2022年新高考数学仿真演练综合能力测试(二)(原卷版+解析)

2022年新高考数学仿真演练综合能力测试（二）注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（

）A．-3 B．-1 C．1 D．33．已知a，b为正实数，且，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．64．已知双曲线的右焦点为，在右支上存在点，，使得为正方形（为坐标原点），设该双曲线离心率为，则（

）A． B． C． D．5．下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（

）A． B． C． D．6．已知菱形的边长为4，，是的中点，则A．24 B． C． D．7．甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（

）A． B． C． D．8．已知抛物线，P为直线上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（

）A． B．-1 C． D．-2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．一组数据，，…，是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则（

）A．平均数变大 B．中位数没变 C．方差变小 D．极差没变10．已知数列满足，，则下列结论中正确的是（

）A．B．为等比数列C．D．11．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递增C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称12．已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则满足条件的实数的可能值有（

）A．-1 B．0 C． D．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．14．的展开式中的系数是，则___________.15．已知函数（）在上单调递增，则的一个取值为________．16．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱维的体积为，则线段长度的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知为等比数列，，，分别是下表第一、二、三行中的数，且，，中的任何两个数都不在下表的同一列，为等差数列，其前项和为，且第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求数列，的通项公式；(2)若，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，求数列的前100项的和．18．的内角，，所对的边分别为，，.(1)求的大小；(2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.①为的外心，；②为的垂心，；③为的内心，.19．如图，四棱锥A-BCDE的底面为等腰梯形，，且，，平面平面ACB.(1)证明：.(2)若，求二面角C-AD-E的大小.20．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.月份x12345销售量y（万件）4.95.86.88.310.2该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：.(1)根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；(2)已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.21．已知圆与圆：外切，同时与圆：内切.(1)说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；(2)设动点的轨迹是曲线，直线：与曲线交于，两点，点是线段上任意一点（不包含端点），直线过点，且与曲线交于，两点，若为定值，证明：.22．已知函数.（1）当时，试判断函数在上的单调性；（2）存在，，，求证：.2022年新高考数学仿真演练综合能力测试（二）注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：解一元二次不等式，得到集合A,根据集合的交集运算，求得答案.【详解】解不等式得：，故，故，故选：B2．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3答案:A解析：分析：利用复数的除法，将复数表示为一般形式，然后利用复数的实部与虚部相等求出实数的值.【详解】解：因为复数的实部与虚部相等，所以，解得故实数a的值为.故选：A3．已知a，b为正实数，且，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．6答案:D解析：分析：利用基本不等式“1”的妙用求最值.【详解】因为a，b为正实数，且，所以.当且仅当，即时取等号.故选：D4．已知双曲线的右焦点为，在右支上存在点，，使得为正方形（为坐标原点），设该双曲线离心率为，则（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：根据题意得到点的坐标为，代入双曲线的方程，得到，进而得到离心率的方程，即可求解.【详解】由题意，当为正方形时，点的坐标为，代入可得，整理得，即，整理得，即，解得.故选：B.5．下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：先求出内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积.【详解】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r，由等面积法，可得：，解得：，所以其内切圆半径为.由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：.故选：D.6．已知菱形的边长为4，，是的中点，则A．24 B． C． D．答案:D解析：根据平面向量的基本定理,将用基底表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可.【详解】由已知得,,,所以,.因为在菱形中,,所以.又因为菱形的边长为4,所以,所以.故选：D【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.7．甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：根据全概率公式进行求解即可.【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，则有：，所以，故选：B8．已知抛物线，P为直线上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（

）A． B．-1 C． D．-2答案:A解析：分析：设，，利用导数的几何意义可求直线，，进而可得，然后利用数量积的坐标运算结合二次函数的性质即得.【详解】设，.由求导得，则直线，直线，联立方程可得，由P在直线上，得，且，即.因而.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．一组数据，，…，是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则（

）A．平均数变大 B．中位数没变 C．方差变小 D．极差没变答案:BC解析：分析：根据平均数的概念结合等差数列的性质判断A,由中位数的概念可判断B，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断C，根据极差及等差数列的通项公式可判断D.【详解】由题意可知，对于选项A，原数据的平均数为，去掉，后的平均数为即平均数不变，故选项A错误;对于选项B，原数据的中位数为，去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，故选项B正确；对于选项C，设公差为d,则原数据的方差为,去掉，后的方差为，即方差变小，故选项C正确；对于选项D，原数据的极差为，去掉，后的极差为,即极差变小，故选项D错误.故选：BC10．已知数列满足，，则下列结论中正确的是（

）A．B．为等比数列C．D．答案:AD解析：分析：利用递推式可求得的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;【详解】，则，又，同理，故A正确；而，故不是等比数列，B错误；，故C错误；，故D正确，故选：AD11．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递增C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称答案:ABD解析：分析：根据函数的周期性定义判断A，根据复合函数的单调性及三角函数的单调性判断B，取特殊值法可判断C，由的关系可判断D.【详解】由知，A正确；由在上单调递增及复合函数的单调性知，在上单调递增，由在上单调递减，可知在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确；当时，，故函数的最大值取不是，故C错误；关于直线对称，故D正确.故答案为：ABD12．已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则满足条件的实数的可能值有（

