河北省邢台市宁晋县2023-2024学年中考数学最后一模试卷含解析

河北省邢台市宁晋县2023-2024学年中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A,

B,C三点共线），已知43=100米，BC=200米.为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,

为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

|-Z00j|Q|»200米q|

4区SIXClx

A.点AB.点3C.A,5之间D.B,C之间

2.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1,图2所示，图中各行从左到右列出

的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,

3x+2v=19

就是〃〜・类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）

x+4y=23

一叩,

111IIIII-I

(1111=111,JillIII=E

图1图2

2x+y=112x+y=llJ3x+2y=192x+y=6

A.〈

4%+3y=274%+3y=22•[%+4y=234x+3y=27

3.如图，正方形ABCD中，AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则

DE的长是（）

C.2D.2.5

4.如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A(-1,0),B(4,0),则函数y=(kx+b)(mx+n)中，则

不等式（kx+b\mx+〃）＞。的解集为（）

y

v=kx+bv=mx^n

A.x>2B.0<x<4

C.-l<x<4D.xV-1或x>4

5.下列各数中比-1小的数是()

A.-2B.-1C.0D.1

6.如图，在口ABCD中，用直尺和圆规作NBAD的平分线AG交BC于点E,若BF=8,AB=5,则AE的长为（）

A.5B.6C.8D.12

7.点A为数轴上表示.2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长到B时，点B所表示的实数是（）

A.1B.-6C.2或-6D.不同于以上答案

X+JT13^7

8.若关于x的方程~-+--=3的解为正数，则m的取值范围是（）

x—33—x

99口3

A.m<—B.mV—且m^一

222

99n3

C.m>-----D.m>-----且m/-----

444

9.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质.甲：函数图像经过第一象

限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小.根据他们的描述，姜老师给出的

这个函数表达式可能是（）

31

A.y=3xB.y=-C.y=——D.y=x2

尤x

10.将抛物线》=-（x+1）2+4平移，使平移后所得抛物线经过原点，那么平移的过程为（)

A.向下平移3个单位B.向上平移3个单位

C.向左平移4个单位D.向右平移4个单位

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知点（-1,m）、（2,n）在二次函数y=ax2-2ax-1的图象上，如果m>n,那么a0（用“〉”或“〈”连接）.

12.若m+」-=3,贝!）1112+二~二

mm

13.甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）

品种第1年第2年第3年第4年第5年品种

甲9.89.910.11010.2甲

乙9.410.310.89.79.8乙

经计算，x甲=10,x乙=10,试根据这组数据估计_____中水稻品种的产量比较稳定.

十C_l

14.如图，AB是半径为2的。O的弦，将A8沿着弦AB折叠，正好经过圆心O,点C是折叠后的上一动点，

连接并延长BC交。。于点D,点E是CD的中点，连接AC,AD,EO.则下列结论：①NACB=120。，②4ACD是

等边三角形，③EO的最小值为1,其中正确的是.（请将正确答案的序号填在横线上）

15.函数y%=一+3二中，自变量x的取值范围为.

x-6

16.为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了13份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个135分，2个130分，2

个120分，1个100分，1个80分.则这组数据的中位数为分.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求.商家又

用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元.该商家购进的第一批衬衫是

多少件？若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%

（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

r_1Oy_17

18.（8分）先化简，再求值——4-（x-——）,其中x=—.

%x6

19.（8分）如图，RtAABC中，ZACB=90°,CELAB于E,BC=mAC=nDC,。为边上一点.

图1图2

（1）当加=2时，直接写出力CF=,—AF=.

BE--------BE------

3

（2）如图1,当m=2,〃=3时，连OE并延长交C4延长线于歹，求证：EF=-DE.

2

3JTI

⑶如图2,连AD交CE于G,当=且CG==AE时，求一的值.

20.（8分）为上标保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、3港口分别运送100吨和50吨生活物资.已

知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：

双门运费（元/台）

港叩豚乙用

A港1420设从甲仓库运送到A港

B港108

口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；求出最低费用，并说明费用

最低时的调配方案.

21.（8分）如图，A3为。。的直径，与。。相切于点E,交A3的延长线于点O,连接5E,过点。作。C〃BE,

交O。于点尸，交切线于点C,连接AC.

（1）求证：AC是。。的切线；

（2）连接EF,当NZ>=。时，四边形尸O3E是菱形.

