湖南省长沙市2023-2024学年高二年级下册入学考试数学试题（解析版）

长沙市周南中学2024年上学期高二年级入学考试数学试卷

考试时间：120分钟

一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数Z满足Z（2+1）+1=2（i为虚数单位），则z的虚部为（）

44D.4

A.B.C

55m5

【答案】B

【解析】

34i

【分析】根据复数四则运算计算可得z=m-二，再由虚部定义可得结果.

22

（2-i）_4+i-4i_3-4i3_4i_

【详解】由z（2+i）+i=2可得z=

-

2+i（2+i）（2-i）-4-i2-55y

4

所以可得Z的虚部为--.

5

故选：B

2.设函数是定义在R上的奇函数，且/（—3）=—2,则八3）+/（0）=（）

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，分别求得/（0）=0和/（3）=2,即可求解.

【详解】因为函数/（九）为定义在R上的奇函数，可得/（。）=0,

又因为/（-3）=-2,可得/（—3）=—〃3）=—2,所以"3）=2,

所以〃3）+/（0）=2.

故选：C.

3.四个数2°8,3°s,logos"1。80.4。-5的大小关系为（）

08080808

A.3->log040.5>2->log034B.3>2>log034>log040.5

08080808

C.log040.5>3>2>log034D.3>2>log040.5>log034

【答案】D

【解析】

【分析】根据累函数的单调性可判断208，30-8的范围以及大小关系，结合对数函数的单调性判断logo.34,

logoiOS的范围以及大小关系，即可得答案.

【详解】因为y=x0-8在（0,+8）上单调递增，故308>208>108=1；

由于y=logo,3］在（0,+8）上单调递减,故logo,34<logo,31=0，

由于y=log04x在（0,+co）上单调递减,故0=log041<log040.5<log040.4=1,

故30">2°s>k）go40.5>k）go；34,

故选：D

2222

4.椭圆上+与=1与双曲线土—匕=1有相同的焦点，则。的值为（）

4a"a2

A.1B.72C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

由双曲线方程知a>0,结合椭圆方程及共焦点有/<4且4-6=a+2,即可求。值.

22

【详解】由双曲线二—乙=1知：a>0且（土疝工,0）,

a2

22

而其与椭圆土+1=1有相同焦点，

4CT

a?<4且4-a?=a+2，解得a=l，

故选：A

5.已知。力是两个不共线的单位向量，向量;彳:+〃1（4〃eR）.“几>0,且〃>0”是“c-（a+b）>0

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.

【详解】当2>0,且〃>0时，

c-^a+b^=^/La+/nb^-(a+b^=Xa+(A+jU^a-b+p.b=2+M+(7l+〃)cos(a,b)

>/l+〃一(九+〃)=0,充分性满足；

当c•(a+6)>0时，

a(a+b)=4+〃+(4+〃)cos(a,6)，当九〉0,〃=0时，

c-(a+b)=2+/lcos(a,6)是可以大于零的，

即当c-(a+6)>0时，可能有4〉0,〃=0,必要性不满足，

故“几>0,且〃>0”是ac-(a+b)>0^^的充分而不必要条件.

故选：A.

6.在第19届杭州亚运会期间，某项目有A6,C,。四个不间的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿

者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志感者，则甲志愿者被分到A服务站的不同分法的种

数为()

A.80B.120C.160D.60

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件可知，肯定有一个服务站安排两个人，该问题分为两类，一类A服务站安排两人，

一类是A服务站只安排1人，运用分类加法及分步乘法计数原理求解即可.

【详解】当A服务站安排两人时，除甲外的其余4人每人去一个服务站，不同的安排方法有A：种，

当A服务站只安排有1人(甲)时，其余4人分成3组(211)再安排到剩余的3个服务站，不同的安排方

法有C；A；,

所以不同的安排方法有A：+C：A：=24+36=60种.

故选：D.

