2022高二选择性必修第二册题型培优系列学生版（人教版2019A）

目录TOC\o"1-3"\h\u4.1数列的概念 3题型一数列的定义辨析 3题型二根据通项公式写出项 3题型三根据项写出通项公式 4题型四数列的单调性 4题型五数列的分类 5题型六数列的最值 6题型七公式法求通项 64.2.1等差数列的概念 7题型一等差数列的判断 7题型二等差数列的基本量 8题型三等差数列的中项性质 10题型四等差数列的证明 11题型五等差数列的单调性 124.2.2等差数列的前n项和公式 12题型一等差数列基本量计算 12题型二等差数列前n项和与中项性质 13题型三等差数列前n项和的最值 14题型四等差数列前n项和的性质 15题型五含有绝对值的求和 164.3等比数列 17题型一等比数列的判断或证明 17题型二等比数列基本量计算 18题型三等比数列中项性质 19题型四等比数列的前n项和性质 20题型五等比数列的单调性 21题型六等比数列的综合运用 224.4数学归纳法 22题型一增项问题 22题型二等式的证明 24题型三不等式的证明 24题型四数列的证明 25题型五整除问题 264.5利用递推公式求通项公式常用方法 26题型一累加法 26题型二累乘法 27题型三公式法 28题型四构造法 284.6数列求和常用的方法 29题型一裂项相消法 29题型二错位相减法 30题型三分组求和法 31题型四倒序相加法 335.1导数的概念及其意义 33题型一平均变化率 33题型二瞬时速度 35题型三某处的导数 35题型四导数的几何意义及应用 365.2导数的运算 37题型一基本函数的求导 37题型二导数的运算法则 38题型三复合函数的求导 39题型四求导数值 39题型五切线方程 40题型六已知切线方程求参数 425.3.1函数的单调性 43题型一导数与单调性图像问题 43题型二无参单调性区间 44题型三已知单调性求参数 45题型四利用单调性比较大小 47题型五利用单调性解不等式 485.3.2函数的极值与最大（小）值 48题型一极值（点） 49题型二已知极值（点）求参数 49题型三最值 50题型四已知最值求参数 51题型五极值最值综合运用 525.4含参函数单调性的分类讨论 53题型一导函数有一根 53题型二导函数有两根 54题型三导函数利用判别式求根 545.5导数与零点、不等式等综合运用 55题型一零点问题 55题型二不等式证明问题 56题型三恒成立问题 574.1数列的概念题型一数列的定义辨析【例1】（1）（2021·全国高二专题练习）下列有关数列的说法正确的是（）①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列；②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列；③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一；④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*.A．①④ B．②③ C．③ D．①②（2）（2021·全国高二课时练习）有下列说法：①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，是同一数列；④数列0，1，0，1，是常数列．其中说法正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型二根据通项公式写出项【例2】（1）（2021·全国高二课时练习）已知数列，则是这个数列的（）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项（2）（2021·全国高二专题练习）已知数列－1，，－，…，(－1)n.，…，则它的第5项的值为（）A． B．－ C． D．－【题型专练】1．（2021·全国高二专题练习）已知数列{an}的通项公式，则a2a3的值是（）A．70 B．28 C．20 D．162．（2021·全国高二课时练习）在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，…中，x的值是（）A．19 B．20 C．21 D．223（2021·全国高二单元测试）函数的正数零点从小到大构成数列，则（）A． B． C． D．4．（2021·辽宁锦州·高二期中）数列的第10项是（）A． B． C． D．题型三根据项写出通项公式【例3】（2021·甘肃兰州·兰大附中（文））已知，，，，则数列的一个通项公式为（）A． B． C． D．【题型专练】1．（2021·全国）数列，3，，15，…的一个通项公式可以是（）A． B．C． D．2．（2021·全国）已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（）A． B．C． D．3．（2021·全国高二课时练习）（多选）一个无穷数列{an}的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是（）A．B．C．D．题型四数列的单调性【例4】（1）（2021·海南）（多选）满足下列条件的数列是递增数列的为（）A． B． C． D．（2）（2021·河南高二月考）已知数列满足且数列是单调递增数列，则的取值范围是（）A． B． C． D．【题型专练】1．（2021·全国高二期末）已知数列的通项公式是，那么这个数列是（）A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数列2．（2021·全国高二专题练习）（多选）已知数列的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的值可能为（）A． B．0 C．1 D．23（2021·全国高二单元测试）设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则实数的范围为_______．题型五数列的分类【例5】（1）（2021·全国高二课时练习）下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）A．… B．…C．… D．（2）（2021·全国高二专题练习）给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列，，，，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….其中，有穷数列是________，无穷数列是_______，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．【题型专练】1（2021·全国高二课时练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，2．（2021·全国高二专题练习）给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1000；③8，8，8，8，…；④.