2024年高考数学大一轮(人教A版文)第四章4.8　正弦定理、余弦定理复习讲义(学生版+解析)

§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝______＝______＝2Ra2＝______________；b2＝________________；c2＝________________变形(1)a＝2RsinA，b＝________，c＝________；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝________，sinC＝________；(3)a∶b∶c＝______________cosA＝____________；cosB＝____________；cosC＝____________2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝________________＝______________＝________________；(3)S＝________________________(r为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面积S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．()教材改编题1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于()A．8B．4C.eq\f(8\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，则C＝________.题型一利用正弦定理解三角形例1(1)在△ABC中，若AB＝eq\r(2)，B＝eq\f(2π,3)，C＝eq\f(π,4)，则AC等于()A.eq\r(3) B．3eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝eq\f(\r(6),2)，A＝45°，则C等于()A．30° B．60°C．120° D．60°或120°听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究若将本例(2)条件变为“a＝eq\r(6)，A＝60°，c＝2”，求C.思维升华利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角.跟踪训练1(1)已知在△ABC中，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，则c等于()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．均不正确(2)(2023·兰州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b＝2，c＝eq\r(3)，且eq\r(3)asinB＋bcosA＝b，则△ABC的面积为________．题型二利用余弦定理解三角形例2(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则A＋B的大小为()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,6)(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos(B＋C)＝eq\f(1,4)，a＝4，b＝2则c等于()A．3B．2eq\r(3)C.eq\r(15)D．4听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．跟踪训练2(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝eq\f(π,3)，a＝3，b＝eq\r(3)，则c等于()A.eq\r(3)B．3－eq\r(3)C．3D．2eq\r(3)(2)(2022·攀枝花模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋c)2－b2，则cosB的值是()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)题型三三角形的形状判断例3(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acosB，则△ABC的形状一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰三角形(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究将本例(2)中的条件“eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)”改为“eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．跟踪训练3(1)(2023·拉萨模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()A．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形B．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等边三角形C．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC一定是等边三角形D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形(2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．钝角三角形§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面积S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(√)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(×)教材改编题1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)答案C解析在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋25－49,30)＝－eq\f(1,2)，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝eq\f(2π,3).2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于()A．8B．4C.eq\f(8\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)答案A解析由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2c×eq\f(1,2)＝4，得c＝8.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，则C＝________.答案45°或135°解析由正弦定理得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(2sin30°,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°.题型一利用正弦定理解三角形例1(1)在△ABC中，若AB＝eq\r(2)，B＝eq\f(2π,3)，C＝eq\f(π,4)，则AC等于()A.eq\r(3)B．3eq\r(2)C．2eq\r(3)D．3eq\r(3)答案A解析由正弦定理可得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，即eq\f(AC,sin

\f(2π,3))＝eq\f(\r(2),sin

\f(π,4))，解得AC＝eq\r(3).(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝eq\f(\r(6),2)，A＝45°，则C等于()A．30°B．60°C．120°D．60°或120°答案D解析因为a＝1，c＝eq\f(\r(6),2)，A＝45°，所以由正弦定理可得sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\f(\r(6),2)×\f(\r(2),2),1)＝eq\f(\r(3),2)，又因为0<C<π，c>a，A＝45°，所以C＝60°或120°.延伸探究若将本例(2)条件变为“a＝eq\r(6)，A＝60°，c＝2”，求C.解在△ABC中，a＝eq\r(6)，A＝60°，c＝2，由正弦定理得sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，因为c<a，所以C<A，C＝45°.思维升华利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角.跟踪训练1(1)已知在△ABC中，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，则c等于()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．均不正确答案C解析方法一∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(15),\r(5))·sin30°＝eq\f(\r(3),2).∵b>a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，则C＝90°，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(5).若B＝120°，则C＝30°，∴c＝a＝eq\r(5).方法二根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA，即c2－3eq\r(5)c＋10＝0，解得c＝eq\r(5)或2eq\r(5).(2)(2023·兰州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b＝2，c＝eq\r(3)，且eq\r(3)asinB＋bcosA＝b，则△ABC的面积为________．答案eq\f(3,2)解析∵eq\r(3)asinB＋bcosA＝b，∴由正弦定理得eq\r(3)sinAsinB＋sinBcosA＝sinB，∵0<B<π，∴sinB≠0，∴eq\r(3)sinA＋cosA＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，∵0<A<π，∴A＝eq\f(2π,3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2).题型二利用余弦定理解三角形例2(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则A＋B的大小为()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,6)答案C解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab得a2＋b2－c2＝－ab，所以由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，又0<C<π，所以C＝eq\f(2π,3)，所以A＋B＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos(B＋C)＝eq\f(1,4)，a＝4，b＝2则c等于()A．3B．2eq\r(3)C.eq\r(15)D．4答案A解析因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cosA＝eq\f(1,4)，即cosA＝－eq\f(1,4)，由余弦定理可知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，即－eq\f(1,4)＝eq\f(4＋c2－16,4c)，解得c＝－4(舍去)或c＝3，所以c＝3.思维升华利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．跟踪训练2(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝eq\f(π,3)，a＝3，b＝eq\r(3)，则c等于()A.eq\r(3)B．3－eq\r(3)C．3D．2eq\r(3)答案D解析在△ABC中，因为A＝eq\f(π,3)，a＝3，b＝eq\r(3)，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得9＝3＋c2－2eq\r(3)c×cos