7.若圆好+丁=产0>0)上恒有4个点到直线/：%—y—2=。的距离为1,则实数厂的取值范围是

()

A.+l,+ooB.^A/2—1,A/2+1jC.(0,+8)D.(虚-l,+oo

【答案】A

【解析】

【分析】求出圆心到直线/：龙—y—2=0的距离，要使得圆炉+产=/&>（））上恒有4个点到直线

/:x-y-2=0的距离为1,作出图示，由此列出半径需满足的不等式，即得答案.

【详解】由题意得圆必+丁=/&〉0）的圆心到直线/：%一丁一2=。的距离为4=*=后〉1,

要使得圆V+丁=尸”>0）上恒有4个点到直线/：%—y—2=。的距离为1,

需满足直线/：x-y-2=0与圆相交，且与/平行且距离为1的两平行直线4,4与圆也相交，如图示：

结合图示可知，圆的半径应大于圆心到直线4的距离0+1，

即实数厂的取值范围是（、历+1,+”）,

故选：A

8.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我

们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率万与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆

22

。：二+3=1（。〉6〉0）的面积为6»，两个焦点分别为耳，工，点尸为椭圆C的上顶点，直线,=去

a'b~

4

与椭圆C交于A,8两点，若PAM的斜率之积为-一，则椭圆C的短轴长为（）

9

A.2B.4C.3D.6

【答案】B

【解析】

I）24

【分析】由题意得到方程组"=6①和二=主②，即可解出心b,求出短轴长.

a29

【详解】椭圆的面积S二汉加二6»,即"二6①

因为点P为椭圆C的上顶点，所以P(o,b)

2H2

因为直线y=丘与椭圆C交于A,5两点，不妨设A(W),贝I5(-加,一〃)且二+1,所以

a

22

22an

m-a——后一

4n—h一〃一h4〃2力2川A

因为P/4,P3的斜率之积为-一，所以上出-----,把m2=/—?_代入整理化简得：勺=上

9m-m9ba9

②

②联立解得：a=3,b=2.

所以椭圆C的短轴长为力=4.

故选：B

二、多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对部分给分，有选错的得0分.

9.如图是导函数y=/'(%)的图象，则下列说法正确的是()

A.(-L3)为函数y=/(x)的单调递增区间

B.(0,3)为函数y=/(无)的单调递减区间

C.函数y=f(x)在1=3处取得极大值

D.函数y=/(x)在x=5处取得极小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据—1<X<3时，/'(尤)>0,即可判断A,B；利用导数的正负与函数极值之间的关系，即可

判断C,D.

【详解】对于A,B,当—1<%<3时，/'(x)>0,故(—1,3)为函数y=/(x)的单调递增区间，故A正

确，B错误；

对于C,当—I<xv3时，r(x)>0,当3<x<5时，/。)<。，故x=3是函数的极大值点，故C正

确；

对于D,当3<%<5时，r（%）<0,当x>5时，f'M>0,故x=5是函数的极小值点，故D正确.

故选：ACD.

10.某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在

[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成[40,50）,

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）这五组），则下列结论正确的是（）

A.直方图中a=0.005

B.此次比赛得分及格的共有60人

C.以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50,80）,的概率为0.75

D.这100名参赛者得分的第80百分位数为75

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据直方图的性质求出并逐项分析即可可得答案.

【详解】对于A,由（。+0.035+0.030+0.020+0.010）x10=1得。=0。05，故A正确;

对于B,此次比赛得分及格的共有（0.030+0.020+0.010）x10x100=60人，故B正确；

对于C,以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，

其得分在［50,80)的概率为(0.035+0.030+0.020)x10=0.85,故C错误;

对于D,因为(0.005+0.035+0.030+0.020)x10=0.9,

所以第80百分位数在[70,80）内，可得这100名参赛者得分的第80百分位数为70+"F。75

0.2

故D正确.

故选：ABD.