其中，有穷数列为______；无穷数列为______；递增数列为______；递减数列为_____；摆动数列为_____；常数列为______．(填序号)题型六数列的最值【例6】（1）（2021·全国高二专题练习）数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．（2）（2021·全国高二课时练习）已知，则数列的最大项的值为____【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（）A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项2．（2021·全国高二专题练习）数列中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是（）A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a44 D．a45，a503．（2021·全国）已知数列满足，则的最小值是（）A． B． C．1 D．24．（2021·上海市进才中学高二月考）已知数列的通项公式为，且为严格单调递增数列，则实数的取值范围是___________题型七公式法求通项【例7】（1）（2021·全国高二专题练习）已知数列{an}的前n项和Sn＝n，则数列{an}的通项公式an＝________.（2）（2021·河南信阳高中高二月考（文））已知数列的前n项和为，则=___________.（3）（2021·全国高二单元测试）若数列,其前n项的积为，则_____________.【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝3×2n－3，其中n∈N*.求数列{an}的通项公式．2．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}满足，求数列{an}的通项公式．（2021·全国高二专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求数列{an}的通项公式4.2.1等差数列的概念题型一等差数列的判断【例1】（1）（2021·全国高二课时练习）（多选）下列数列是等差数列的是（）A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…（2）（2021·辽宁抚顺·高二期末）（多选）下列说法错误的有（）A．若，，成等差数列，则，，成等差数列B．若，，成等差数列，则，，成等差数列C．若，，成等差数列，则，，成等差数列D．若，，成等差数列，则，，成等差数列【题型专练】1．（2021·全国高二专题练习）（多选）下列数列中，是等差数列的是（）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，22．（2021·全国高二课时练习）如果一个数列的前5项分别是1，2，3，4，5，则下列说法正确的是（）A．该数列一定是等差数列 B．该数列一定不是等差数列C．该数列不一定是等差数列 D．以上结论都不正确3．（2021·全国高二专题练习）判断下列数列是否为等差数列．（1）在数列{an}中an＝3n＋2；（2）在数列{an}中an＝n2＋n.题型二等差数列的基本量【例2-1】（2021·全国高二专题练习）等差数列中，（1）已知，，求的值；（2）若，，，求的值．【例2-2】（2021·全国高二课时练习）已知等差数列：3，7，11，15，….（1）求的通项公式.（2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？（3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？【题型专练】1．（2021·全国高二专题练习）2000是等差数列4，6，8，…的（）A．第998项 B．第999项 C．第1001项 D．第1000项2．（2021·全国）已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为（）A．－6 B．6 C．0 D．103．（2021·苏州市苏州高新区第一中学）在等差数列中，（1）若，，试判断91是否为此数列中的项.（2）若，，求.4．（2021·全国高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为.（1）若，，求的值；（2）若，，求公差.5．（2021·全国高二课时练习）已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．6．（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{an}中满足a1＝1，，求通项公式an.题型三等差数列的中项性质【例3】（1）（2021·全国高二课时练习）已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为（）A． B． C． D．（2）（2021·全国）在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（）A．5 B．8 C．10 D．14（3）2021·辽宁阜新·高二期末）在等差数列中，，则的值为（）A．6 B．12C．24 D．48【题型专练】1．（2021·全国）已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（）A．12 B．8 C．6 D．42．（2021·全国高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（）A．8 B．6 C． D．33（2021·全国）在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（）A．30 B．27 C．24 D．21题型四等差数列的证明【例4】（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)．（1）求证：是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．【题型专练】1．（2021·全国高二专题练习）在数列{an}中，a1＝0，当n≥2时，＝.求证：数列{an}是等差数列．2．（2021·全国高二专题练习）已知数列满足：，，设，求证：数列为等差数列，并求的通项公式．3．（2021·全国高二课时练习）已知数列的通项公式．（1）当和满足什么条件时，数列是等差数列？（2）求证：对任意实数和，数列是等差数列．题型五等差数列的单调性【例5】（1）（2021·河北邢台·高三月考）在等差数列中，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．（2）（2021·全国高二课时练习）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0（3）．（2021·全国高二课时练习）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d【题型专练】1．