三角函数的综合问题1.平面向量的数量积(1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作

=a,

=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.当①

θ=90°

时,a与b垂直,记作a⊥b;当②

θ=0°

时,a与b同向;当③

θ=180°

时,a与b反向.(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把数量|a|·|b|·cosθ叫做a和b教材研读的数量积(或内积),记作a·b=④|a|·|b|·cosθ

.(3)规定0·a=0.(4)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a与b的夹角,则|a|cosθ叫做a在b的方向上的投影,|b|cosθ叫做b在a

的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.(5)a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.2.向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=|a|·cosθ.(2)a⊥b⇔⑤

a·b=0

.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|.当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2.(4)cosθ=⑥

.(5)|a·b|≤|a|·|b|.3.向量的数量积的运算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.4.平面向量的数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=⑦

x1x2+y1y2

.(2)若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|=⑧

.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|

|=⑨

,这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则a⊥b⇔⑩

x1x2+y1y2=0

.

1.(2016北京海淀二模)已知向量a=(1,2),b=(2,t),且a·b=0,则|b|=

()A.

B.2

C.2

D.5答案

A∵a=(1,2),b=(2,t)且a·b=0,∴2+2t=0,∴t=-1.∴b=(2,-1).故|b|= =

.A2.(2017北京西城二模)设向量a=(2,1),b=(0,-2),则与a+2b垂直的向量可以

是

()A.(3,2)

B.(3,-2)C.(4,6)

D.(4,-6)答案

A由题意,可知a+2b=(2,-3).利用两非零向量数量积为0可推出

两向量垂直,检验四个选项,只有A符合题意.A3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为

()A.30°

B.60°

C.120°

D.150°答案

C设a与b的夹角为θ,∵(2a+b)·b=0,∴2a·b+b2=0,∴2|a|·|b|cosθ+b2=0,又∵|a|=|b|,∴2|a|2cosθ+|a|2=0,∴cosθ=-

,又∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.故选C.C4.(2018北京西城高三期末)向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,如

果小正方形网格的边长为1,那么a·b=

.

4.(2018北京西城高三期末)向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,如

果小正方形网格的边长为1,那么a·b=

.

答案44解析以a的起点为坐标原点,a的方向为x轴的正方向,建平面直角坐标

系,则a=(2,0),b=(2,-1),∴a·b=4.5.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,

),b=(

,1),则a与b夹角的大小为

.答案

解析∵cos<a,b>=

=

=

,∴a与b夹角的大小为

.考点一平面向量数量积的运算考点突破典例1(1)(2017北京朝阳期中)已知三角形ABC外接圆的半径为1(O为

圆心),且

+

=0,|

|=2|

|,则

·

等于

()A.-

B.-

C.

D.

(2)(2017北京丰台一模)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,

AD=2,BC=CD=1,P是AB的中点,则

·

=

.

答案(1)A(2)-1解析(1)∵三角形ABC外接圆的半径为1(O为圆心),且

+

=0,∴O为BC的中点,BC为圆O的直径,故△ABC是直角三角形,∠BAC为直

角,OA=OC=1.又∵|

|=2|

|,∴|

|=

,∵|

|=2,∴|

|=

,∴cosC=

=

=

.∴

·

=-

·

=-|

|·|

|·cosC=-

×2×

=-

.故选A.(2)如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

由题意知D(0,0),A(2,0),B(1,1),C(0,1).∵P是AB的中点,∴P

,∴

=

,

=(-1,1).∴

·

=-

+

=-1.方法技巧(1)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利

用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减

运算或数量积的运算律化简再运算,但一定要注意向量的夹角与已知平

面角的关系是相等还是互补.另外,解决此类问题时,可建立坐标系,利用

向量的坐标表示求解.1-1

(2016北京朝阳期中)在△ABC中,已知

·

=4,|

|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则

·

的值是

()A.5

B.

C.6

D.8C答案

C如图,设BC的中点为O,连接AO.

由

·

=4,|

|=3,可得(

+

)·(

+

)=(

+

)·(

-

)=

-

=

-

=4,∴

=

.∴

·

=(

+

)·(

+

)=(

+

)·(

-

)=

-

=

-

=6.故选C.1-2

(2016北京石景山一模)如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,点E

从D点出发,按字母顺序D→A→B→C沿线段DA,AB,BC运动到C点,在此

过程中,

·

的最大值是

()

A.0

B.