11.在棱长为2的正方体ABC。—44GR中，E,尸分别为A5，的中点，则（）

A.异面直线。2与耳尸所成角的余弦值为更

5

B.点尸为正方形A/1G2内一点，当DP平面片历时，。。的最小值为述

2

C.过点A,E，F的平面截正方体ABCD-ABCR所得的截面周长为2万+J5

D.当三棱锥耳-3EE的所有顶点都在球。的表面上时，球。的表面积为67

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于选项A：根据正方体的性质得出在放537中/5男尸即为异面直线。，与男户所成的

角，即可计算得出答案判定；

对于选项B：取AA的中点“，2G的中点N,连接"N,DM,DN,得到0MB.F,

DNB.E,即可证明面QAW面B]EF,则根据已知得出P轨迹为线段MN,则过。作DPLMN,

此时。P取得最小值，计算得出即可判定；

对于选项C：过点2、E、F的平面截正方体ABC。-44GR所得的截面图形为五边形2"EFN,得

出。“iNE,D[NME,设=CN=n,以。为原点，分别以ZM、DGOD]方向为x轴、y

轴、z轴正方向建立空间直角坐标系。-孙z,得出“E，D[N,D\M,NE的坐标，则可根据

DXMNF,D[NME列式得出AM,CN,即可得出A",Q2V,在放..口片加中得出，“，同

理得出QN,在应△MAE中得出ME，同理得出£N,在RtAEBF中得出EF,即可得出五边形

AMEEN的周长，即过点D、E、尸的平面截正方体ABC。-A4GR所得的截面周长，即可判定；

对于选项D：取所的中点。一则0田=0尸过。|作。01〃3男，

且使得0a=334=1,则。为三棱锥的外接球的球心，则。£为外接球的半径，计算得出半

径即可求出球。的表面积，即可判定.

【详解】对于A选项，DD,//BB-

在Rt..BB.F中/BBF即为异面直线DD]与B.F所成的角,

，异面直线DR与B[F所成的角的余弦值为正.故A错误；

5

对于B选项，取A2的中点的中点N,取AD的中点S,连接MN,DM，DN,\S,SF,

SFABA,B],SF=AB=A[B},

A4FS..MB[FASDMMDBXF,

同理可得ONBXE,

又・ZWa面片EP,B[Fu面B[EF,DNe面B〔EF,B〔Eu面B】EF,

DM面B[EF,DN面B[EF,

又・DMcDN=D,DM、DNu面DMN,

•••面DVW面B]EF,

又・DP面耳口7,。仁面片片。]。，

轨迹为线段MN,

；.在一。MN中,过。作DPLMN,此时OP取得最小值，

在RtAD。“中，D,M=1,DQ=2,：,DM=B

在Rt.DD]N中，D[N=1,D[D=2,：,DN=5

在RtMD[N中,D[N=1,D[M=1,：.MN=g，

MN

，如图，在RtADPN中,DP=DN2-故B项正确;

tF

D

对于c选项，过点2、E、E的平面截正方体ABC。—aqGR,

平面A4,Q。/平面8用。0,则过点3、E、歹的平面必与A、与CG交于两点，

设过点DpE、尸的平面必与A4]与CG分别交于M、N,

过点。、E、尸的平面与平面抽DQ和平面分别交于，"与FN,.•.2"\NF,同理可得

D[NME,

如图过点。i、E、F的平面截正方体ABC。-4与GR所得的截面图形为五边形2MEFN,

如图以。为原点，分别以方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系。-孙z,

设AM=m,CN=n,

则可（2,0,m）,N（0,2,〃）,£（2,1,0）,F（1,2,0）,D,（0,0,2）,

:.ME=（O,l,-m）,O]N=（0,2,〃一2）,。阳=（2,0,m—2）,NF=（l,0,~n）,

D[MNF,D[NME,

2

m=一

—2m=n—23

CC，解得

-2n=m-22，

n--

3

22

AM——,CN=—,

33

44

,CXN

.•.在中，D[A]=2,4M=：,同理：D[N=^-->

在△△MAE中，AM=-,AE=1,.-,ME=—.同理：FN=叵~

333

在RTXEKF中，BE=BF=1,:.EF=6，

:.D[M+D[N+ME+FN+EF=2义^^+2义R+屈=2岳+亚,

即过点。1、E、厂的平面截正方体ABC。-A4GR所得的截面周长为2厉+声.故C正确;

对于D选项，如图所示，取所的中点a,则aE=aE=qB,过a作。a〃54,

且使得。。=1,则0为三棱锥Bx-BEF的外接球的球心，

所以0E为外接球的半径，

R2=OE2=002+[y]=仔+

二S球=4%7?2=6%.故D项正确，

故选：BCD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别,，p,该同学站在这三个

32

7

不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为区，则p的值为.