）A．-1 B．0 C． D．1答案:AB解析：分析：根据给定条件，可得函数无最小值，再分类探讨函数在内最值情况判断作答.【详解】函数定义域为，因，总使得，则有函数在上没有最小值，对求导得：，当时，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，则当时，取最大值，值域为，在内无最小值，因此，，当时，令，，，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，，显然，即，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，当时，有两个根，不妨令，当或时，，当或时，，即函数在，上都单调递减，在，都单调递增，函数在与处都取得极小值，，不符合题意，当时，，当且仅当时取“=”，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，不符合题意，综上得：实数的取值范围是：，所以满足条件的实数的可能值有-1，0.故选：AB【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．答案:[0，4]解析：分析：命题P为假命题，则为真命题，进而求出a的范围.【详解】根据题意，恒成立，所以.故答案为：.14．的展开式中的系数是，则___________.答案:##0.5解析：分析：利用多项式乘多项式法则，求出展开式中常数项及项即可列式计算作答.【详解】依题意，的展开式中的项是由分别与展开式中常数项及项相乘积的和，因此，的展开式中的项为，即有，解得，所以.故答案为：15．已知函数（）在上单调递增，则的一个取值为________．答案:，答案不唯一解析：分析：化简的表达式，结合在区间的单调性求得的一个取值.【详解】，当时，，，所以在上单调递增，符合题意.故答案为：，答案不唯一16．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱维的体积为，则线段长度的最大值为________．答案:解析：分析：计算出棱锥的高和球的半径，再考虑所在的截面圆的半径后可求线段长度的最大值.【详解】因为球的体积为，故球的半径满足，故，而，，，故，故，故，设到平面的距离为，则，故，故在球面的截面圆上，设截面圆所在的平面为，当与平面在球心的异侧时，有最大值，设球心到平面的距离为，而外接圆的半径为，则，故球心到平面的距离为，故截面圆的半径，设在平面上的投影为，则的轨迹为圆，圆心为的外心即的中点，当最长时最长，此时，故长度的最大值为，故答案为：.【点睛】思路点睛：本题涉及到空间中动点的轨迹，注意根据高为定值确定出动点所在的曲线，再将空间问题平面化，从而解决最值问题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知为等比数列，，，分别是下表第一、二、三行中的数，且，，中的任何两个数都不在下表的同一列，为等差数列，其前项和为，且，．第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求数列，的通项公式；(2)若，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，求数列的前100项的和．答案:(1)，(2)147解析：分析：（1）观察表格易知，，，进而得的通项公式；根据等差数列基本量的运算即可得的通项公式；（2）根据对数的运算以及高斯函数的概念即可得结果.(1)由题意知，，所以等比数列的公比，设等差数列公差为，则，所以，所以，，(2)18．的内角，，所对的边分别为，，.(1)求的大小；(2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.①为的外心，；②为的垂心，；③为的内心，.答案:(1)(2)答案见解析解析：分析：（1）由余弦定理得，，可得根据可得答案；（2）选①，设的外接圆半径为，由正弦定理得，为外心得，与盾，故不能选①.选②，为的垂心得，由，，得，利用，求得，可得出为等边三角形，再由面积公式可得答案.选③，为的内心，所以，由和正弦定理可得，结合，和面积公式可得答案；(1)在中，由余弦定理得，又因为，，所以，整理得.在中，由余弦定理得，所以，即又因为，所以.(2)选①，设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，因为为外心，所以，与盾，故不能选①.选②，因为为的垂心，所以，又，所以在中，，同理可得，又因为，所以，即，又因为在中，，所以，因此，故，为方程两根，即，因为，，所以，所以为等边三角形，所以.选③，因为为的内心，所以，由，得，因为，所以，即，由（1）可得，即，所以，即，又因为，所以，所以.19．如图，四棱锥A-BCDE的底面为等腰梯形，，且，，平面平面ACB.(1)证明：.(2)若，求二面角C-AD-E的大小.答案:(1)证明见解析(2)解析：分析：（1）由面面垂直的性质可得平面ACD.从而证明结论.（2）分别以为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系,利用向量法求解.(1)因为平面平面ACB，且平面平面，，平面ACB，所以平面ACD.又因为平面ACD，所以.(2)分别以为轴，过点作平面的垂线为轴，如图，建立空间直角坐标系，连接BD.由已知条件，易得，，.在△BCD中，由余弦定理可得，所以.在△ACD中，由余弦定理得，所以.因为，所以，，设为平面ADE的法向量，由,得，取，则.又平面ACD的一个法向量为.所以.又面角C-AD-E为钝角，所以二面角C-AD-E为.20．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.月份x12345销售量y（万件）4.95.86.88.310.2该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：.(1)根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；(2)已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.答案:(1)；(2)第9个月的月利润预报值最大解析：分析：（1）根据数据与回归方程的公式进行求解，得到回归方程；（2）结合第一问所求得到关于的函数，通过导函数求出单调区间，极值及最值，求出答案.(1)令，则，，，，所以y关于x的回归方程为；(2)由（1）知：，，令，令得：，令得：，令得：，所以在处取得极大值，也是最大值，所以第9个月的月利润预报值最大.2