牛顿力学讨论课答案

讨论课1—牛顿力学2013.21

1.

质点沿曲线由A

B运动，表示位矢，下列各式分别代表什么？并在图中标出。=位移的大小=路程=末、初位矢大小之差òòò)()()()()()(BABABArrrdddrr解ΑΒO22.绞车以恒定的速率v0收绳，问：（1）绳上各点速度相同吗？hx

v0岸船绳（2）船速

v=v0cos

吗？答（1）：v0岸..ABP.P

...A

B

t+

tt如图示，在

t内绳上P、A、B点的位移不同，

因而绳上各点速度必然不同。3答（2）：由图有：t+

t

r

xh

v0P.P

tx绞车收绳的速率：船速：

～04

3.

一质量为m的小球按如图悬挂方式平衡。A图的上端为绳索，B图的上端为弹簧。现剪断水平绳索，两种情况下，剪断瞬间小球所受拉力各多大？为什么？θ(A)θ(B)解5刚性绳索k

，剪断瞬间绳索形变

l虽无限小，但k

l

可取某有限值，保证小球沿圆周切线方向运动。瞬间静止，法向加速度为零，因此：弹簧的k值有限，剪断瞬间形变

l无限小，则k

l无限小，合力几乎与剪断前相同，因此：θ弹簧：θ绳索：l6

4.

Fvmv=const.皮带Mf驱动力m砖块f

下列说法是否正确？（2）F的功+f

的功=m获得的动能（3）F的功+f

的功=0（4）F的功=m获得的动能的过程中，应该有：vm=0vm=v砖块m：（1）f

对M的功=f对m的功的负值7解（1）错。

m与M间有相对位移，f和f

的作用点位移不同。二者之和不为零。（2）错。

F与f

不是作用在m上。（3）对。M匀速，动能不变。可见（2）错。（4）错。F作用在M上。85.S

和

S系都是惯性系

2）在S

和S系中弹簧振子的机械能是否守恒？SS

在S

和S系中摆球m的机械能是否守恒？S

OmS1）91）S

系：机械能守恒，只有保守内力作功。机械能不守恒2）S系：机械能守恒S

系：墙壁对弹簧的力的作用点有位移，

外力的功和参考系有关，因此机械能是否守恒与参考系有关。外力的功不为零，机械能不守恒。S系：不垂直于106.分析下列情况的守恒量：（3）球与连杆球的碰撞悬点（2）两质点构成的弹簧振子水平面光滑（1）锥摆A机械能、动量以及对任一定点的角动量都守恒机械能守恒机械能是否守恒取决于碰撞性质对O角动量守恒动量不守恒对A角动量不守恒一般动量不守恒对O点角动量守恒11动量不守恒对A点：ΑmgTrAro

角动量不守恒对O点：

角动量守恒（1）机械能守恒解无外力。机械能、动量以及对任一定点的角动量守恒。

水平面光滑（2）12能量是否守恒取决于碰撞性质。对O点力矩为零，故对O点系统角动量守恒。碰撞中过悬点轴对杆可能有横向力，外力不为零，动量不守恒。（3）悬点131、功能关系是否成立？

7.一内壁光滑的环状细管绕竖直轴均匀转动。管内小球自顶端无初速滑下。2、设小球到图示位置时速度为v'，有人列式如下试判断此式的正误，并说明理由。在圆环参考系中考虑小球的运动：14圆环系为非惯性系。质点受科氏力和惯性离心力，必需考虑它们做的功。在圆环系中，小球＋地球机械能不守恒！1、考虑惯性力做功后，功能关系仍成立。解答：科氏力与速度垂直，不做功。但惯性离心力做功。2、所列式错误。v'fI15

8.斜抛一物体，考虑空气阻力，并设阻力大小与速率成正比，比例系数为k.已知物体质量为m，初速度为v0.求：物体到达最高点时的速度。解受力分析直角坐标系分量形式：列方程：mg

kvvyx16得上升时间：最高点速度：解y向方程：因最高点

vy=0，解x向方程：则：17

9.两根长度分别为l1和

l2的绳竖直悬挂两个质量分别m1

,m2

的小球，突然打击球1，使之获得水平速度v0,求该瞬时两绳中的张力。

v0l1l2m1m21、关于m1列方程(O点惯性系)m1作半径为l1的圆周运动，在打击m1的瞬时，其法向加速度为a1n,法向力为T1;它还受到重力m1g和下面绳的拉力T2。（m2

