福建省尤溪一中2024届高三年级下册联考数学试题含解析

福建省尤溪一中2024届高三下学期联考数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知圆G：(x—I)?+(y+l)2=1,圆C?：(x—4产+(y—5)2=9,点M、N分别是圆G、圆上的动点，P

为x轴上的动点，贝!—的最大值是()

A.2逐+4B.9C.7D.275+2

2.在直角坐标平面上，点P(龙M的坐标满足方程好-2%+丁=0,点。(。力)的坐标满足方程

后+〃+64—85+24=0则^的取值范围是()

x-a

-4-币-4+近.16-址6+77

C.-3,—D.

-3~3-33'3

3.设非零向量a,b，C,满足|刈=2,|。|=1,且人与。的夹角为。，则“由—为=6”是“6=：”的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

r2

4.若双曲线C：—-y2=1的一条渐近线方程为3%+2丁=0,则切=()

m

493

A.B.C.

9432

5.若x£(0,1),a=lnx,，c=elnx,则a,b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

6.设。，瓦厂分别为AA5C的三边3C,C4,A5的中点，则班+尸C=()

A.|ADB.ADC.BCD.|BC

2

7.双曲线乙=1的渐近线方程为()

2

A.>=土—XB.y=±xC.y—+y/2xD.y=+y/3x

8.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额V(单位：亿元)的折线图.则下列结论中表述不正确的是()

额

240

220

200

18⑻0

140

120

100

80

60

40

20

A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；

B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；

C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；

D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2,…，7)

建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型5=99+173,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为

256.5亿元.

9.已知(x+a)5展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则炉项系数为()

A.10B.32C.40D.80

10.正AABC的边长为2,将它沿边上的高AD翻折，使点3与点。间的距离为出，此时四面体A-的外

接球表面积为()

107113万

A.------B.4TTC.------D.77r

33

2

11.设2=——+(1+Z)2(i是虚数单位)，则|Z|=()

1+Z

A.72B.1C.2D.75

12.已知函数/(x)=loga(|x-2|-a)(a〉0,且awl),则“/(x)在(3,+s)上是单调函数”是“0<a<1"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

-3x-2y+4>0,

13.设x,V满足约束条件x+4y+620,,则z=必+寸的最大值为.

x-2<0,

14.一个四面体的顶点在空间直角坐标系。-孙z中的坐标分别是A(0,0,0)，8(6,0,0),C(0』,0),。(右,1,君),

则该四面体的外接球的体积为.

__1

15.已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量a/满足|。|=|切=1,且。为=5，c=1=(〃/—〃)，存

在a力，对于任意的实数以“，不等式|a-c|+|。-d|»T,则实数T的取值范围是.

16.已知半径为4的球面上有两点-球心为O,若球面上的动点C满足二面角-_的大小

为W…J,则四面体--------的外接球的半径为_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知直线4：y=x+b与抛物线C:y2=2px(p>0)切于点尸，直线2%-2加、一m+1=0过定点Q,

且抛物线C上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为®.

2

(1)求抛物线。的方程及点尸的坐标；

(2)设直线4与抛物线C交于(异于点P)两个不同的点A、B,直线9，EB的斜率分别为匕、匕，那么是否存在实

数X，使得左+七=%?若存在，求出彳的值；若不存在，请说明理由.

18.(12分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,a,a(0<4<1),三人各射击一次，击中目标的次

数记为

(1)求4的分布列及数学期望；

(2)在概率PC=i)(i=0,1,2,3)中，若PC=1)的值最大，求实数。的取值范围.

22

19.(12分)已知椭圆C：=+[=l(a〉6〉0)的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线x+y-3&=0垂直,

矿b~

垂足为B,且点A是线段BF的中点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若M,N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线％=4交于点Q,

且MP-NQ=9,求点P的坐标.

20.(12分)在/A5C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos3=2a—6,

(I)求NC的大小；

(II)若CA-gcB=2,求AABC面积的最大值.

27r5

21.(12分)如图，在平面四边形ABC。中，ND=—,sinZBAC=cosZB=—,AB=13.

313

D

(1)求AC；

(2)求四边形ABC。面积的最大值.

22.（10分）如图，在三棱柱A3C—A用G中，A3,平面ABC,AB±AC,且AB=AC=A5=2.

(1)求棱A/与所成的角的大小；

(2)在棱4G上确定一点尸，使二面角P-A5-4的平面角的余弦值为寺.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

试题分析：圆G：(x-l)2+(y+l)2=l的圆心E(1，T)，半径为1,圆—4)2+(y—5)2=9的圆心/(4,5),半径

是3.要使归N|-|尸河|最大,需|PN|最大，且1PM最小，|PN|最大值为户司+3,|PA1|的最小值为|尸耳-1,故

IPN|—|最大值是(|PF|+3)-(|PE|-l)=|PF|-|P£|+4；尸(4,5)关于x轴的对称点尸(4,—5),

|p同—归耳=|p户I-|PE|<\EF'\=7(4-I)2+(-5+1)2=5,故归耳—归耳+4的最大值为5+4=9,故选B.

