广东省深圳市2021-2022学年九年级下学期四月月考数学测试题（原卷版）

兰陵学校2021-2022学年第二学期4月数学素养练习

一、选择题（共10小题，每题3分，10X3=30分）

1

1.2021的相反数为（）

1

A.2021B.-2021C.-------D.

2021

1

2021

2.下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对

称图形的是（）

ZX

3.2021年3月20日至29日，“2021粤港澳大湾区深圳花展”将在深圳仙湖植物园开幕，

届时将有7.1万m2的绝美花海，19个国家，5大主题，38座花园供游客欣赏.数据7.1万

n?用科学记数法表示为（）

A71X104m2B.7.1X104m2C.7.1X105m2D.

0.71X105m2

4.如图所示的是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，和“富”字一面相对面

的字是（）

富民文।时

A.强B.明C.文D.主

5.某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80,90,75,75,80,80.下列表述错误的

是（）

A.众数是80B.中位数是75C.平均数是80D.极差是

15

6.八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后,

其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑

车学生的速度.若设骑车学生的速度为xkm/h,则可列方程为（）

1010.1010.10101

A.-----------=20B.------------=20C.------------=-D.

2xxx2xx2x3

10_10_J_

2xx3

7.如图，。。的半径OC垂直于弦AB,。是优弧AB上的一点（不与点A,8重合），若

ZBOC=50°,则/AOC等于()

A.40°B.30°

C.25°D.20°

8.如图，在A处测得点P在北偏东60。方向上，在B处测得点P在北偏东30。方向上，若

AP=6,千米，则两点的距离为（）千米.

9.如图，二次函数丁=。必+6%+。（awO）图象的对称轴是直线为=1,则以下四个结

论中：®abc>0,②2a+b=0,®4a+b2<4ac®3a+c<0.正确的个数是

()

A.1B.2C.3D.4

10.如图，在正方形ABC。中，E为AD中点，DFLCE于交AC于点N,交AB于点

F,连接EN、BM、有如下结论：①AADF会ADCE；②MN=FN；③CN=2AN；®S_AND:

S四边形CNFB=2：5；⑤其中正确结论的个数为（）

B.3个C.4个D.5个

二、填空题（共5小题，每题3分，5*3=15分）

11.分解因式：2/+4%+2=

12.如图，已知4AC=60。，A。是角平分线且AO=10,作AD的垂直平分线交AC于

点F,作£见，AC,则。防周长为

13.将一些相同的“。”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“稻草人”中的“。”的个数，则

第20个“稻草人”中有个

o

o)

o。

o0Oo

OOo

o0

0OOO

OOOOOO

0C

14.定义新运算“*”，规则：a*b=\a^a~b\如1*2=2，（―«）*后=近若

、b（a<b）''

了2—2%—3=0的两根分别为矛1，巧，则尤1*±=.

15.如图，在平面直角坐标系中，菱形A30C的顶点。在坐标原点，边60在x轴的负半

3k

轴上，cos/BOC=一，顶点C的坐标为（。,4）,反比例函数y=—的图象与菱形对角线

5x

A0交于。点，连接3D,当轴时，上的值是.

三.解答题(共7小题)

16.计算：|2-tan60°|-(^-3.14)°+

(1、丫~+6x+9

17.先化简再求值：——+lk-------------，其中x=—l.

(x+2)x+3

18.某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分(x为整数)评定为优

秀、良好、合格、不合格四个等级(优秀、良好、合格、不合格分别用4B、C、。表

示)，A等级：90WxW100,8等级：80Wx<90,C等级：60Wx<80,。等级：0W尤〈

60.该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表.

等级频数(人数)频率

Aa20%

B1640%

Cbm

D410%

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：

(1)上表中的a,b=,m=.

(2)本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图.

(3)若从。等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法

求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率.

19.在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种

商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如下表所示：

购进数量(件)

项目购进所需费用(元)

酒精消毒液测温枪

第一次30408300

第二次40306400

(1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？

(2)公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售.为满足市场需

求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液数量不少于测温枪数量的4倍，求该公

司销售完上述1000件商品获得的最大利润.

20.如图，在AABC中，A8=AC,点。是8C的中点，连接A。，点£是的中点，延长

BE至F,使EF=BE,连接ARCF,B尸与AC交于点G,连接。G.

