8.5空间直线平面的平行（讲义）（原卷版）

8.5空间直线、平面的平行TOC\o"13"\h\u知识点1：直线与直线的平行 301基本事实4及其应用 402等角定理及其应用 5知识点2：直线与平面平行 603直线与平面平行的判定定理及其应用 604直线与平面平行的性质定理及其应用 8知识点3：平面与平面平行 1005平面与平面平行的判定定理及其应用 1006平面与平面平行的性质定理及其应用 1207平行关系的综合应用 14 15

课堂目标关键词掌握基本事实4、等角定理的内容及应用(重点).掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理(重点、难点).掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理(重点).①基本事实4、等角定理②线线平行、线面平行、面面平行知识点1：直线与直线的平行1.基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线__平行__图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒__a∥c__作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的__传递性__2.空间等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__符号语言A′C′∥AC，A′B′∥AB⇒∠B′A′C′＝∠BAC或∠B′A′C′＋∠BAC＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补01基本事实4及其应用【点拨】规律总结【点拨】规律总结证明空间中两条直线平行的方法：(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明；(2)找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4可得到a∥b.【典例1】已知空间四边形中，分别是、的中点，且．（1）判断四边形的形状，并加以证明；（2）求证：平面．【变式11】如图，已知分别是空间四边形的边的中点.（1）求证：四点共面；（2）若四边形是矩形，求证：.【变式12】如图，在空间四边形中，分别是的中点，且对角线．求证：四边形是菱形．02等角定理及其应用【点拨】规律总结【点拨】规律总结证明两个角相等常有以下三种途径：①三角形相似；②三角形全等；③空间等角定理．依据等角定理证明两角相等的步骤：①证明两个角的两边分别对应平行；②证明两个角的两边的方向都相同或者都相反．【典例2】在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，

求证：(1)；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.【变式21】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点．求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.

【变式22】如图，，分别是正方体的棱，的中点，求证：.知识点2：直线与平面平行直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与__此平面内的一条直线平行__，那么该直线与此平面平行图形语言符号语言直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面__平行__，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行图形语言符号语言03直线与平面平行的判定定理及其应用【点拨】规律总结【点拨】规律总结用直线与平面平行的判定定理判断或证明直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a，b平行，即a∥b.利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等．【典例3】如图，四棱锥的底面为平行四边形，为中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面.【变式31】如图，在正方体中，与交于点，求证：(1)直线平面；(2)直线平面．

【变式32】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．(1)求证：QN平面PAD；(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．04直线与平面平行的性质定理及其应用【点拨】解题技巧【点拨】解题技巧(1)直线与平面平行的性质定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.这三个条件缺一不可．(2)利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤：①确定(或寻找)一条直线平行一个平面；②确定(或寻找)过这条直线并且与这个平行平面相交的平面；③确定交线；④由定理得出结论．【典例4】如图，已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于.(1)求证：平面(2)求证：.【变式41】如图，在正方体中，.

(1)求证：∥平面；(2)求点到面的距离.【变式42】如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.

知识点3：平面与平面平行平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的__两条相交直线__与另一个平面平行，那么这两个平面平行图形语言符号语言平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面__相交__，那么两条交线__平行__图形语言符号语言作用由平面与平面平行可以得出直线与直线平行05平面与平面平行的判定定理及其应用【点拨】误区防错【点拨】误区防错平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．【典例5】如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．【变式51】如图所示，两条异面直线，与两平行平面，分别交于点，和，，点，分别是，的中点，求证：平面

【变式52】如图，，直线AC分别交平面，，于点A，B，C，直线DF分别交平面，，于点D，E，F．求证：．06平面与平面平行的性质定理及其应用【点拨】规律总结【点拨】规律总结已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．平面与平面平行的性质定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤：(1)找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)；(3)找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由定理得出结论．【典例6】如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：(1)；(2)N为AC的中点．【变式61】如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：．【变式62】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面平面DEFG，平面平面ADGC，，.(1)证明：四边形ABED是正方形；(2)判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由.

07平行关系的综合应用【点拨】规律总结【点拨】规律总结线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行转换．相互间的转换关系如下．【典例7】如图所示，为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心．(1)求证：平面平面ACD；(2)若是边长为2的正三角形，判断的形状并求的面积．【变式71】如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.求证：；(2)求证：平面；(3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.【变式72】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与交于点，点分别在线段上，，求证：平面平面.

一、单选题1．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①；②；③；④．其中正确命题的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则，则D．若，，，，则3．若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（

）．A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线C．内存在唯一一条直线与a平行 D．内的所有直线与a都相交4．已知直线和，平面，且，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，则AC＝7．如图，平面α平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD和AB，若PC=2，CA=3，CD=1，则AB=.

8．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则.9．A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时，．

10．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是．三、解答题11．如图，四棱锥中，底面．底面为菱形，且，，E，M，N分别为棱的中点．F为上的动点，(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为2，求棱的长．

12．如图，在长方体中，E，M，N分别是的中点，求证：平面.

13．如图，四棱锥的底面为平