22.（10分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30。，然后沿AD

方向前行10m,到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60。（A、B、D三点在同一直线上）.请你根据他们测量

数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据：.广刈.414,JJM.732）

23.（12分）一次函数丫=1«+1）（1£/0）的图象经过点A（—1,1）和点B（l,5）,求一次函数的解析式.

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经

过点A、C、B的抛物线的一部分G与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为（0,-1）,点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m（m<0）的顶点.

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得APBC的面积最大？若存在，求出APBC面积的最大值；若不存在,

请说明理由；

（3）当ABDM为直角三角形时，求m的值.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之

间的里程，就用到两点间线段最短定理.

【详解】

解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15x100+10x300=1(米)，

②以点8为停靠点，则所有人的路程的和=30x100+10x200=5000(米)，

③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30x300+15x200=12000(米)，

④当在A3之间停靠时，设停靠点到A的距离是则(0<m<100),则所有人的路程的和是：30m+15(100-m)

+10(300-m)=l+5m>l,

⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到5的距离为“,则(0<n<200),则总路程为30(100+n)+15/1+10(200-n)=

5000+35〃>1.

,该停靠点的位置应设在点4

故选A.

【点睛】

此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短.

2、A

【解析】

根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组.

【详解】

2%+y=11

图2所示的算筹图我们可以表述为：，；

4x+3y=27

故选A.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列

出方程组.

3、C

【解析】

连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证RtAAFE^RtAADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的

长.

【详解】

连接AE,

VAB=AD=AF,ZD=ZAFE=90°,

由折叠的性质得：RtAABG^RtAAFG,

在^AFE和^ADE中，

VAE=AE,AD=AF,ND=NAFE,

.*.RtAAFE^RtAADE,

/.EF=DE,

设DE=FE=x,贝！|CG=3,EC=6-x.

在直角△ECG中，根据勾股定理，得：

(6-x)2+9=(x+3)2,

解得x=2.

贝！JDE=2.

【点睛】

熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.

4、C

【解析】

看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可.

【详解】

,直线与直线了2=雨*+”分别交x轴于点A(T,0),B(4,0),

不等式(fcc+3(mx+")>0的解集为-1<XV4,

故选C.

【点睛】

本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个

函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变.

5、A

【解析】

根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案.

【详解】

解：A、-2<-1,故A正确；

B、-1=-1,故5错误；

C、0>-1,故C错误；

。、1>-1,故O错误；

故选：A.

【点睛】

本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0,0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小.

6、B

【解析】

试题分析：由基本作图得到AB=AF,AG平分NBAD,故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AELBF,

故可得出OB=4,再由勾股定理即可得出OA=3,进而得出AE=2AO=1.

考点：1、作图-基本作图，2、平行四边形的性质，3、勾股定理，4、平行线的性质

7、C

【解析】

解：•••点A为数轴上的表示-1的动点，①当点A沿数轴向左移动4个单位长度时，点5所表示的有理数为4-4=-6；

②当点A沿数轴向右移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为-1+4=1.

故选C.

点睛：注意数的大小变化和平移之间的规律：左减右加.与点A的距离为4个单位长度的点3有两个，一个向左，一

个向右.

8、B

【解析】

解：去分母得：x+m-3m=3x-9,

田‘0k-n—2m，+9

整理得：2x=-2m+9,解得：x=------------,

2

八、,*x+加3m-w,

已知关于x的方程--+--=3的解为正数，

x~33—x

9

所以-2m+9>0,解得mV—,

2

、r,—2m+9e，=3

当x=3时，x=------------=3,解得：m=—,

22

93

所以m的取值范围是：mV—且mr—・

22

故答案选B.

9、B

【解析】

y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误；

3

y=一的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确；

x

y=-L的图象在二、四象限，故选项C错误；

x

y=x2的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误；

故选B.

10、A

【解析】

将抛物线y=-(％+1)2+4平移，使平移后所得抛物线经过原点，

若左右平移n个单位得到，则平移后的解析式为：y=-(x+l+n)1+4,将(0,0)代入后解得：n=-3或n=l,所以

向左平移1个单位或向右平移3个单位后抛物线经过原点；

若上下平移m个单位得到，则平移后的解析式为：y=-(x+iy+4+m,将(0,0)代入后解得：m=-3,所以向下

平移3个单位后抛物线经过原点，

故选A.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、>；

【解析】

Vy=ax2-2ax-1=a(x-l)2-a-l,

二抛物线对称轴为：x=l,

由抛物线的对称性，点(-1,m)、(2,n)在二次函数y=ax2—2ax—1的图像上，

V|-1-1|>|2-1|,且m>n,

:.a>0.