(1)求证：四边形AOCF矩形.

(2)若AB=5,BC=6,求线段。G的长.

21.如图1,等腰△ABC内接于。O,AC=BC,。，48于点。，尸为弧A8上的一个动

点，连接CT交AB于点G,P为射线A8上的一个动点，连接PF,AF.

(1)求证：CP・CG=CA2；

(2)如图1,若PG=PF,求证：尸尸为。。的切线；

(3)在(2)的条件下，如图2,连接尸C,若/FAP=/PCB,A2=CD=4,求

-------的值.

BGBP

22.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E,A,。在

同一条直线上），发现BER5G且BELZ5G.小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解

图1

（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=r>G吗？如果能,

请给出证明.如若不能，请说明理由:

（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD将菱形AEFG绕点A按顺时针

方向旋转，（如图2）试问当/E4G与NBA。的大小满足怎样的关系时，背景中的结论

8E=OG仍成立？请说明理由;

AP4R?

（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形48cD,且——=——=-,AE=4,

AGAD3

AB=8,将矩形AEPG绕点A按顺时针方向旋转（如图3）,连接。E,BG.小组发现：在旋

转过程中，是定值，请求出这个定值.

兰陵学校2021-2022学年第二学期4月数学素养练习

一、选择题（共10小题，每题3分，10X3=30分）

1

1.2021的相反数为（）

1

A.2021B.-2021D.

2021

1

~2021

【答案】D

【解析】

【分析】根据相反数的定义即可求得

11

【详解】解:的相反数是-

20212021

故选：D.

【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是

零.

2,下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对

称图形的是（）

A.

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能

够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形判断即可；

【详解】A、是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选B.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义准确分析判断是解题

的关键.

3.2021年3月20日至29日，“2021粤港澳大湾区深圳花展”将在深圳仙湖植物园开幕，

届时将有7.1万m2的绝美花海，19个国家，5大主题，38座花园供游客欣赏.数据7.1万

n?用科学记数法表示为（）

A.71X104m2B.7.1X104m2C.7.1X105m2D.

0.71X105m2

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为axle?的形式，其中0%<10,"为整数.确定〃的值

时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：7.1万w=71005/=7,1义1。4机2.

故选B.

【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示较大的数，正确的确定。和〃的值是解答

本题的关键.

4.如图所示的是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，和“富”字一面相对面

的字是（）

A.强B.明C.文D.主

【答案】C

【解析】

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，和“富”字所在

面相对的面上的字是“文”.

故选：C

【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面

入手，分析及解答问题.

5.某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80,90,75,75,80,80.下列表述错误的

是（）

A.众数是80B.中位数是75C.平均数是80D.极差是

15

【答案】B

【解析】

【详解】（1）80出现的次数最多，所以众数是80,A正确；

（2）把数据按大小排列，中间两个数为80,80,所以中位数是80,B错误；

（3）平均数是80,C正确；

（4）极差是90-75=15,D正确.故选B

6.八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，

其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑

车学生的速度.若设骑车学生的速度为xkm/h,则可列方程为（）

1010.1010.10101

A.-----------=20B.------------=20C.------------=-D.

2xxx2xx2x3

10_10_1

2xx3

【答案】C

【解析】

【分析】根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，得汽车的速度为2xkm/h,由一部分学生

骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达列得方程.

【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/h,则汽车的速度为2尤km/h,

I

可列方程为-------

x2x3

故选：C.

【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意确定题目中的等量关系是解题的

关键，注意单位应统一，20min为-丸.

3

7.如图，。。的半径。。垂直于弦A2,。是优弧AB上的一点（不与点A,B重合），若

ZBOC=50°,则NAOC等于（）

A.400B.30°

C.25°D.20°

【答案】C

【解析】

【分析】连接根据垂径定理即可推出N8OC=NAOC=50。，然后根据圆周角定理即可

推出/AOC的度数.

【详解】解：连接08,

,/Q0的半径0c垂直于弦AB,ZBOC=50°,

：.ZBOC=ZAOC=50°,

：.AADC=^ZAOC=25°.

故选：C.

【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，关键在于正确的做出辅助线，求出

ZB0C=ZA0C=5Q°.

