安徽省2023-2024学年高二年级上册阶段性检测数学题 含解析

安徽省2023—2024学年（上）高二冬季阶段性检测

数学试卷

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知向量”=（且"//。，则”，（）

A.3B.-3C.9D.-9

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量共线求解即可；

---121

【详解】因为。〃匕，所以"7=—=一,

3xy

解得：x=-6,y=-3,

所以x-y=-3.

故选：B.

2.已知直线/：6m+。—2加）y—2=0的倾斜角为三，则机=（）

13

A.—B.1C.—D.—1

32

【答案】B

【解析】

【分析】根据倾斜角求出直线斜率，利用斜率建立方程求解即可.

【详解】因为直线/的倾斜角为四，所以直线/的斜率为tan二=百，

33

而直线®x+（l—2加力—2=0的斜率为卫巴,所以=®=百，解得加=1.

2m-12m-1

/\PCn1+1-11

sm6>=cos{PC,n）=-,——==亍一尸==，故C项正确.

\/\pc\\n\A/3X^/33

故选：C.

6.设meR过定点A的直线x+7找y—7"=。和过定点B的直线痛:一y一根+3=0交于点p,则

|"4|+2|尸国的最大值为（）

A.5B.275C.710D.50

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出定点A3的坐标，然后根据两直线垂直关系找到1PAl2+|P3「=|A用2,然后根据直线与

圆的位置关系求得|K4|+2归国的最值.

【详解】由题意可得动直线工+小y-/=。可化为x+m（y-1）=。，

斜率尢=一,，过定点4（0,1）,

m

直线的一丁一m+3=0可化为"2（X-1）一丁+3=0,斜率匕=根，过定点3（1,3）,

又因为左？左2-1,故两直线垂直，

所以|PA「二仙哥,即卢山2+怛邳2=有2=5,

所以P点轨迹为圆，结合圆与直线位置关系，

设PA=x,Pfi=y，则有f+产=5,

设f=|/科+2|/科，则有直线方程为x+2yT=0（x»0,y»0）,当直线与圆相切时，x+2y-t=G

取得最值，

|0+0-?|「

根据点到直线的距离d=1,-----1=V5,

#+22

解得：t=5.

故选：A.

22

7.已知圆好+丫2=1与坐标轴的交点为，点尸为椭圆L+2L=i上一点，若

43

|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=8,则点尸到x轴的距离为（）

A2应R2V2I「2厉n2M

37513

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，不妨设A(-1,0),8(1,0),C(O,-L),D(O,1),得到点A,3恰为椭圆的左右焦点，得出

\PA\+\PB\=2a=4,得到归q+|即=4,结合椭圆的定义，得到点尸在以C,。为焦点的椭圆上，求

22

得点p的轨迹方程为^+L=i,联立方程组，即可求解.

43

【详解】由圆必+y=1与坐标轴的交点为A5C,。，不妨设4—1,0),8(1,0),。(0,—1),。(0,1),

22______

又由椭圆L+2L=i,可得&=2*=6，则,=在丁=1，

43

所以A,3恰为椭圆的左右焦点，可得|Q4|+1尸目=2a=4,

因为I1训+1尸却+1尸q+|pq=8,可得|pq+|?q=4,

所以卢。+归£>|=4>[8|=2,所以点尸在以C,。为焦点的椭圆上，且2%=4,2ci=l,

______22

可得6=2,q=l,则4=百,所以点P为椭圆'+：=1,

(22

土+匕=1

联立方程组\3，解得丁=U,可得国=2叵，

//7目7

所以点P到x轴的距离为宜

7

故选：B.

8.如图，在棱长为2的正方体ABC。—A4GR中，P为片9的中点，则三棱锥P—46。的外接球的表

B.101C.1UD.12万

【答案】C

【解析】

【分析】首先证明API平面8月2。，然后在三角形BDP中，利用正弦定理求得三角形BOP的外接圆

半径「，所以三棱锥P-46。的外接圆半径R,最后利用球的表面积公式可得答案.