2

【答案】一

3

【解析】

分析】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A,B,C,恰好投中两次为事件AB。，ABC-发生,

由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果.

【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A,B,C,

恰好投中两次为事件AB。，ABC>ZBC发生，

故恰好投中两次概率P=gxgx(l_p)+；x]l_g)xp+17

（1—）X—xp=—

3218

2

解得P=§.

2

故答案为：—.

【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

13.己知不工是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且4P8=60。，归国=3归闾，则C的离心率

为.

【答案】旦

2

【解析】

【分析】根据给定的条件，利用双曲线定义结合余弦定理计算作答.

【详解】令双曲线C的半焦距为c,即归勾=2c,又归耳|=3归闾，\PF\-\PF^=2a,则

|尸耳|=3⑷尸周=a,

△耳尸鸟中，/耳根=60。,由余弦定理得|耳同F=|尸耳『+|尸居『―2|尸耳||「居|cosN耳尸工,

22

即4c2=9/+片_2x3。xaxcos60°,整理得4c=7a，

所以c的离心率e=g=也.

a2

故答案为：也

2

14.如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从

西南角A地到东北角B地的最短路线共有条.（用数字作答）

东

【答案】66

【解析】

【分析】根据题意，得到从西南角A地到东北角8地的最短路线，共有C：种，再结合在向上和向右的走法

中，都需要连续走2步有C；C；种，进而得到答案.

【详解】由题意，从西南角A地到东北角B地的最短路线，共需要走9步，

其中4步向上，5步向右，共有C：种不同的走法，

又由中间的矩形中没有道路，所以在向上和向右的走法中，都需要连续走2步，

共有C；C；种不同的走法，

所以从西南角A地到东北角B地的最短路线共有C；-C；C；=66种不同的走法.

故答案为：66.

四、解答题：本大题共8小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=布.

(2)若cos/BAD=—,sinZCBA=2/Zl,求BC的长.

146

【答案】⑴cosZCAD=—(2)3

7

【解析】

【详解】试题分析：

(1)利用题意结合余弦定理可得cos/C4D=亚；

7

(2)利用题意结合正弦定理可得：BC=3.

试题解析：

(I)在一A0C中，由余弦定理得cosNC4D=冥彳

7

(H)设ABAC=a,则a=/BAD一ZCAD

-cos/-CAD=2y,cosZBAD=-

714

sinACAD=立X

7

.“.n3A/21

sinABAD=-------

4

.百

sina=—

2

在一ABC中，由正弦定理,

BC_AC

sincrsinZCBA

故BC=3

点睛：在解决三角形问题中，面积公式s=；absinC=^6csinA=《acsinB最常用，因为公式中既有边

又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.

16.已知：在四棱锥尸—A5CD中，底面ABCD为正方形，侧棱平面ABCD,点”为中点,

PA=AD=1.

R

（1）求证：平面他4C，平面PCD；

（2）求点P到平面MAC的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵B.

3

【解析】

【分析】（1）以A3所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立空间直

角坐标系，求得相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量数量积证明线面垂直，继而可证明结论.

（2）利用向量法求得平面MAC的法向量，根据距离的向量求法求点P到平面朋AC的距离.

【小问1详解】

证明：24,平面ABC。，ABCD为正方形，以A3所在的直线为了轴，以A。所在的直线为＞轴，以

24P所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系.