静止）解对m1、m2分别列方程

v0l1m1o18对m1列竖直方向的方程：在打击m1的瞬时，m2作半径为l2的向左圆周运动，瞬时速率也是v0。设其法向加速度为a'2n,法向力为T2

v0l1m1

l1l2m1m2v02、关于m2列方程（以m1为参考系，非惯性系，加速度a1n向上）它除受到重力m2g外，还受到向下的惯性心力。19

l1l2m1m2v0对m2列竖直方向的方程：即联立（1）（2）两式，得张力为检验：特例v0=0时是否正确？2021分析：机械能守恒？有人说两小孩系统动量守恒，对吗？角动量守恒？m1m2(不爬)(爬)

10.如图示，两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮的绳的一端。起初都不动，然后右边的小孩用力向上爬绳，左边的小孩只抓住绳但不爬动。忽略滑轮、绳的质量和轴的摩擦。设他们的起始高度相同，问哪个小孩先到达滑轮？22对“m1+m2

”系统：把小孩看成质点，以滑轮中心O点为参考点。∴角动量守恒.

ROm1m2外力：两小孩同时的到达滑轮！满足条件：设角动量向内为正23角动量定理设（爬绳的小孩较轻）.

ROm1m2爬绳的小孩（轻）先到。

若

，谁先到达？24若m2>m1（爬绳的小孩较重）结论：无论谁爬绳，总是轻的小孩先到！

以上结论也可直接由力和加速度的关系得到（课后自己完成）。仍是轻的小孩先到。前面各关系式中仅不等号反向，即25球D作用力

（A+B）质心运动；解

分析（A+B）的运动球D对质心作用力矩

（A+B）绕质心转动。求：碰后（A+B）和球D的运动；

11.

一长度为l的轻质细杆，两端各固结一个小球，平放在光滑水平面上，开始时静止。另一小球，以垂直于杆身的初速度v0与杆端的A球作弹性碰撞。设三球质量同为m。AlBv0D碰撞前如果小球与A球作完全非弹性碰撞（碰后粘在一起），结果如何？26设碰撞后：D球速度为v'.(A+B)质心速度为vc，转动角速度为

.

系统：A+B＋D1、水平无外力，动量守恒。2、弹性碰撞，动能不变。①②AlBv'Dvc碰撞后（质心动能）（绕质心转动动能）27碰撞后：D、A球角动量为零,B球角动量为3、选择碰撞前A球的位置作为定点（称为O点）碰撞前：(D+A+B)角动量为零关于O点列角动量守恒：，角动量守恒：③

AlBv'DvcO（也可关于三个球的质心列角动量守恒）28

4、①②③式联立解出碰撞后：D球静止，(A+B)平动＋转动。

如果小球以垂直于杆身的初速度v0，与杆端的A球碰撞后粘在一起共同运动，结果为29

12.在静止的圆柱体上绕有绳索，绳两端挂大、小两个桶，其质量分别为M=1000kg和m=10kg。绳与圆柱体之间的静摩擦系数为

=0.05，绳的质量可以忽略。试问为使两桶静止不动，绳至少需要绕多少圈？Mm

30

将绳分割成小段，由力平衡条件列微分方程，积分。分析一小段绳的受力思路：连续体张力问题。【讨论】摩擦力的方向？压力？摩擦力张力压力张力31列平衡状态牛顿方程切向：法向：32设得33

13.

赤道上有一高度为h

的楼，一物体由楼顶自由下落时，由于地球自转的影响，物体将落在楼根的东侧，这一现象称为落体东移。适当地取近似，计算物体着地点与楼根的距离。h

ROs34取近似1：物体下落时水平速度不变物体下落时间（自由落体）：物体着地点与楼根的距离：水平速度差：误差很大。35取近似2：R很大，物体与地面的速度差近似沿水平方向，但随时间变化。h

ROy0t=036近似3：取楼高对地球半径之比的一级近似。物体自由下落后，只受地心引力，物体关于地心O点角动量守恒。（2）在地球系（非惯性系）中求解（1）在惯性系中求解37

物体自由下落后，只受地心引力，物体关于O点角动量守恒。地球（楼）的角速度下落物体的角速度物体落地点的偏角为0yhy

RO

t

t（1）在惯性系中求解：38

在y=h附近做展开39落体东移的距离为40物体自由下落，除受地心引力，还受科氏力fc作用。因vx<<vy，则近似取fc

沿x方向（2）在地球系（非惯性系）中求解：0yh

ROx

vfc物体的运动可看成：自由落体＋fc作用横向加速41

14.把一根单位长度的质量为

的均匀柔软的绳子悬吊起来，下端刚好触及地面，绳子自静止释放自由下落。求：当绳子下落的长度为z时，地面受到绳子的压力。你能想到几种解法？42解法1质点动量变化定理取竖直向下为y轴，t=0时刻绳上端为坐标原点。设t时刻已有长度为y的绳子落地，经过dt

时间又有质元dm落地。绳子柔软均匀，dm只受重力和地面的作用，落地前的速度:用N1表示dm对地面的