C.1

D.-1A答案

A建系如图.

则B(0,0),C(1,0),D(1,1),A(0,1).设E(x,y)(0≤x≤1,0≤y≤1).∵

=(x-1,y-1),

=(0,1),∴

·

=y-1(0≤y≤1).∴当y=1时,

·

有最大值,为0.典例2(1)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为

,那么|4a-b|=

()A.2

B.6

C.2

D.12(2)(2015北京西城一模)已知平面向量a,b满足a=(1,-1),(a+b)⊥(a-b),那么

|b|=

.考点二平面向量数量积的应用命题角度一模的问题答案(1)C(2)

解析(1)|4a-b|2=16a2+b2-8a·b=16×1+4-8×1×2×cos

=12,∴|4a-b|=2

.(2)∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,即a2-b2=0,所以|b|=|a|=

.命题角度二垂直问题典例3

(2016北京朝阳二模)已知向量a=(1,2),向量b=(2,m),若a+b与a垂

直,则实数m的值为

.答案-

-

解析∵a=(1,2),b=(2,m),∴a+b=(3,2+m).∵a+b与a垂直,∴(a+b)·a=0.∴3+2(2+m)=0.∴m=-

.典例4(1)(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量

=

,

=

,则∠ABC=

()A.30°

B.45°

C.60°

D.120°(2)已知向量a=(1,

),b=(3,m).若向量a,b的夹角为

,则实数m=

()A.2

B.

C.0

D.-

(3)(2017北京朝阳二模)已知平面向量a,b满足(a+b)·(2a-b)=-4,且|a|=2,|b|

=4,则a与b的夹角等于

.命题角度三夹角问题答案(1)A(2)B(3)

解析(1)cos∠ABC=

=

,所以∠ABC=30°,故选A.(2)∵a=(1,

),b=(3,m),∴|a|=2,|b|=

,a·b=3+

m,又a,b的夹角为

,∴

=cos

,即

=

,∴

+m=

,解得m=

.(3)(a+b)·(2a-b)=2|a|2+a·b-|b|2=-4,则a·b=-4-2|a|2+|b|2=4.设a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],∴cosθ=

=

.∴θ=

.方法技巧平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角:cosθ=

,要注意θ∈[0,π].(2)两向量垂直的应用:a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有①a2=a·a=|a|2或|a|=

.②|a±b|= =

.③若a=(x,y),则|a|= .2-1

(2015北京西城期末)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,3),B(-2,k),若

向量

⊥

,则实数k=

()A.4

B.3

C.2

D.12-1

(2015北京西城期末)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,3),B(-2,k),若

向量

⊥

,则实数k=

()A.4

B.3

C.2

D.1解析

A易知

=(1,3),

=(-3,k-3),∵

⊥

,∴

·

=0,即1×(-3)+3(k-3)=0,解得k=4.故选A.A2-2

(2015北京朝阳一模)已知

和

是平面内的两个单位向量,它们的夹角为60°,则2

-

与

的夹角是

()A.30°

B.60°

C.90°

D.120°答案

C设2

-

与

的夹角为θ,则cosθ=

,因为

与

是平面内的两个单位向量,所以|

|=1,|

|=1,则(2

-

)·

=-(2

-

)·

=-2

·

+

=-2|

||

|cos60°+|

|2=0,所以cosθ=0,又0°≤θ≤180°,所以θ=90°,故选C.C2-3

(2015北京海淀一模)已知单位向量a与向量b=(1,-1)的夹角为

,则|a-b|=

.答案1解析∵b=(1,-1),∴|b|=

.又∵|a|=1,a与b的夹角为

,∴|a-b|=

=

=

=1.1典例5

(2015北京石景山期末)已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),x∈R,函数f(x)=a·(b-c).(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若f

=

,求sinα的值.考点三平面向量与三角函数的综合问题解析(1)因为b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),又a=(sinx,cosx),所以f(x)=a·(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx),则f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=

sin

.则当2kπ+

≤2x-

≤2kπ+

,k∈Z,即kπ+

≤x≤kπ+

,k∈Z时,函数f(x)为减函数,所以函数f(x)的单调递减区间是

,k∈Z.(2)由(1)知f(x)=

sin

,因为f

=

,所以