【详解】因为正方体4qGR的棱长为2,又P是耳A的中点,

所以，BQ1,又平面A4G21平面BBRD,

APu平面ABiGR,平面4月。］21平面3A2。=与2，

所以A尸1平面

所以在三角形2D尸中，BP=DP=qPB；+BB］2+2~=瓜,

所以sinNPBD=2=逅，

瓜3

1底3

所以由正弦定理得：三角形BOP的外接圆半径一2网—2,

所以三棱锥P-\BD的外接圆半径R=J+昌:=g+g=半,

所以三棱锥P—4配＞的外接球表面积为4兀炉=4兀［乎j=1171,

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线4：x+7〃y—1=0,Z2：(m-2)x+3y+3=0,则下列说法正确的是()

A.直线4在无轴上截距为1B.直线4在y轴上的截距为1

C.若/[〃右，则机=T或机=3D.若/i，4，则机=g

【答案】AD

【解析】

【分析】根据截距的定义和直线的平行，垂直逐项判断；

【详解】选项A：令y=0,代入直线小解得：%=1,选项正确；

选项B：令％=0,代入直线4,解得：y=-1，选项错误；

选项C：直线/rA的法向量分别为。,初)，(相-2,3),因为/1〃3所以直线的法向量也平行，即：

m(m-2)=3,解得：根=-1或根=3,当根=-1时，4,4重合，舍去，故加=3选项错误；

选项D：Z]±/2,所以直线的法向量也垂直，即1x(加—2)+3机=0,解得：m=1,选项正确；

故选：AD.

10.已知直线/:以一y—m+3=0(mwR)及圆C：(无一2『+(y—4『=3,则()

A.直线/过定点

B.直线/截圆。所得弦长最小值为2

C.存在加，使得直线,与圆C相切

D.存在冽，使得圆C关于直线/对称

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，整理后得到方程组，求出直线所过定点；B选项，求出圆心和半径，得到当时,

直线/截圆。所得弦长最短，由垂径定理求出弦长最小值；C选项，求出点”(1,3)在圆C内，故C错误;

D选项，当直线/过圆心C时，满足题意，代入计算即可.

【详解】A选项，由-机+3=。=＞帆(％-1)+(3-丁)=。，

得cc，解得〈c，所以直线/过定点为(1,3),故A正确；

3-y=0[y=3

B选项，由圆的标准方程可得圆心为C(2,4),半径厂=6,直线/过的定点为3),

当时，直线/截圆C所得弦长最短，因为CM=夜，

则最短弦长为2,（司=2，故B正确；

C选项，（1—2）2+（3—4）2<3,故点"（1,3）在圆C内，所以直线,与圆C一定相交，故C错误；

D选项，当直线/过圆心C时，满足题意，止匕时2/"—4—加+3=0,解得〃2=1,

故D正确.

故选：ABD.

11.已知。为坐标原点，R为抛物线E：/=2x的焦点，过点尸（2,0）的直线交E于A,3两点，直线

OD_LAB于。，贝。（）

A.ZAOB=9Q°

B.|E4|+|FB|的最小值为4

C,以A5为直径的圆与抛物线的准线相离

D.存在定点Q,使得为定值

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A选项：设出直线A5的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理结合平

面向量数量积的坐标运算即可判断；

对于B选项：利用抛物线的焦半径即可判断；

对于C选项：比较半径网与AB的中点到准线的距离即可判断；

2

对于D选项：结合题意可知直线A3经过定点P（2,0）,利用圆的相关知识，即可找到定点。，从而计算出

为定值.

【详解】对于A选项：若直线A5与x轴重合，此时，直线A5与抛物线E只有一个公共点，不合乎题

意，故可设直线AB为x=7盯+2,且4（石,乂）,3（%2，%），

x=my+2。

联立〈2c，可得—2根y—4=0,显然A=4〃/+16>0,

所以%+%=2m,%必=一4,

所以玉+x2=m(x+%)+4=2疗+4,%4=(冲1+2)=4,

所以。03=%/+%%=4+(-4)=0,所以NAOB=90°,故A正确;

对于B选项：|/^4.|+1/\8|—+—+%2-^2-2m2+4+125,

故|E4|+|FB|的最小值为5,故B错误；

对于c选项：设A3的中点为N,则NI九产,七卫），结合韦达定理N（m2+2,m）,

所以N到准线的距离为d=机2+2+]=m2+f.