（2021·辽宁丹东·）已知等差数列的公差为，若为递增数列，则（）A． B． C． D．2．（2021·全国高二课时练习）（多选）已知等差数列满足，且，则（）A． B．C． D．3．（2021·全国高二课时练习）已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于A．-4 B．-3 C．-2 D．-14（2021·全国高二课时练习）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________4.2.2等差数列的前n项和公式题型一等差数列基本量计算【例1】（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{an}中，（1），，求及；（2），求.【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）在等差数列中．（1），，，求和；（2），，求和；（3）已知，，，求和.（4）已知，，，求.2．（2021·全国高二专题练习）已知等差数列{an}中，（1），，求；（2），，，求d.3．（2021·全国）已知是等差数列，是其前项和.（1）若，，求与；（2）若，，，求项数.题型二等差数列前n项和与中项性质【例2】（1）（2021·全国高二课时练习）在等差数列{an}中，若S10=120，则a1+a10的值是（）A．12 B．24C．36 D．48（2）（2021·全国高二专题练习）设是等差数列的前项和，，，已知，则的值为A．18 B．19 C．20 D．21【题型专练】1．（2021·湖南高二学业考试）等差数列中，，则的前9项和等于（）A．-18 B．27 C．18 D．-272．（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{an}中，，且an<0，则S10为（）A．-9 B．-11C．-13 D．-153．（2021·六盘山高级中学高二月考（理））设等差数列的前项和为若是方程的两根，则（）A． B． C． D．4．（2021·全国高二课时练习）已知等差数列的前项和为．若，且，，则（）A．38 B．20 C．10 D．95．（2021·广东潮阳·高二期末）已知等差数列的前项和为，，若，且，则的值为（）A．7 B．8 C．14 D．16题型三等差数列前n项和的最值【例3】（1）（2021·全国高二课时练习）已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18（2）（2021·全国高二课时练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11-a8=3，S11-S8=3，则使an>0的最小正整数n的值是（）A．8 B．9 C．10 D．11（3）（2021·全国高二单元测试）在等差数列{an}中，a8＞0，a4+a10＜0，则数列{an}的前n项和Sn中最小的是（）A．S4 B．S5 C．S6 D．S7【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）已知{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5，当{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．112．（2021·全国高二专题练习）已知为等差数列的前项和，，，则取最小值时，的值为A．11 B．12 C．13 D．143．（2021·全国高二专题练习）数列的前项和，则当时，下列不等式成立的是（）A． B．C． D．4（2021·全国高二专题练习）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是A．18 B．19 C．20 D．215．（2021·全国高二专题练习）已知等差数列{an}的前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则Sn的最大值是（）A．S1 B．S7C．S8 D．S15题型四等差数列前n项和的性质【例4】（1）（2021·河南高二月考）记等差数列的前项和为，已知，，则（）A． B． C． D．（2）（2021·全国高二专题练习）等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有＝，则等于（）A． B． C． D．（3）（2021·全国高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【题型专练】1（2021·全国高二专题练习）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（）A．1 B．－1 C．2 D．2．（2021·河南高二月考）记等差数列与的前项和分别为和，若，则（）A． B． C． D．3．（2021·云南省楚雄天人中学高二月考（理））等差数列中，表示其前n项和，若，，则（）A．-80 B．120 C．30 D．1114．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知等差数列的前项和为，且，，则（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021·辽宁抚顺·高二期末）设是等差数列的前项和，若，则（）A．2 B． C．1 D．0.5题型五含有绝对值的求和【例5】（2021·全国高二专题练习）若数列的前n项和是，则________.【题型专练】1．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）（多选）已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（）A．若，，则是数列中绝对值最小的项B．若，则C．若，，则D．若，，则2．（2021·全国高二专题练习）已知等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．3．（2021·河南高二月考）已知数列满足，，.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和4.3等比数列题型一等比数列的判断或证明【例1-1】（2021·全国高二专题练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（）A．q，2q，4q，6qB．q，q2，q3，q4C．q，2q，4q，8qD．，，，【例1-2】（2021·全国高二课时练习）已知数列满足，，且，设，求证是等比数列【题型专练】1（2021·全国高二课时练习）若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）．A． B． C． D．2．