8.如图，在A处测得点P在北偏东60。方向上，在8处测得点尸在北偏东30。方向上，若

AP=6百千米，则AB两点的距离为（）千米.

A.4B.@C.2D.6

【答案】D

【解析】

【分析】证明在RtZVMC中，求出PC=36千米，在RtAPBC中,解直角三

角形可求出尸8的长，则可得出答案

【详解】解：由题意知：ZPAB=30°,ZPBC=60°

ZAPB=ZPBC-ZPAB=60°-30°=30°

:.NPAB=NAPB,

:.AB=PB,

在中，

AP=6百千米

PCPA=36千米，

2

在川△PBC中，

pc

sinZPBC=—,

PB

=3昌走=6千米

2

二.AB=6千米

故选：D

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义及方向角是解题关

键.

9.如图，二次函数丁=。必+初（:+。（aw0）的图象的对称轴是直线x=l,则以下四个结

论中：®abc>0,®2a+b=0,@4a+b2<4ac>®3a+c<0.正确的个数是

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由开口方向，对称轴方程，与y轴的交点坐标判断。，仇。的符号，从而可判断

①②，利用与y轴的交点位置得到c>i,结合。<o,可判断③，利用当

x=-l,y=a-b+c,结合图像与对称轴可判断④.

【详解】解：由函数图像的开口向下得“<0,

b

由对称轴为x=———=1>0,所以沙>0,

2a

由函数与y轴交于正半轴，所以。>0,

abc<0,故①错误；

b

x=-----=11,

2a

-b=2a.

:.2a+b=Q,故②正确；

由交点位置可得：C>1,

a<0,

••c>1+a,

4ac<4a+4a2,

b=—2a,.'.b~=4a\

:.4ac<4a+b2,故③错误；

由图像知：当x=-l,y=a—b+c,

此时点(-La-6+c)在第三象限，

:.a-b+c<0,

b=-2a,

.,.3a+c<0,故④正确；

综上：正确的有：②④，

故选B.

【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断

代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键.

10.如图，在正方形ABC。中，E为的中点，CE于M,交AC于点N,交AB于

点F,连接EMBM、有如下结论：①△AD尸验△OCE；②MN=FN；③CN=2AN；④

【答案】C

【解析】

【分析】①先由余角的性质得出根据“AAS”可证AA。尸之△£>(:£.

②根据AE=A/，ZNAF=ZNAE,AAK4N这三个条件，得出△⑷VF四△AJVE,即可得出结

论.

③根据AE〃CD,得出CN与AN的比值，即可求出结果.

④连接CF,再设5—加=1,即可得出SAND与S四边形CNFB比值即可.

⑤延长与CB交于G,,得出ADEN与全等，由直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半可得MB=BG=2C,进而得出结果.

【详解】解：①•••A8CD是正方形，

：.AD=DC,ZDAF=ZEDC,

■:DF_LCE,

：.ZEDM+ZDEM=90°,

'：ZDEM+ZDCE=90°,

：.ZADF=ZDCE,

在△A£>/和△DCE中，

NADF=ZDCE

<ZDAF=ZEDC,

AD=CD

：.AADF^/\DCE,故正确；

②：ABC。是正方形，

ZNAF=ZNAE,

'：AADF^ADCE,

：.DE=AF,

•；AE=DE,

：.AE=AF,

在△ANF和△ANE中

AE=AF

<NNAF=NNAE,

、AN=AN

：.LANF咨LANE,

：.NF=NE,

■:NMLCE,

：.NE>MN,

：.NF>MN,故错误；

③：AF//CD,

：.ZCDN=ZNFA,ZDCN=ZNAF,

：ADCNS/\FAN,

.CNCD

A2V"AF)

又,：MADE”XDCE,且四边形ABC。为正方形,

:.AF=^AB^\DC,

.CNCD、

ANAF

：.CN=2AN,故正确;

△DCNsAFAN,

.CN_DN_CD

"AN~NF~AF

,AC

••—J,

AN

贝IJSAAC/=3,SAND=2,

,•S&ACB=6,

•e•S四边形cNfB=5,

,,SAND•S四边形CN尸3=2：5,故正确;

⑤延长。尸与C3交于G,则NAZ)F=NG,根据②的结论尸为A3中点，即A尸二8尸,

△DAF与公G8月中,

ZADF=NG

<ZDAB=ZGBF=90°,

AF=BF

.♦.△DAF咨AGBF（AAS）,

：.BG=AD,又AD=BC,

：.BC=BG,

；Z）OJ_CE于跖

ZCMG=90°,

.♦.△CMG是直角三角形，

:.MB=BG=BC,

：.ZG=ZBMF,

因此/A。/故正确.