22

而|明=")[(%+%J-4%%=J4(m2+l)(m2+4)

故以A3为直径的圆与抛物线的准线相离，故C正确;

对于D选项：因为直线AB恒过定点尸（2,0）,又直线于。,

所以。在以OP为直径的圆上，OP的中点Q（L0）则为圆心,

所以=||OP|=1,故存在定点Q,使得\DQ\为定值,故D正确.

故选：ACD.

12.已知在长方体ABC。—A4GR中，AB=2,BC=6,44=3,P为矩形4月。12内（含边界）

一动点，设二面角P—AO—C为a,直线P3与平面A3CD所成的角为/，若£=则（）

A.p在矩形A与GA内的轨迹是抛物线的一部分

Q

B.三棱锥尸-ABG体积的最小值是1

C.总长度的最小值为加

D.存在唯---•点尸，满足PB=PC]

【答案】ABC

【解析】

【分析】作尸01平面A3CD,分析。点的轨迹即可判断选项A,在平面中分析建系，求出三棱锥

P-ABC1体积的最小的点尸坐标，即可判断选项B,结合抛物线的性质即可判断选项C,结合选项C,

建立空间直角坐标系，利用向量的模即可判断选项D.

【详解】如图，作P0_Z平面A3CD,垂足为。，

再作OE_LAD,垂足为E,

因ADu平面ABC。，P01AD,POcOE=O,PO,OEu平面POE,

则4。，平面尸OE,PEu平面POE,所以

连接PE,PB,则々="及）,f3=APBO,

因为a=〃，所以NPEO=NPBO,

所以£0=60,

由抛物线定义可知，。的轨迹为抛物线一部分，

所以P的轨迹为抛物线一部分，A正确；

当点p到线段AG距离最短时，

三角形P4G面积最小，三棱锥B-PA4体积最小,

建立如图所示直角坐标系，

MA(-1,0),q(1,6),

直线4a的方程为3x—y+3=0,

抛物线方程为>2=4X,则y=2«(O<y<2),

设与AG平行且与抛物线有一个交点直线为3x-y+c=Of

3%-y+c=0

则联立＜,得3%—2«+c=0,

则4-12c=0,c=—,

3

所以尸到直线AG的最短距离为3一§二4加,

V10-15

因为AG=J4+36=2A/I5,

所以v=V=-X-X2A/10X^—x3=--B正确;

1u-A7PrR532,153

因为QB?=。。2+。32,

所以PB最小时，。8最小，且。3最小为1，

所以PB最小为Jl+3?=J记,C正确；

结合上述，建立空间直角坐标系如图，

则B(1,0,3),G(1,6,0),喉,2H0)，

|冏=4/—1)2+(2后+9,

附卜新—1)2+(2A—6)2，

Q1

令|尸耳=|P£|,解得/=—>1,

64

所以不存在点P,满足PB=PG，D错.

【点睛】方法点睛：本题属于圆锥曲线、空间几何体、空间向量的综合性题目，属于中档题，常用方法

有：

(1)数形结合的数学思想；

(2)动点轨迹的转化；

(3)三棱锥体积最值的转化等.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.过点(-1,1)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为.

[答案]y=或丁=_!工+!

-22

【解析】

【分析】根据题意设直线方程为y-1=左(*+1),求截距，列式求解即可.

【详解】由题意可知：直线斜率存在且不为0,设直线方程为y-1=左(兀+1),

女+1

令X=0,解得丁=左+1；令y=。，解得％=———；

k

“+]1

可得一一—=2(^+1),解得左=—1或左=—5，

所以直线方程为丁=—%或丁=—Lx+工.

22

故答案为：y=—%或丁=—x—.

22

22

14.已知双曲线C：5—4=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，F],过C上一点M向y轴作

ab

垂线交另一支于N点，若|"M=|耳阊，且〃耳，叫，则C的离心率为.

【答案】72+l##l+V2

【解析】

【分析】由题意可知：MNFIF?正方形，结合通径列式求解即可.