（2021·全国高二课时练习）设数列为公比不为的等比数列，则下面四个数列：①；②(为非零常数)；③；④其中是等比数列的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2021·玉溪第二中学高二月考（理））已知数列，，，.（1）求证：是等比数列；（2）设（），求数列的前项和.4．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．（1）求证：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．题型二等比数列基本量计算【例2-1】（1）（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}成等比数列．若a2＝4，a5＝－，则数列{an}的通项公式是______．（2）（2021·全国高二课时练习）在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．【例2-2】（2021·全国）在等比数列中，（1）若，，，求和；（2）若，，求和；（3）若，，求和公比.【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）在等比数列{an}中，a1=8，a4=64，则a3等于（）A．16 B．16或-16C．32 D．32或-322（2021·全国高二专题练习）在等比数列{an}中.（1）S2＝30，S3＝155，求Sn；（2）a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；（3）a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.题型三等比数列中项性质【例3】（1）（2021·鄂尔多斯市第一中学高二月考（文））已知等比数列的公比为正数，若，则（）A． B． C． D．（2）（2021·全国高二课时练习）在等比数列中，，且，则等于（）A． B． C． D．【题型专练】1．（2021·全国高二专题练习）在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于（）A．5 B．±5C．4 D．±42．（2021·全国高二课时练习）如果，，，，成等比数列，那么（）A．， B．，C．， D．，3．（2021·全国高二课时练习）已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于（）A．2 B．4 C．8 D．164．（2021·全国高二课时练习）设各项为正数的等比数列中，公比，且，则()A． B． C． D．5．（2021·北京市延庆区教育科学研究中心）“”是“，，，成等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型四等比数列的前n项和性质【例4】（1）（2021·全国）数列为各项都是正数的等比数列，为前项和，且，，那么（）A．150 B．-200 C．150或-200 D．400或-50（2）（2021·全国高二课时练习）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5 B．7 C．9 D．11（3）（2021·全国）在等比数列中，已知前n项和=，则的值为A．－1 B．1 C．－5 D．5【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）设Sn是等比数列{an}的前n项和，，则等于（）A． B． C． D．2．（2021·全国高二课时练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（）A． B． C． D．3．（2021·全国高二课时练习）已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是A． B． C． D．4．（2021·全国高二课时练习）等比数列的前项和，则的值为（）A．3 B．1 C． D．题型五等比数列的单调性【例5】（2021·全国高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为【题型专练】1．（2021·全国高二单元测试）（多选题）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，下列结论正确的是（）A．S2019<S2020 B．C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值2．（2021·全国高二课时练习）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足下面条件，，，.给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④成立最大的自然数等于198.其中正确的结论是__________..3．（2021·全国高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.（2021·全国高二课时练习）已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________．题型六等比数列的综合运用【例6】（2021·绥德中学高二月考（理））我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”那么，此人第天和第天共走路程是（）A．里 B．里 C．里 D．里【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意是：有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走7天，共走了700里路.若该马按此规律继续行走7天，则它14天内所走的总路程为（）里.A．950 B．1055 C．1164 D．2．（2021·全国高二专题练习）（多选）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（）A．此人第二天走了九十六里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第三天走的路程占全程的D．此人后三天共走了42里路4.4数学归纳法题型一增项问题【例1】（1）（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（）A． B．C． D．（2）（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明不等式(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了两项，，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项【题型专练】1．（2021·全国）（多选）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（）A．