由已知可得4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),尸(0,0,1)

-M为PO的中点，,"］。］，；］，

所以AM=,CD=(-1,0,0),AC=(1,1,0),

所以AMCD=0，所以A"_LCD，

又点加为中点，PA=AD=1,所以AM_LPD,

PDCD=D,PD,CDu平面尸CD,AM1平面PC。，

又因为AMu平面MAC,故平面M4c，平面PCD.

【小问2详解】

rf11

n-AM=0—yd■—z=0

设平面MAC的法向量为〃=(x,y,z),则〈s22

MC=0|x+y=0

令1=1,则y=-l,z=l,〃二(1,-1,1),

24=(0,0,-1),设点P到平面M4C距离为d,

,d=W,•••点p到平面M4c的距离为立.

\n|7333

17.已知｛a“｝为等差数列，｛7｝为等比数列,q=4=l,a5=5(a4-«,),b5=4(Z?4-Z?3).

(1)求｛叫和低｝的通项公式；

1

(2)求数列一—\的前n项和Tn；

、册•。〃+2,

(3)记4=3〃—2,(—1)M2(X£R),对任意的〃£N+，恒有"a＞儿,求丸的取值范围.

n

【答案】(1)a“=n，bn=2-'

311

(2)----------------

4In+22〃+4

【解析】

【分析】(1)根据等比数列和等差数列的通项公式求出公比和公差，即可求解；(2)利用裂项相消即可求和；

(3)由＞4,恒成立，得到3"T〉(-2)'T/l恒成立，分离参数，分别讨论〃为奇数和偶数时X的范围,

从而得到答案.

【小问1详解】

因为｛4｝为等差数列，且4=1,a5=5(a4-«,),

所以q+4d=5(。1+3d—q—2d),解得:d=1,即。”=〃；

因为也｝为等比数列，且2=1,&=4(2-4)，

所以厢4=4,如2),解得：4=2,即勿=2"T

【小问2详解】

111/1、

由m可知不丁==5=5。——I),

咐"1"A1/I1/A1/A1/11_一_L_)

所以£=万”才5(5-/+乃-？+5［飞)+5(k

n+12nn+222n+1n+2

311

所以T=-------

"42n+22〃+4

【小问3详解】

由(1)得4=3"—2-(—1)"劝，=3"-(—2)"4,由于对任意的“cN+，恒有dm〉』”,

即3n+1-(-2)"+12>3"—(一2"，则3〃T>(-2)^2恒成立,

当“为奇数时，则彳<[3]恒成立，由于[3]-1,故当九<1时，对所有奇数〃恒有4,+i〉4,;

当”为偶数时，则X〉—[g)恒成立,由于[I]>|，则—[g]<-j-即当时，对所有偶

数〃恒有d.+i>d”；

综上，当/le1—时，对任意的〃eN+,恒有d“+i〉服

18.已知函数/(x)=e*-g?.

(1)求函数在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若a=l,证明：当xNO时，f(x)>1；

(3)若/⑺在(0,+8)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)y=x+l

2

(2)证明见解析(3)a>—e

4

【解析】

【分析】(1)根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；

(2)利用导数与函数的单调性间的关系，求出/(x)=ex-炉在区间[0,+8)的单调性，再求出Ax)的最

小值，即可证明结果；

(3)通过分离常量，得到M=构造函数g(x)=M，通过求导得到g(x)=M的单调性，即可求出

XXX

结果.

【小问1详解】

因为/(%)=e"-ax2,所以ff(x)=ex—2ax,所以/z(0)=e°=1,

又/(O)=e°=l,所以函数在点(0,/(0))处的切线方程为y—l=x,即y=x+L

【小问2详解】

当。=1时，/(%)=el-x2,贝！1/'(x)=e*-2x,

令h(x)=ex—2x,则〃(x)=e*-2,由h'(x)=0,得到x=ln2,

当xw(-co,In2)时，h\x)<0,当％G(In2,+oo),h'(x)>0,

所以/z(x)N7z(ln2)=2-21n2>0,即/'(x)>0恒成立，

所以/(x)=e'—必在区间[0,+8)上单调递增，故〃瑜堡f(O)=e0=l