eq\f(π,3)＝3＋c2－eq\r(3)c，即c2－eq\r(3)c－6＝0，解得c＝2eq\r(3)或c＝－eq\r(3)(舍去)．(2)(2022·攀枝花模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋c)2－b2，则cosB的值是()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案B解析因为2S＝(a＋c)2－b2，所以acsinB＝a2＋c2－b2＋2ac，即acsinB＝2accosB＋2ac，即sinB－2cosB＝2，又sin2B＋cos2B＝1，则(2cosB＋2)2＋cos2B＝1，(5cosB＋3)(cosB＋1)＝0，解得cosB＝－1(舍)或cosB＝－eq\f(3,5).题型三三角形的形状判断例3(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acosB，则△ABC的形状一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰三角形答案D解析由余弦定理可得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，故c＝2acosB＝2a×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－b2,c)，即c2＝a2＋c2－b2，故a2＝b2，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形．(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案A解析由cosB＝1－2sin2eq\f(B,2)，得sin2eq\f(B,2)＝eq\f(1－cosB,2)，所以eq\f(c－a,2c)＝eq\f(1－cosB,2)，即cosB＝eq\f(a,c).方法一由余弦定理得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．方法二由正弦定理得cosB＝eq\f(sinA,sinC)，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为△ABC的内角，所以C＝eq\f(π,2)，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．延伸探究将本例(2)中的条件“eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)”改为“eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．解因为eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，所以由正弦定理得eq\f(a,b)＝eq\f(a,c)，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以△ABC是等边三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．跟踪训练3(1)(2023·拉萨模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()A．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形B．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等边三角形C．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC一定是等边三角形D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形答案C解析对于A，若acosA＝bcosB，则由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若bcosC＋ccosB＝b，则由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sinB，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B错误；对于C，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则由正弦定理得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，则tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．(2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．钝角三角形答案C解析∵a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)，由2cosAsinB＝sinC及正弦定理得，cosA＝eq\f(sinC,2sinB)⇒eq\f(c2＋b2－a2,2bc)＝eq\f(c,2b)，∴b2＝a2，即b＝a，又C＝eq\f(π,3)，故该三角形为等边三角形．课时精练1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sinA＝6sinB，则c等于()A.eq\r(35)B.eq\r(31)C．6D．5答案B解析因为sinA＝6sinB，则由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝62＋12－2×6×1×eq\f(1,2)，解得c＝eq\r(31).2．(2023·济南质检)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，cos2A＝－eq\f(7,25)，则△ABC外接圆的半径为()A．5B．3C.eq\f(5,2)D.eq\f(3,2)答案C解析因为cos2A＝－eq\f(7,25)，所以1－2sin2A＝－eq\f(7,25)，解得sinA＝±eq\f(4,5)，因为A∈(0，π)，所以sinA＝eq\f(4,5)，又a＝4，所以2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(4,\f(4,5))＝5，所以R＝eq\f(5,2).3．(2023·宝鸡模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若eq\r(3)asinB＝bcosA，且b＝2eq\r(3)，c＝2，则a的值为()A．2eq\r(7)B．2C．2eq\r(3)－2D．1答案B解析由已知及正弦定理得，eq\r(3)sinAsinB＝sinBcosA且sinB≠0，可得tanA＝eq\f(\r(3),3)，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,6)，又b＝2eq\r(3)，c＝2，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝16－12＝4，解得a＝2.4．(2023·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于()A.eq\f(2\r(39),3) B.eq\f(26\r(3),3)C.eq\f(8\r(3),3) D．2eq\r(3)答案A解析由三角形的面积公式可得S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)c＝eq\r(3)，解得c＝4，由余弦定理可得a＝eq\r(b2＋c2－2bccosA)＝eq\r(13)，设△ABC的外接圆半径为r，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2r，所以eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(2rsinA＋sinB＋sinC,sinA＋sinB＋sinC)＝2r＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(39),3).5．(2023·呼和浩特模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB＋sinC)2＝sin2A＋(2－eq\r(2))sinBsinC，eq\r(2)sinA－2sinB＝0，则sinC等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4) D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)答案C解析在△ABC中，由(sinB＋sinC)2＝sin2A＋(2－eq\r(2))sinBsinC及正弦定理得(b＋c)2＝a2＋(2－eq\r(2))bc，即b2＋c2－a2＝－eq\r(2)bc，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(\r(2),2)，而0°<A<180°，解得A＝135°，由eq\r(2)sinA－2sinB＝0得sinB＝eq\f(\r(2),2)sinA＝eq\f(1,2)，显然0°<B<90°，则B＝30°，C＝15°，所以sinC＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).6．(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosB(acosC＋ccosA)＝b，lgsinC＝eq\f(1,2)lg3－lg2，则△ABC的形状为()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形答案C解析∵2cosB(acosC＋ccosA)＝b，∴根据正弦定理得，2cosB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinB，∴2cosBsin(A＋C)＝sinB，∴2cosBsin(π－B)＝sinB，即2cosBsinB＝sinB，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，∴B＝eq\f(π,3).∵lgsinC＝eq\f(1,2)lg3－lg2，∴lgsinC＝lg