过程全部正确 B．时证明正确C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确2．（2021·全国）（多选）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（）A．若对成立，则对所有正整数都成立B．若对成立，则对所有正偶数都成立C．若对成立，则对所有正奇数都成立D．若对成立，则对所有自然数都成立3．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明“当n∈N+时，1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”，当n=1时，原式为___________，从k到k+1时需增添的项是___________.4．（2021·全国）用数学归纳法证明关于n的不等式(n∈N+)，由n=k递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为________.5．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.6．（2021·全国高二专题练习）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．题型二等式的证明【例2】（2021·全国高二专题练习）已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．【题型专练】1．（2021·全国高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.2．（2021·全国）用数学归纳法证明：，其中.题型三不等式的证明【例3】（2021·全国）求证：.【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明：.2．（2021·浙江）已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立．题型四数列的证明【例4】（2021·陕西武功·高二期中）数列中，表示前n项和，且成等差数列．（1）计算的值；（2）根据以上计算结果猜测的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．2．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．（1）计算a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．3（2021·全国）设数列的前n项和为，且.(1)计算，，，，并猜想；(2)用数学归纳法证明你的猜想.题型五整除问题【例5】（2021·全国）证明：当时，能被64整除.【题型专练】1．（2021·全国）用数学归纳法证明：能被整除.2．（2021·全国）证明：能够被6整除4.5利用递推公式求通项公式常用方法题型一累加法【例1】（2021·六盘山高级中学高二月考（文））数列满足，且，则数列的通项公式为（）A． B．C． D．【题型专练】1．（2021·贵港市覃塘区覃塘高级中学）已知数列{an}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为A． B． C．an=n+2 D．an=（n+2）·3n2．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求数列{an}的通项公式．3．（2021·云南玉溪）已知数列为等比数列，且，．（1）求；（2）若，且，求．题型二累乘法【例2】（2021·河南）已知数列满足，(，)，则数列的通项（）A． B．C． D．【题型专练】1．（2021·辽宁大连二十四中高二期中）已知，，则数列的通项公式是（）A． B．C． D．2．（2021·全国高二课时练习）在数列中，，则___________.3．（2021·全国高二课时练习）在数列中，，，则数列的前项和______．题型三公式法【例3】（2021·全国高二课时练习）已知数列的前项和，则等于()A． B．C． D．【题型专练】1．（2021·重庆北碚·西南大学附中）已知数列的前项和为，且满足，则数列的通项公式_________．2．（2021·宁夏银川一）数列的前项和记为，若，则数列通项公式为___________.3．（2021·全国高三专题练习）数列的前项和为，已知，，则___．题型四构造法【例4】（1）（2021·六盘山高级中学高二月考（文））已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．（2）（2021·江西省彭泽县第一中学高二月考（文））设数列的前n项和为，，，则___________.【题型专练】1．（2021·宁夏大学附属中学）已知数列满足，则__________.2．（2021·广西柳州·柳铁一中高三月考（文））设数列an前n项和为Sn，若a1＝1，，则_____．3．（2021·全国高二专题练习）在数列中，已知，求数列的通项公式4.6数列求和常用的方法题型一裂项相消法【例1】（2021·全国高二课时练习）数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1＋S4＝0，b9＝a1.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝，求数列{cn}的前n项和Wn.【题型专练】1．（2021·全国）已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．2（2021·六盘山高级中学高二月考（文））已知数列的各项均为正数，其前项和满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）设数列，求数列的前项和．3．（2021·内蒙古集宁一中（文））等差数列中，，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.题型二错位相减法【例2】（2021·六盘山高级中学高二月考）设等差数列中，，各项均为正数的数列的前项为，已知点在函数的图像上，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为．【题型专练】1．（2021·四川阆中中学）已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.2．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知①；②；③，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.设正项等比数列的前项和为，数列的前项和为，，，对都有成立.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.3．（2021·黑龙江道里·哈尔滨三中高二月考）已知数列满足，，设.