考点：圆与圆的位置关系及其判定.

【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使尸Ml最大，需|PN|最大，且最小，|PN|最大值

为归刊+3,归网的最小值为—故|产川—户叫最大值是（怛m+3）—（|PE|-l）=|PF|—|PE|+4,再利用对称

性，求出所求式子的最大值.

2、B

【解析】

由点P（羽y）的坐标满足方程/-2》+/=0,可得p在圆（%—1『+丁=1上，由。（上外坐标满足方程

/+/+6〃—83+24=0,可得。在圆（龙+3）2+（丁—4）2=1上，则三=（°求出两圆内公切线的斜率，利用数

形结合可得结果.

【详解】

V

点P（羽y）的坐标满足方程公-2x+y=o,

在圆（X-1）2+y2=］上，

Q（a,b）在坐标满足方程〃+/+6a—8b+24=0,

・•.Q在圆（龙+3）2+（y—4）2=1上，

则T=左作出两圆的图象如图，

x-a

设两圆内公切线为AB与CD,

由图可知七B＜原°〈左CD，

设两圆内公切线方程为y=kx+m,

|^+m|]

J1+左2

则

|—3A:+m—4|

圆心在内公切线两侧，％+m=—（―3左+加—4）,

|A;+m||2左+2|

可得〃7=左+2,；―.-=—,-=1,

1+k21+k2

化为3左2+8左+3=0，kJ士近

3

即左J-5-4+V7

1^AB3，CD3

-4-A/7<y-6-4+A/7

=2^^

3x-a

T的取值范围-4一-X/T'-4+y/j

,故选B.

x-a33

【点睛】

本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题.数形结合是根据数量与图形

之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着

奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数

形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.

3、C

【解析】

利用数量积的定义可得。，即可判断出结论.

【详解】

解：\b—a\=V3，•-b2+a2—2a»b=3,22+1—2x2x1xcos0=3>

1万

解得cos£=—,6日0,如，解得6=—,

23

•••u\b-a\=43”是“夕=（"的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

4、A

【解析】

根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得加的值.

【详解】

由题意知双曲线的渐近线方程为7=土表》("，〉0),3x+2y=0可化为y=—|x,则*=g,解得机=：

故选：A

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.

5、A

【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【详解】

VxG(0,1),

'.a—lnx<0,

b—(—),nx>(—)。=1,

22

0<c=eZni<e°=l,

:.a,b,c的大小关系为b>c>a.

故选：A.

【点睛】

本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6、B

【解析】

根据题意,画出几何图形，根据向量加法的线性运算即可求解.

【详解】

根据题意,可得几何关系如下图所示：

A

E

F,

BDc

EB=-1（BC+JBA）,FC=-1（CB+CA）

EB+FC=-1（JBC+JBA）-1（CB+C4）

=-AB+-AC=AD

22

故选:B

【点睛】

本题考查了向量加法的线性运算，属于基础题.

7、C

【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.

【详解】

2

双曲线乙=1,

2

二双曲线的渐近线方程为y=±V2x,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.

8、D

【解析】

根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.

【详解】

对于A选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于3选项，2000-2004投资总额为

11+19+25+35+37=127亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到

37x4=148,故描述正确.对于。选项，令r=10代入回归直线方程得99+17.5x10=274亿元，故。选项描述不正

确.所以本题选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.

9,D

【解析】

根据二项式定理通项公式4+1=可得常数项，然后二项式系数和，可得。，最后依据刀+1=。：//-,可得

结果.

【详解】

r5r

由题可知：Tr+l=qxa-

当r=0时，常数项为（=炉

又（*+。丫展开式的二项式系数和为25

由a，=2,=＞。=2

所以25f

当r=2时，7；=C；X223=80X2

所以犬项系数为80

故选：D

【点睛】

本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.

10、D

【解析】

如图所示，设AD的中点为。2，AfiCD的外接圆的圆心为。-四面体A-BCD的外接球的球心为。，连接

利用正弦定理可得。利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，

OOVOO2,OD,a=1,

最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.

【详解】

A

如图所示，设AD的中点为。2，ABCD外接圆的圆心为。-四面体A-BCD的外接球的球心为。，连接

OO^OO^OD,则平面5C。，OO21AD.

2—31

因为CD=BD=LBC=6,故cosNBDC=------=一一，

2x1x12

977-

因为N5DC£（0,»）,故N5OC=§.