eq\f(\r(3),2)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，∵B＝eq\f(π,3)，∴C≠eq\f(2π,3)，∴C＝eq\f(π,3)，∴A＝B＝C＝eq\f(π,3)，即△ABC为等边三角形．7．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq\r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.答案2eq\r(2)解析由题意得S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac＝eq\r(3)，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝12－2×4×eq\f(1,2)＝8，得b＝2eq\r(2).8．(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．答案eq\f(2\r(3),3)解析∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，sinBsinC>0，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，∴sinA＝eq\f(1,2)，∵b2＋c2－a2＝8，结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得2bccosA＝8，∴A为锐角，且cosA＝eq\f(\r(3),2)，从而求得bc＝eq\f(8\r(3),3)，∴△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝(2a－c)cosB.(1)求B；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的面积．解(1)由正弦定理，得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∴sinA＝2sinAcosB，又∵sinA≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，∵B为三角形内角，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理得c＝2a，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，∴a＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3)，∴△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).10．(2023·湖州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知eq\r(3)bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＝asinB.(1)求角A的大小；(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．解(1)∵eq\r(3)bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＝asinB，由诱导公式得eq\r(3)bcosA＝asinB，由正弦定理得eq\r(3)sinBcosA＝sinAsinB，∵sinB≠0，∴eq\r(3)cosA＝sinA，即tanA＝eq\r(3)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－bc,2bc)＝eq\f(1,2)，即b2＋c2－bc＝bc，∴(b－c)2＝0，∴b＝c，又由(1)知A＝eq\f(π,3)，∴△ABC为等边三角形．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是()A．若sinA>sinB，则A>BB．若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosBC．若acosB－bcosA＝c，则△ABC一定为直角三角形D．若tanA＋tanB＋tanC>0，则△ABC可以是钝角三角形答案D解析对于A，因为sinA>sinB，所以由正弦定理知a>b，又因为在三角形中大角对大边，所以A>B，故选项A正确；对于B，因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B＝π－C>eq\f(π,2)，即A>eq\f(π,2)－B，所以sinA>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，故选项B正确；对于C，由正弦定理得sinC＝sinAcosB－sinBcosA＝sin(A－B)，则C＝A－B或C＋A－B＝π(舍去)，则A＝B＋C＝π－A，即A＝eq\f(π,2)，则△ABC一定为直角三角形，故选项C正确；对于D，因为tanC＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－A＋B))＝－tan(A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)，所以tanA＋tanB＝tanC(tanAtanB－1)，所以tanA＋tanB＋tanC＝tanC(tanAtanB－1)＋tanC＝tanAtanBtanC>0，又因为最多只有一个角为钝角，所以tanA>0，tanB>0，tanC>0，即三个角都为锐角，所以△ABC为锐角三角形，故选项D错误．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinAsinBsinC＝eq\f(1,8)，△ABC的面积为2，则下列选项错误的是()A．abc＝16eq\r(2)B．若a＝eq\r(2)，则A＝eq\f(π,3)C．△ABC外接圆的半径R＝2eq\r(2)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinA)＋\f(1,sinB)))2≥32sinC答案B解析由题可得eq\f(1,2)absinC＝2，则sinC＝eq\f(4,ab)，代入sinAsinBsinC＝eq\f(1,8)，得eq\f(4sinAsinB,ab)＝eq\f(1,8)，即R2＝8，即R＝2eq\r(2)，C正确；abc＝8R3sinAsinBsinC＝128eq\r(2)×eq\f(1,8)＝16eq\r(2)，A正确；若a＝eq\r(2)，则sinA＝eq\f(a,2R)＝eq\f(\r(2),4\r(2))＝eq\f(1,4)，此时A≠eq\f(π,3)，B错误；因为sinA>0，sinB>0，所以(sinA＋sinB)2≥4sinAsinB，所以eq\f(sinA＋sinB2,sinAsinB2)≥eq\f(4,sinAsinB)，由sinAsinBsinC＝eq\f(1,8)，得eq\f(4,sinAsinB)＝32sinC，所以eq\f(sinA＋sinB2,sinAsinB2)≥32sinC，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinA)＋\f(1,sinB)))2≥32sinC，D正确．13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2,2sinA＝a(eq\r(2)－cosB)，则B＝________.答案eq\f(π,4)解析由正弦定理知sinA＝eq\f(asinB,b)，所以a(eq\r(2)－cosB)＝2sinA＝eq\f(2asinB,b)＝asinB，整理得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝1，因为B∈(0，π)，所以B＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a