所以正确的有①③④⑤共4个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了正方形性质问题，在解题时要注意全等三角形、相似等知识的

综合利用，综合运用各知识点是解题的关键.

二、填空题（共5小题，每题3分，5*3=15分）

11.分解因式：2f+4x+2=.

【答案】2（x+iy

【解析】

【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式解答，即可求解.

【详解】解：2f+4x+2

=2俨+2%+1）

=2（无+炉

故答案为：2（x+iy

【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需

要进行二次分解因式.

12.如图，已知NR4c=60。，A。是角平分线且AD=10,作A。的垂直平分线交AC于

点E作。石J_AC,则40石尸周长为.

B

7C

【答案】5+573

【解析】

【分析】知道NR4C=60。和AD是角平分线，就可以求出4ME=30。，AD的垂直平

分线交AC于点P可以得到AF=FD,在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再

求出DE,得到C^DEF=DE+EF+AF=AE+DE.

【详解】解：AD的垂直平分线交AC于点凡

•.DF=AF（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）

:.CN—DE+EF+AF—AE+DE

：/a4c=60。，AD是角平分线

ZDAE=30°

'：AD=10

：.DE=5,AE=5百

C&D£F=5+5^/3

【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌

握运用三者的性质是解题的关键.

13.将一些相同的“。”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“稻草人”中的“。”的个数，则

第20个“稻草人”中有个

o

Ooo。

o

OOo

Oo

OOO

OOOOOO

0C-

【答案】385

【解析】

【详解】试题分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为1+4=5；

第2个图形中小圆的个数为1+5+1=7；

第3个图形中小圆的个数为1+6+4=11；

第4个图形中小圆的个数为1+7+9=17；

...第n个图形中小圆的个数为1+(n+3)+(n-1)2.

.•.第20个，稻草人”中的“。”的个数为1+23+192=385,

考点：图形的变化规律以及数字规律

14.定义新运算“*”，规则：a*b=r^a~b\如1*2=2，(―q)*后=①若

b(a<b)'，

光2—2%—3=0的两根分别为4，4，则为*马=.

【答案】3

【解析】

【分析】先通过因式分解法解方程九2—2%-3=0,求出均，巧，根据新定义的运算规

则，西*々的值为为和巧中较大的那个数，由此可解.

【详解】解：方程％2—2x—3=0，

分解因式得：(%-3)(%+1)=0,

解得：x=3或x=—1,

则%*0=3*(-1)=3或(-1)*3=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解

题的关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，菱形A30C的顶点。在坐标原点，边30在x轴的负半

3k

轴上，cosZBOC=~,顶点C的坐标为(a,4),反比例函数y=—的图象与菱形对角线

5x

AO交于。点，连接BD，当轴时，上的值是.

【答案】----

2

【解析】

【分析】先求出OC=5,再利用菱形的性质得到AC=OB=OC=5,AC〃OB贝ijB(-5,0),故

而得到点A的坐标为(-8,4),再利用待定系数法确定直线OA的解析式为y=-1x,则可确

5k

定D(-5,-),将点D的坐标代入y=一中可得到k的值.

2x

【详解】过点C作CE，x轴于点E,

•・・C(〃,4),

OE=-a,CE=4,

3OF

•：cosZBOC=-=——，

5OC

・・・OE=3,OC=5,

・・•四边形OBAC是菱形，

AAC=OB=OC=5,AC//OB

AB(-5,0),A(-8,4),

设直线OA的解析式为y=mx,

将点A坐标代入得到-8m=4,解得m=-g,

直线OA的解析式为y=-gx,

当x=-5时，y=—,

2

AD(-5,

2

将点D的坐标代入y=--

x

【点睛】此题考查菱形的性质，锐角三角函数，待定系数法求一次函数及反比例函数的解

析式，此题中根据菱形的性质求出点A的坐标是解题的关键.