I-

由正弦定理可得2001=—^3=2,故。旦=1,又因为AD=6,故。Q=1@.

sin——2

3

因为40，。8,40，。,。3门8=0,故AO,平面BCD,所以OOJ/A。，

因为AD,平面5C。，。。1U平面5C。，故A。，。。［，故OQ〃D°I，

所以四边形OQDQ为平行四边形，所以oq=。。2=#，

所以。。=、3二=且，故外接球的半径为立，外接球的表面积为4%XZ=7TT.

V4224

故选：D.

【点睛】

本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变

量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一

定的难度.

11、A

【解析】

先利用复数代数形式的四则运算法则求出z,即可根据复数的模计算公式求出Iz|.

【详解】

2____

-：z=-+(l+i)2=l-i+2i=l+i,.-.|z|=Vl2+l2=41-

故选：A.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，

属于容易题.

12、C

【解析】

先求出复合函数/(尤)在(3,+8)上是单调函数的充要条件，再看其和的包含关系，利用集合间包含关系与充

要条件之间的关系，判断正确答案.

【详解】

/(%)=logfl(|%-21-a)(a>0,且awl),

由|x-2]-a>0得为<2—a或x>2+a,

即的定义域为{%|九<2—。或x>2+a},(a〉0,且awl)

令f=|x—2|—a,其在(—8,2—a)单调递减，(2+a,+a>)单调递增，

2+a<3

/(x)在(3,+s)上是单调函数，其充要条件为。〉0

awl

即0<a<1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、29

【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代

入目标函数得答案.

【详解】

‘3%-2y+420,

由约束条件%+4y+6〉0,作出可行域如图:

x-2<0,

3x-2y+4=0,

联立<，解得A(2,5),

%—2=0,

目标函数z=x2+V是以原点为圆心，以正为半径的圆，

由图可知，此圆经过点A时，半径最大，此时z也最大,

最大值为z=2?+5?=29.

所以本题答案为29.

【点睛】

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何

意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最

值取法、值域范围.

T,9万

14>—

2

【解析】

将四面体补充为长宽高分别为6,1,出的长方体，体对角线即为外接球的直径，从而得解.

【详解】

采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为6』,石，长方体

的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线百H?=3,所以球半径为a，体积为

【点睛】

本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.

A/6—y/2

15、一4一

【解析】

由题意可设a=(1,0),b=(1

，由向量的坐标运算，以及恒成立思想可设m=1,|Q-C|+g-"I的最小值即为

点(g,日)到直线x+y=l的距离d,求得d,可得T不大于d.

【详解】

r71

解：1=1。1=19目.Cl'D—，

2

r

可设〃=(1,0),b二

c=，d—9

可得的终点均在直线x+y=l上,

由于私77为任意实数，可得m=1时，I。-c|+|6-d|的最小值即为点到直线x+y=i的距离d

雪近一1

可得22A/6-A/2，

d—

~4

对于任意的实数相，“，不等式|a-c|+g-d|2T,可得Tw"一立

4

故答案为：I|7,"4aJ.

【点睛】

本题主要考查向量的模的求法，以及两点的距离的运用，考查直线方程的运用，以及点到直线的距离，考查运算能力,

属于中档题.

16、

【解析】

设----所在截面圆的圆心为-，中点为-，连接--，

**taMtart■--■<-■■.

易知------即为二面角-_--的平面角，可求出.-及.，然后可判断出四面体------外接球的球心-在

直线__上，在R..-.一口中，__/+IL：—一广结合*，可求出四

一.-r-二J二二Jl二二:-工:二=二口二=1二_、同

面体二二二二的外接球的半径二.

【详解】

设----所在截面圆的圆心为-，中点为一，连接-，

OA=OB,所以，ODJ_AB,同理OiDLAB,所以，二二二-即为二面角二一二二的平面角，

□□DQj=2

因为，_、所以是等腰直角三角形，一，

在Bt▲nnn,中‘由cos60o=叫得口,口=^5，由勾股定理，得：口口,—同,

因为到、、三的距离相等，所以，四面体-外接球的球心在直线-上，

OiABC00

设四面体二二二二外接球半径为二，

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8

17、(1)y2=4x,(1,2)；(2)存在，一

3

【解析】

(1)由直线恒过点点及抛物线C上的点到点。的距离与到准线的距离之和的最小值为®,求出抛物线的方程,

一2

再由直线4与抛物线相切，即可求得切点的坐标；

(2)直线4与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线协，P5的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数

彳使得斜率之和为定值.