（1）证明：为等差数列；（2）求数列的前项和.题型三分组求和法【例3-1】（2021·河南新郑·高二月考（文））已知数列，且，，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.【例3-2】（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{an}前n项和为Sn，，.（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）设，求{bn}前n项和Tn.【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.（1）求通项公式an；（2）求数列{|an－n－2|}的前n项和.2．（2021·江苏姑苏·苏州中学高二月考）已知数列是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．3．（2021·全国高二单元测试）已知数列的前n项和为，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）求.4．（2021·全国高二单元测试）等差数列{an}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn＝bn+，求数列{cn}的前n项和Tn．题型四倒序相加法【例4】（2021·全国高二课时练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（）A．100 B．105 C．110 D．115【题型专练】1．（2021·新余市第一中学高二月考）已知函数，数列满足，则（）A．2018 B．2019 C．4036 D．40382．（2021·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（）.A．25 B．26 C．13 D．3．（2021·河南南阳中学高二月考）已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．5.1导数的概念及其意义题型一平均变化率【例1】（2021·全国高二课时练习）下表为某大型超市一个月的销售收入情况表，则本月销售收入的平均增长率为（）日期51015202530销售收入(万元)204090160275437.5A．一样 B．越来越大 C．越来越小 D．无法确定【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（）A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定2．（2021·全国高二课时练习）函数f(x)＝2x在x＝1附近(即从1到1＋Δx之间)的平均变化率是（）A．2＋Δx B．2－Δx C．2 D．(Δx)2＋23．（2021·全国高一课时练习）对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（）A．① B．② C．③ D．④4．（2021·全国）某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是，假设（）恒成立，且，，则说明后10天与前10天比（）A．公司亏损且亏损幅度变大B．公司的盈利增加，增加的幅度变大C．公司亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利增加，增加的幅度变小5（2021·全国高二课时练习）在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度(单位：弧度)由函数φ(t)＝4t－0.3t2(单位：秒)给出.（1）求t＝2秒时，P点转过的角度；（2）求在2≤t≤2＋Δt时间段内P点转过的平均角速度，其中①Δt＝1，②Δt＝0.1，③Δt＝0.01.题型二瞬时速度【例2】（2021·全国高二课时练习）一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为（）A．4 B．5 C．6 D．7【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是（）A．－3 B．3 C．6 D．－62．（2021·全国高二课时练习）已知某物体的运动方程是（的单位：，的单位：），则当时的瞬时速度为（）A． B．C． D．3．（2021·全国高二课时练习）一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2.（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t＝2时的瞬时速度；（3）求t＝0到t＝2之间的平均速度．题型三某处的导数【例3】（2021·全国高二课时练习）（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（）A． B．C． D．【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（）A．与x0有关 B．与h有关C．与x0无关 D．与h无关2．（2021·阜康市第一中学高二期中（文））已知函数在处的导数为，则等于（）A． B． C． D．3（2021·全国（理））已知函数的导函数为，且，则实数的值为（）A． B． C． D．4．（2021·全国高二课时练习）已知函数，且，则的值为（）A． B．2 C． D．题型四导数的几何意义及应用【例4】（1）（2021·全国高二课时练习）曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－1，1)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)（2）（2021·全国高二课时练习）曲线y＝x2－2在点x＝1处的切线的倾斜角为（）A．30° B．45° C．135° D．165°【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（）A．30° B．45°C．135° D．165°2．（2021·全国高二课时练习）设为可导函数，且满足，则为（）A．1 B．C．2 D．3（2021·全国高二课时练习）已知函数f(x)可导，且满足，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为（）A．－1 B．－2 C．1 D．24．（2021·阜康市第一中学高二期中（文））曲线在点（1，1）处的斜率为（）A．3 B． C．2 D．5.2导数的运算题型一基本函数的求导【例1】．（2021·全国）求下列函数的导数：（1）y＝x12；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝3x；（5）y＝log5x.【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）给出下列结论：①＝－sin＝－；②若y＝，则y′＝－2x－3；③若f(x)＝3x，则[f′（1）]′＝3；④若，则.