三.解答题(共7小题)

11.—

16.计算：12-tan60°|--3.14)°+(--)^2+-V12.

【答案】5.

【解析】

【分析】将60。的正切值代入，再依次计算零次幕，负指数幕，化简二次根式，最后算加减

法.

【详解】解：原式=。-6/1+4+四

=2-用3+百

=5

【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值，掌握零次基，负指数累

和二次根式的化简是解决本题的关键.

17.先化简再求值：--+1U----------，其中x=—l.

（x+2）x+3

1

【答案】1

x+2

【解析】

【分析】先把分式化简后，再把x的值代入求出分式的值即可.

1x+2x+3x+311

【详解】原式=----1----

x+2x+2(x+3)2x+2x+3x+2

当％=-1时，原式=---=1.

-1+2

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键.

18.某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩无分（x为整数）评定为优

秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表

示），A等级：90WxW100,B等级:80Wx<90,C等级：60/尤<80,D等级：0/尤〈

60.该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表.

等级频数（人数）频率

Aa20%

B1640%

Cbm

D410%

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：

（1）上表中的a，b=,m=

（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图.

(3)若从。等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法

求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率.

频数(人)

2

【答案】(1)8,12,30%；(2)40名，补图见解析；(3)-

【解析】

【分析】(1)根据题意列式计算即可得到结论;

(2)用。等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数;

(3)列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可.

【详解】解：(1)a=16+40%X20%=8,6=16+40%X(1-20%-40%-10%)=12,

m=l-20%-40%-10%=30%；

故答案为：8,12,30%；

(2)本次调查共抽取了4・10%=40名学生;

(3)将男生分别标记为A,B,女生标记为a,b,

ABab

A(A,B)(A,a)(A,b)

B(B,A)(B,4)(B,b)

a(〃，A)(a,B)(mb)

b(.b,A)(b,B)Qb,a)

•.•共有12种等反「能的结果，合为一男一女的有8种，

o)

.••抽得恰好为“一男一女”的概率为不.

JL乙J

【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图应用.用到

的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种

商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如下表所示：

购进数量(件)

项目购进所需费用(元)

酒精消毒液测温枪

第一次30408300

第二次40306400

(1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？

(2)公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售.为满足市场需

求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公

司销售完上述1000件商品获得的最大利润.

【答案】(1)酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元；

(2)该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为16000元.

【解析】

【分析】(1)设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是％，丁，根据第一次购买30件酒精消

毒液和40件测温枪的总费用为8300可以列出30x+40y=8300,根据第二次购买40件酒

精消毒液和30件测温枪的总费用为6400可以列出40x+30y=6400,联立这两个方程即

可求解；

(2)设购进酒精消毒液。件，则购进测温枪(1000-a)件，销售完这1000件商品获得的

利润为W,根据酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售，可以得到酒精

消毒液每件的利润为10元，测温枪每件的利润为40元，由此可以求出利润的表达式；同

时结合酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍列出不等式a24(1000-a),即可求出

。的取值范围，从而求出最大利润;

【详解】(1)设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是x元，y元

30x+40y=8300

由题意可得:

40x+30y=6400

%=10

解得:

y=2QQ

酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元

(2)设购进酒精消毒液”件，则购进测温枪(1000-a)件，销售完这1000件商品获得的

利润为W

由题意可得：W=(20-10)a+(240-200)(1000-a)=40000-30a

酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍

a>4(1000-a)

解得：a>800

利润W是关于。的一次函数，同时—30V0

W随着。的增大而减小

当a=800时，W有最大值为16000

•••该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为16000元

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，同时结合一次函数的性质求最值，充

分理解题意列出方程组，以及利润的表达式是求解本题的关键.

20.如图，在△ABC中，AB=AC,点。是8c的中点，连接A。，点E是的中点，延长

BE至F,使EF=BE,连接AP,CF,8尸与AC交于点G,连接。G.

(1)求证：四边形A/XT是矩形.

(2)若AB=5,BC=6,求线段。G的长.