【详解】

(1)由题意，直线A变为2x+l-M2y+l)=0,所以定点。的坐标为-g,-g

抛物线C：y2=2px(p〉0)的焦点坐标歹々,0

由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为手,

可得此耳=,解得。=2或。=—4(舍去),

故抛物线C的方程为V=4x

N=x+b,0

又由《

24消去丁得/+2（。一2）%+/=0,

因为直线4与抛物线C相切，所以A=[20—2)丁—4^=0,解得匕=1,

此时x=l,所以点尸坐标为(1,2)

(2)设存在满足条件的实数X,点4>1，%),5(々,当)，

2x—2my—m+1—0n

联立2，消去x得y-Amy-2m+2=0,

y=4x

则M+%=4m,yvy2=2—2m,

依题意，可得A=(4加了-4(2-2加)〉0,解得机v・l或加〉g,

由（1）知P（1,2）,

k=%―2=_____y_2_____=2(%-2)

可得'—l(2my1+m-l)-l2s+*3,

2(%-2)

同理可得左2=

2my2+m-3

的“2_2(%—2)2(%—2)_2[4期%一3(加+1)(%+%)-4(加-3)]

所以4一।-JT

2my{+m-32my2+m-34myxy2+2m(m-3)(y1+y2)+(m-3)

_2[4m(2-2m)-3(m+l)4m-4(m-3)]_8(-5m2-2m+3)_8

4m2(2-2m)+2m(m-3)4m+(m-3)23(—5m2—2m+3)3'

Q

故存在实数2=3满足条件.

【点睛】

本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物

线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较

好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

18、(1)已，g的分布列为

0123

；(1-a)2^■(1—a2)；(2a—a2)a2

p

~2

⑵4

【解析】

(1)P(9是”个人命中，3—4个人未命中”的概率.其中自的可能取值为0、1、2、3.

P(W=0)=G°—C"(l-a)2=1-(l-a)2；

P(g=l)=C；・；C°(1—a)2+C1°C'a(l-a)=y(1—a2)；

P(自=2)=C：・；C；a(l—a)+C；a2=(2a—a2)；

P(A3)=C；.；C；a2=]

所以g的分布列为

g0123

1,1,1,a2

22—(2a—a2)

P-(1-a)-(1-a)~2

g的数学期望为

E(§)=0x^-(l-a)2+lx1-(l-a2)+2x^-(2a-a2)+3x^-=^^.

1,,

(2)P(^=l)-P(^=0)=-[(l-a2)-(l-a)2]=a(l-a)；

1,,1—2。

P《=l)—P《=2)=y[(l-a2)-(2a-a2)]=；

]]22

P《=l)—P《=3)=-[(1—a2)-a2]=-,

a(l-a)>0,

和0<aVL得OVaW^,即a的取值范围是(0，!

2I2

2

22

19、(I)—+^=1.

42

(IDP(l,

【解析】

(I)写出Ab坐标，利用直线AF与直线x+y-3&=0垂直，得到b=c.求出3点的坐标代入x+y-3&=0,

可得到"c的一个关系式，由此求得"c和。的值，进而求得椭圆方程.(H)设出P点的坐标，由此写出直线的

方程，从而求得。点的坐标，代入MPNQ=9,化简可求得P点的坐标.

【详解】

(I)••,椭圆的左焦点/(—c,0),上顶点4(03)，直线AF与直线x+y-30=0垂直

b

直线AF的斜率上=—=1,即b=c①

c

又点A是线段BF的中点

.•.点3的坐标为B(c,2b)

又点B在直线x+y-30=0上

:•c+2b-3底=。②

*,•由①②得：b=c=V2

二储=4

22

二椭圆C的方程为L+2L=1.

42

(II)设p(％,%),(%>0,%>0)

由⑴易得顶点M、N的坐标为M(—2,0),N(2,0)

直线MP的方程是：y=为(X+2)

毛+21)

y=%(x+2)

由，％+2'得：QG，

、%+2,

x=4

2

又点尸在椭圆上，故五-+j

42

•・%-2工

1(26yo]_2g12116%2__/2+胱+20

：.MP-NQ=(x0+2,y0)[晨+2尸MH"-毛+2-9

二%=1或-2(舍)

,*Jo=耳，(%>0)

点P的坐标为尸

【点睛】

本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程

中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应

该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.

20、(1)C=j(2)2A/3

【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；

⑵运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的

面积公式计算即可得到所求的值.

详解：(1)V2ccosB=2a-b,

2sinG^osB=2sinA-siaB,2sinCbosB=2sin(B+C)-sinB,

171

2sirtBcosC=sinB,/.cosC=—,:.C=—

23

(II)取BC中点。，则G4—gcB|=2=|ZM,在AADC中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC，

(注：也可将C4—gc5|=2=|ZM两边平方)即4=―与,

=—,所以当且仅当a=4/=2时取等号.

V422

此时5%尤=g。加由0=¥。6,其最大值为

点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模

的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.

21、(1)12；(2)5=12用30