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y=x-3；（2）y=3x；（3）y=log5x；（4）；（5）；（6）y=lnx；（7）y=ex.3．（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.题型二导数的运算法则【例2】（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y＝x4－3x2－5x＋6；（2）y＝x·tanx；（3）y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；（4）y＝.【题型专练】1（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）．2．（2021·全国高二课时练习）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5).3（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)f(x)=+．题型三复合函数的求导【例3】80．（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝；（3）y＝sin(－2x＋)；（4）y＝102x＋3.【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y＝(2x＋1)5；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝x·；（5）y＝lg(2x2＋3x＋1)；（6）y＝.2．（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）（4）；（5）．题型四求导数值【例4】（1）（2021·全国高二专题练习）已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)＝（）A．－3 B．2e C． D．（2）（2021·全国高二课时练习）若函数f(x)＝x3－f′（1）·x2＋2x＋5，则f′（2）＝________．【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）已知函数的导函数为，且满足，则（）A． B． C． D．2．（2021·宜昌英杰学校高二月考）函数的导函数，满足关系式，则的值为（）A． B． C． D．3．（2021·涟水县第一中学）设函数，则=（）A．0 B． C． D．以上均不正确4．（2021·全国高二课时练习）已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.5．（2021·全国高二课时练习）已知函数，，则满足的的值为______．题型五切线方程【例5】（1）（2021·全国高二课时练习）曲线在处切线的斜率为（）A．2 B．C． D．（2）（2021·全国高二课时练习）曲线的倾斜角为的切线的切点坐标为（）A． B．C． D．（3）（2021·全国高二课时练习）（多选）曲线在点处的切线与其平行直线的距离为，则直线的方程可能为（）A． B．C． D．（4）（2021·全国高二课时练习）(多选题)过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程为（）A．3x＋y＝0 B．24x－y－54＝0C．3x－y＝0 D．24x－y＋54＝0【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）函数的斜率等于的切线有（）A．条 B．条C．条 D．不确定2（2021·重庆万州纯阳中学校高二月考）（多选）已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为（）A． B． C． D．3．（2021·河北邢台·）（多选）过点且与曲线相切的切线斜率可能为（）A．0 B． C． D．14．（2021·全国高二课时练习）曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程是______________.5．（2021·安顺市第三高级中学（理））已知.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过原点的切线方程.题型六已知切线方程求参数【例6】（1）（2021·全国高二课时练习）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A． B． C． D．（2）（2021·全国高二课时练习）设直线y＝x＋b－1是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为（）A．1－ln2 B．ln2 C．ln2 D．2【题型专练】1．（2021·安徽滁州·高二期中（文））已知曲线在处的切线与直线平行，则（）A． B．1 C．2 D．02．（2021·全国高二课时练习）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（）A．1 B． C． D．23．（2021·新余市第一中学（文））直线是曲线的切线，则它的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，则曲线过点的切线有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．35.3.1函数的单调性题型一导数与单调性图像问题【例1】（2021·全国高二课时练习）是函数y＝f(x)的导函数，若y＝的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是（）A． B．C． D．【题型专练】1（2021·全国高二课时练习）函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是（）A．B．C． D．2．（2021·全国高二课时练习）如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2021·西藏日喀则区南木林高级中学）如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（）A．函数在区间上是减函数B．函数在区间上是减函数C．函数在区间上是减函数D．函数在区间上是单调函数题型二无参单调性区间【例2】（2021·全国高二课时练习）求下列函数的单调区间.（1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋.（3）3；（4）y＝ln(2x＋3)＋x2.【题型专练】1（2021·全国高二单元测试）设为实数，函数，且是偶函数，则的单调递增区间为（）A． B．，C． D．2．