故答案为〉

12、7

【解析】

分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案.

详解：把m+^=3两边平方得：(m+工)2=„12+人+2=9,

mmm~

贝!Im2+^y=7,

故答案为：7

点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.

13、甲

【解析】

根据方差公式分别求出两种水稻的产量的方差，再进行比较即可.

【详解】

甲种水稻产量的方差是：

-[(9.8-+(9.9-10)2+(10.1-IO)2+(10-10)2+(10.2-10)21=0.02,

5L-

乙种水稻产量的方差是：

-r(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)21=0.04,

...0.02V0.124....产量比较稳定的小麦品种是甲.

14、①②

【解析】

根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确,

EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题.

【详解】

D

E

如图1,连接OA和OB,作OF_LAB.

、、*/

、一-i--~

图i

由题知：AB沿着弦AB折叠，正好经过圆心O

.\OF=OA=-OB

2

:.ZAOF=ZBOF=60°

ZAOB=120°

.•.NACB=120。（同弧所对圆周角相等）

ZD=1ZAOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）

:.ZACD=180°-ZACB=60°

/.△ACD是等边三角形（有两个角是60。的三角形是等边三角形）

故，①②正确

如图2,连接AE和EF

:△ACD是等边三角形，E是CD中点

.\AE1BD（三线合一）

XVOF1AB

，F是AB中点

即，EF是AABE斜边中线

.,.AF=EF=BF

即，E点在以AB为直径的圆上运动.

所以，如图3,当E、O、F在同一直线时，OE长度最小

此时，AE=EF,AE±EF

VOO的半径是2,即OA=2,OF=1

.,.AF=A/3（勾股定理）

:.OE=EF-OF=AF-OF=有-1

所以，③不正确

综上所述：①②正确，③不正确.

故答案是：①②.

【点睛】

考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半

圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理.

15、x#l.

【解析】

该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0,故分母x-"0,解得x的范围.

【详解】

根据题意得：X—1/0,

解得：x彳1.

故答案为X/1.

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练的掌握分式的意义.

16、1

【解析】

•.T3份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个1分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分，

•••第7个数是1分，

.•.中位数为1分，

故答案为1.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）120件;（2）150元.

【解析】

试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫可设为2x件，由已知可得,，这种衬衫贵

10元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润

表达式，然后列不等式解答即可.

试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则第二批衬衫是2x件.

2880013200

由题意可得：--------------=10,解得％=120,经检验％=120是原方程的根.

2xx

（2）设每件衬衫的标价至少是。元.

由（1）得第一批的进价为：13200+120=110（元/件），第二批的进价为：120（元）

由题意可得：120x（。—110）+（240—50）x（。—120）+50x（0.8。—120）225%x42000

解得：350a252500,所以，a2150,即每件衬衫的标价至少是150元.

考点：1、分式方程的应用2、一元一次不等式的应用.

18、6

【解析】

【分析】括号内先通分进行分式加减运算，然后再与括号外的分式进行乘除运算，化简后代入x的值进行计算即可得.

【详解】原式二口十二X

XX

x-1X

_1

-，

x-1

、,7

当x=一,原式=7=6.

66-1

【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据所给的式子确定运算顺序、熟练应用相关的运算法则是解题的关键.

19、（1）11-；（2）证明见解析；（3）m-=34，

24n4

【解析】

（1）利用相似三角形的判定可得列出比例式即可求出结论；

（2）件DHHCF交AB千H,设A£=a,则3E=4a,根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可求出AH和EH,

然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可得出结论；

(3)作于"，根据相似三角形的判定可得AAEGSACE4,列出比例式可得AE?=氏；.EC,设CG=3a,

AE=2a,EG=X,即可求出X的值，根据平行线分线段成比例定理求出加＞:3C=ZV7:CE=5:8,设BD=AD=5b,

BC=8b,CD=3b,然后根据勾股定理求出AC,即可得出结论.

【详解】

(1)如图1中，当m=2时，BC=2AC.

CELAB,ZACB=90°,

ABCE^ACAE^ABAC,

.CEACAEl

"EB~BC^EC

:.EB=2EC,EC=2AE,

,AE1

•,一•

EB4

故答案为：—,—.

24

(2)如图1-1中，悍DH"CF交AB千H.