【详解】由题意可知：|"N|=|耳心且MN//耳耳，结合对称性可知鸟为矩形，

且入，则跖\与与为正方形，可得幺=£_—=2c,

aa

整理得/—2e—1=0，解得e=0+l或e=—0+1(舍去).

故答案为：V2+1.

--1-----

15.在棱长为3的正方体ABC。—A4GR中，点E满足AE=］EG，点厂在平面Bq。内，则AF+ER

的最小值为.

【答案】取

【解析】

【分析】在正方体中找到点4关于平面5C］。的对称点，利用几何关系求AR+ER的最小值.

【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，棱长为3,\E=^ECX,

所以£（2,1,3）,A（3,0,3）,C（0,3,0）,川（0,3,3）,B（3,3,0）,

设直线AC与平面BC}D的交点为H,由正方体性质可知，

BDBQ=B,平面BC；。，JBC1U平面BC］。，

所以AC，平面BG。，所以A（3,0,3）在平面的投影为“，且"（1,2,1）,

则A（3,0,3）关于平面的对称点即点A（3,0,3）关于8（1,2,1）的对称点，设为G,则为

所以+EE的最小值为GE,为J32+32+42

故答案为：\/34.

16.已知椭圆上+上=1,过原点。作两条互相垂直的射线交椭圆于A、B两点，则弦长的取值范

1691,

围为•

-24-

【答案】y,5

【解析】

【分析】对直线。4、的斜率是否同时存在进行分类讨论，当直线Q4、分别与两坐标轴重合时，

直接求出|的值；当直线OA、0B的斜率都存在时，设直线y=kx(k70),求出|关于k的表达式，

利用二次函数的基本性质可求得|A用的取值范围.

【详解】当直线。4、分别与两坐标轴重合时，|阴=，？+/=&6+9=5；

当直线的斜率都存在时，设直线y(左HO),

y=kx144

联立422，可得/9=---,

[9/+16/=14416k-+9

所以，画72+“(1+公产=勺粤1

144m144(1+/)

同理可得|。回2=

16—-9/+16

e+9

22

1440+左2)1440+42)3600(1+^)

所以，-22

16左2+9+16+9左2(16^+9)(9^+16)

—/+7t+144=—I”g

令/Q)=(16T)(9+/)=i+限

因为函数/”)在[o,[j上为增函数，在7)上为减函数,

又因为/6]=合，/(。)=/(7)=144,则144<“。〈春，

I,„123600「576c八.,「24八

此时，网=/^je[w，25j,则|叫e[匚,5)

综上所述，的取值范围是y,5.

-24

故答案为：—,5.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知在ABC中，A3边所在直线的方程为x—3y—6=0,AC边所在直线的方程为x—y—2=0,AC

边上的中线所在直线的方程为x+y-2=0.

(1)求C点的坐标；

(2)求ABC的外接圆方程.

【答案】(1)(4,2)

(2)+x—3_y—10=0.

【解析】

【分析】（1）由AB,AC直线方程联立求交点A,由AC,AC边上中线联立求得AC的中点进而由

中点坐标公式得C点坐标;

（2）联立ABAC边上的中线得8点坐标，设出圆的一般方程，由A,3,C三点坐标代入待定系数即得.

【小问1详解】

x-3y-6=Qx=0

得

x-y-2=0y=-2

所以A点的坐标为（0,—2）,

x-y-2=0[x=2

,得(,即边AC的中点为M（2,0）,

x+y-2=0[,=。

所以C与A关于点M对称,

Xo+O_c,

2尤0=4

设c(%%)，则＜c，得＜

K一2八Jo=2

-----=U、u

2

所以C点的坐标为（4,2）.

【小问2详解】

x-3y-6=0\x-3

由c八，得I

x+y-2=Q[,二一1

故8点的坐标为（3,—1）,

设.ABC的外接圆方程为£+）?+6+小+厂=0,且加+石2_4/＞o,

10+3D-E+F=0fD=-l

则＜4一2万+/=0，得＜E=一3,

20+4O+2E+/=0[尸=—10

则所求圆的方程为/+/一%一3'—10=0.

18.如图，在圆锥。。中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，。为底面圆的圆心，C为底面圆周上一

点，四边形。4即为矩形.