（2021·全国高二课时练习）函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是（）A．先增后减 B．先减后增C．单调递增 D．单调递减3．（2021·绥德中学高二月考（理））若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为（）A． B．C． D．，4．（2021·全国）求下列函数的单调区间（1）f(x)＝；（2）y＝x2－lnx．（3）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；（4）f(x)＝sinx－x(0<x<π)．（5）；（6）．题型三已知单调性求参数【例3-1】（2021·河南高二期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【例3-2】（2021·全国高二单元测试）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（）A． B．C． D．【题型专练】1．（2021·重庆市广益中学校高二月考）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．2．（2021·山西运城·高二期中（理））已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．3．（2021·宁夏大学附属中学高二月考）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．4．（2021·江苏金湖·高二月考）函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．5．（2021·全国高二课时练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．不存在这样的实数题型四利用单调性比较大小【例4】（1）（2021·全国高二单元测试）已知奇函数f（x）的导函数为，当x≠0时，x+f（x）＞0，若a＝f，b＝﹣ef（﹣e），c＝f（1），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b（2）（2021·全国高二单元测试）函数，当时，下列式子大小关系正确的是（）A． B．C． D．【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）设函数，则（）A． B．C． D．以上都不正确2．（2021·全国高二课时练习）(多选题)已知函数f(x)的导函数为，且，对任意的x∈R恒成立，则（）A．f(ln2)<2f(0) B．f(2)<e2f(0)C．f(ln2)>2f(0) D．f(2)>e2f(0)3．（2021·全国高二课时练习）(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A．f(b)>f(a) B．f(d)>f(e)C．f(a)>f(d) D．f(c)>f(e)4．（2021·全国高二课时练习）(多选题)已知定义在上的函数f(x)的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（）A． B．C． D．题型五利用单调性解不等式【例5】（2021·全国高二课时练习）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【题型专练】1．（2021·全国高二单元测试）定义域为R的函数且，且的导函数，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2021·全国高二单元测试）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．3．（2021·广西蒙山中学高二月考（理））已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20，且f(x)的导函数满足，则不等式f(x)>2x3+2x的解集为（）A．{x|x>-2} B．{x|x>2} C．{x|x<2} D．{x|x<-2或x>2}4．（2021·山东任城·）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．5（2021·全国高二课时练习）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（）A．，B．，C．，D．，5.3.2函数的极值与最大（小）值题型一极值（点）【例1】（2021·全国高二课时练习）求下列函数的极值：（1）f(x)＝x3－x2－3x；（2）f(x)＝x4－4x3＋5；（3）f(x)＝.【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）求下列函数的极值：（1）；（2）(3)；(4).题型二已知极值（点）求参数【例2】（1）（2021·全国高二单元测试）若函数在处取得极值，则（）A．2 B．3 C．4 D．5（2）（2021·全国高二课时练习）已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）函数，则（）A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点2．（2021·全国高二课时练习）函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2021·全国高二课时练习）已知有极大值和极小值，则的取值范围为（）A． B．C． D．4．（2021·全国高二课时练习）已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．（2021·全国高二课时练习）已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.题型三最值【例3】（2021·全国）求下列各函数的最值：（1）f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；（2）f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].【题型专练】1．（2021·全国高二课时练习）函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是（）A．当x＝时，f(x)取最大值 B．当x＝时，f(x)取最小值C．当x＝－时，f(x)取最大值 D．当x＝－时，f(x)取最小值2．（2021·全国高二专题练习）函数在上的最大值是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，3．（2021·全国高二课时练习）求下列各函数的最值.（1）f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；（2）f(x)＝x＋sin