图1-1

m=2,n=3,

CEAC

•*.tanZB=-----=------=—,tanZACE=tanNB=------=—

BEBC2CE2

/.BE=2CE,AE=-CE

2

:.BE=4AE,BD=2CD,设AE=a,则鹿=4。,

DH//AC,

BHBD0

——=——=2,

AHCD

552

AH=-cifEH=-a—a=-a,

333

DH//AF,

EFAEa3

1.EH-l^-2,

3

3

:.EF=-DE.

2

(3)如图2中，作DHLAB于".

图2

ZACB=ZCEB=90°9

NACE+NR%=90。，ZB+ZECB=900,

:.ZACE=NB,

DA=DB,

ZEAG=ZB,

.\ZEAG=ZACEf

ZAEG=ZAEC=90°9

:.^AEG^\CEA,

2

AE=EG.EC9

3

CG=-AE设CG=3〃，AE=2aEG=x,

299

贝！］有4a2=x(x+3a),

解得x=〃或(舍弃)，

EG1

/.tanNEAG=tanZACE=tanNB==—,

AE2

EC=4a9EB=8a,AB=lOci>

DA=DB,DH工AB,

,\AH=HB=5a9

DH——a,

2

DH//CE,

:.BD:BC=DH:CE=5:8,设BD=AD=5b,BC=8b,CD=3b,

在RtAACD中，AC=《AD2-CD。=46,

r.AC:CD=4:3,

mAC=nDC,

/.AC:CD=n:m=4:3f

.m_3

••=•

n4

【点睛】

此题考查的是相似三角形的应用和锐角三角函数，此题难度较大，掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比

例定理和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

20、(1)j=-8x+2560(30Sr<l)；(2)把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的

全部运往3港口.

【解析】

试题分析：(1)设从甲仓库运x吨往A港口，根据题意得从甲仓库运往B港口的有(1-x)吨，从乙仓库运往A港口

的有吨，运往B港口的有50-(1-x)=(x-30)吨，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运

往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简，即可得总运费y(元)与x(吨)

之间的函数关系式；由题意可得转0,8-x>0,x-30>0,100-x>0,即可得出x的取值；(2)因为所得的函数为一次函数,

由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=l时，y最小，并求出最小值，写出运输方案.

试题解析：(1)设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有(1-x)吨，

从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50-(1-x)=(x-30)吨，

所以y=14x+20+10(1-x)+8(x-30)=-8x+2560,

x的取值范围是30WxWl.

(2)由(1)得y=-8x+2560y随x增大而减少，所以当x=l时总运费最小，

当x=l时,y=-8x1+2560=1920,

此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口.

考点：一次函数的应用.

21、(1)详见解析；(2)30.

【解析】

(1)利用切线的性质得NCEO=90。，再证明AOCA义aOCE得到NCAO=NCEO=90。，然后根据切线的判定定理得

到结论；

(2)利用四边形FOBE是菱形得到OF=OB=BF=EF,则可判定△OBE为等边三角形，所以NBOE=60。，然后利用互

余可确定ND的度数.

【详解】

(1)证明：•••CD与。。相切于点E,

/.OE±CD,

/.ZCEO=90°,

又；OC〃BE,

/.ZCOE=ZOEB,ZOBE=ZCOA

,/OE=OB,

/.ZOEB=ZOBE,

/.ZCOE=ZCOA,

XVOC=OC,OA=OE,

/.△OCA^AOCE(SAS),

/.ZCAO=ZCEO=90°,

又•；AB为。O的直径，

；.AC为。O的切线；

(2)I•四边形FOBE是菱形，

；.OF=OB=BF=EF,

:.OE=OB=BE,

.'.△OBE为等边三角形，

.,.ZBOE=60°,

而OE±CD,

.•.ND=30°.

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半

径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半

径”.也考查了圆周角定理.

22、这棵树CD的高度为8.7米

【解析】

试题分析：首先利用三角形的外角的性质求得NACB的度数，得到BC的长度，然后在直角ABDC中，利用三角函数

即可求解.

试题解析：VZCBD=ZA+ZACB,

二ZACB=ZCBD-ZA=60°-30°=30°,

/.ZA=ZACB,

/.BC=AB=10(米).

在直角△BCD中，CD=BCsinZCBD=10xA!=5J3-5x1.732=8.7(米).

2

答：这棵树CD的高度为8.7米.

考点：解直角三角形的应用

23、y=2x+l.

【解析】

直接把点A(-1,1),B(1,5)代入一次函数(际0),求出A、匕的值即可.

【详解】