【答案】(1)见解析(2)DG=^Z1

3

【解析】

【分析】(1)ffiAAEF^ADEB(SAS),得AF=DB,NAFE=NDBE,证出AF〃DB,

再由等腰三角形的性质得。B=OC,AD±BC,则AF=Z)C,ZADC=90°,即可得出结论;

(2)过G作G8_LC£)于X,由勾股定理得AD=4,MffiAAGF^ACGB,得

---=---=—,贝!JAG=；CG,得AG=-AC=—,CG=AC-AG=—,然后证

CGCB22333

282

△CGH^/\CAD,求出GH=—AZ)=—,CH=-CD=2,即可解决问题.

333

【小问1详解】

证明：：点E是A。中点，

：.AE=DE,

在和4。班中，

AE=DE

<ZAEF=ZDEB

EF=EB

:.AAEFqADEB(SAS),

：.AF=DB,ZAFE=ZDBE,

■,.AF//DB,

点。是BC中点，

：.DB=DC,AD±BC,

：.AF=DC,ZADC=90°,

四边形ADCF是平行四边形，

ZADC=90°,

平行四边形AOb是矩形；

【小问2详解】

解：过G作于H,如图所示:

•：AB=AC=5,点。是BC中点，

：.AD±BC,BD=CD=^BC=3,

•••A0=—CD?=J52-32=4,

由（1）得：AF=DC=BD=3=^BC,AF//BC,

：.AAGFs/\CGB,

.AGAF_1

^~CG~~CB~2"

：.AG=^CG,

■15

..AG=—AC=—,

33

10

：.CG=AC-AG=—,

3

,/GH//DA,

.,.△CGHs/XCA。，

.GHCHCG2

"AD~CD~CA~3'

282

：.GH=-AD=-,CH=-CD=2,

333

：.DH=CD-CH=1,

,________、历

•*-DG=^DH~+GH~=•

【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性

质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角

形全等和三角形相似是解题的关键.

21.如图1,等腰△ABC内接于。O,AC^BC,COLAB于点。，尸为弧上的一个动

点，连接b交于点G,尸为射线AB上的一个动点，连接PEAF.

(1)求证：C>CG=CA2；

(2)如图1,若PG=PF,求证：尸尸为。。的切线;

(3)在（2）的条件下，如图2,连接PC,若/EiP=/PCB,48=8=4,求

1--的值.

BGBP

【答案】（1）见解析（2）见解析

11

(3)—--

BGBP5

【解析】

【分析】(1)先判断出NCAG=NC朋，进而得出△CAGs/XCRl,即可得出结论；

(2)连接OF,先判断出/。FC+NPGP=90。，再判断出/PGP=NPFG,得出NPFG+

ZOFC=90°,即可得出结论；

(3)过点2作2M_LPC于M,BNLFC于N,先判断出8C平分NPCR得出BM=BN,

CGBG

再利用面积法判断出——二——，BG=x,BP=y,则OG=B。-8G=2-x,DP=BD+BP

CPBP

=2+y,进而根据勾股定理得，CG2=x2—4x+20,CP2=y2+4y+20,进而得出

x2%2-4x+20

化简即可得出结论.

y2y2+4y+20

【小问1详解】

证明：VAC=BC,

・•・AC=BC，

：.ZCAG=ZCFA,

ZACG=ZFCA,

AACAG^ACM,

.CACG

**CF-G4?

.\CA2=CF-CG；

【小问2详解】

证明：如图1,连接。死

图1

・・・OC=OF,

：.ZOCF=ZOFC；

9：CDLAB,

：.ZCDG^90°,

：.ZOCF+ZCGD=9Q°,

：.ZOFC+ZCGD=90°,

■:/CGD=NPGF,

：./OFC+/PGF=94°,

•；PG=PF,

：.ZPGF=ZPFG,

：.ZPFG+ZOFC=90°,

・•・OF_LPF,

又。尸为半径，

・••尸尸为为。0的切线；

【小问3详解】

解：如图2,过点8作3M_LPC于M,BN1FC于N,

・.,ZPCB=ZFAP=ZFCB,

・・・5。平分/尸。尸，

：・BM=BN,

-CGAD

・°CBG2CG

~CP

-BP-AD

2

-BGAD

2BG

BP

-BP-AD

2

.CG