C

(1)求证：平面BCZ)_L平面ACE；

(2)若AE=6,AC=I,BC=5求平面ADE和平面CUE夹角的余弦值

【答案】(1)证明见解析

⑵巫.

11

【解析】

【分析】(1)首先证明8(?，平面47自然后证明平面平面ACE；

(2)构建空间直角坐标系，通过求解法向量的夹角余弦值来求解平面ADE和平面CDE夹角的余弦值；

【小问1详解】

•..AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，

：.BC.LAC.

四边形OAED为矩形，平面ABC,

/.AE//OD,AE_L平面ABC,又5。匚平面A3C,

又AC=A,AEu平面ACE,ACu平面ACE,

...BC_L平面ACE.

又BCu平面BCD,

，平面BCD，平面ACE.

【小问2详解】

以C为坐标原点，AC,BC所在直线分别为x,＞轴，过点C且与。£＞平行的直线为z轴，建立空间直角坐

标系，如图，

.标

则C(0,0,0),1,0,0),D——,E(-l,0,V2),

(22J

AE=(0,0,V2),ED=；,—斗,0,CE=(-

1,0,72).

设平面A0E的法向量为々=(%,牛马)，

(人口八\A/2Z,=0

则<，，，即｛1J3，

[£»々=05为-三％=0

令％=1,得王=6,所以々=(6,1,0).

设平面CDE的法向量为%=(%2,J2,z2),

CEn2=0)Z+缶2=0

则-，即1J3，

EDn2=0-x2--y2=0

、乙乙

令%=1，得々=G，Z?=，

所以%="1,手,

I1II■•巧3+12^/22

所以8s<|叫"8同同=2./=11，

所以平面ADE和平面CZJE夹角的余弦值为2叵

11

19.已知过点矶2,2)且互相垂直的两条直线/「12,其中乙与x轴交于点G,4与y轴交于点巨

(1)求GH的中点M的轨迹方程;

(2)已知圆C：x2+(j+l)2=3,在(1)的轨迹上任取一点尸，过尸作圆C的切线抬，PB,切点为

A,B,求四边形B4cB面积的最小值及此时点尸的坐标.

【答案】19.x+y-2=Q

【解析】

【分析】(1)设点M的坐标，根据几何关系得代入距离公式化简即可求解；

(2)根据四边形的对称性及勾股定理把面积问题转为|上4|的最小值问题，利用切线长公式及点到直线距

离公式求出最小值，联立直线方程即可求解点的坐标.

【小问1详解】

如图，设则G(2x,0),H(0,2y),连接EM,OM.

因为/1心所以即J(x_2『+(y_2)2:行+丁,

化简即得点M的轨迹方程为x+y-2=0；

【小问2详解】

如图，

PAC=A/3|PA|,

因为△丛。为直角三角形，所以|上限=|pc「-3,当1Pq最小时，切线长1pH最小,

显然当PC垂直于直线y=—x+2时，|PC|.=|0-l-2|=3A/2

1lmn412

所以|PA|.=J|PC|2.-3=—，

IIminVIImin]

所以四边形阴CB的面积最小值为S3=24x百x^=孚

此时，kpc=l,又C（0,—1）,所以直线PC：y=x-l,

3

x二一

V=x-12

联立c，解得j，即尸

[y=—x+214•

20.已知点4卜0,0）,B（V2,0）,直线AM,相交于点M,且它们的斜率之积是1.

（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）过点/（2,0）作相互垂直的两条直线/1和3且与£交于C,。两点，4与E交于G、8两点，求

故直线PB与平面PAC所成角的正弦值为旦.

3

22.已知圆月：1+省了+产=？*点M为圆月上任意一点，鸟（G,0）,加工的中垂线交“可于点

E.

（1）求点E的轨迹方程.

（2）设点7（3,0）,过点T的动直线交£的轨迹于尸，。两点，在E的轨迹上是否存在一点A,使得直线

AP的斜率和直线A。的斜率之和为定值？若存在，求出A点坐标，若不存在，请说明理由.

22

【答案】（1）土+匕=1

63

（2）存在,（2,±1）.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的定义得到2