2024届江苏省南通市高三第二次适应性调研数学试题含答案

2024届江苏省南通市高三第二次适应性调研数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

.2冗

sin——

1.12=

2-V3口2+V331

Ac.一D.-

4444

2.已知复数Z满足z2=-3+4i，则|z|=（)

3

A-B.5c.卡D.2

2

o210

3.若(l+x)2+(i+%)3+_|_^+xy=aQ+aix+a2x++6i10x,则〃2等于()

A.49B.55C.120D.165

y)=/("-/(y)，且L

4.已知/（%）对于任意,都有/（x+=2,则〃4)=

A.4B.8C.64D.256

f—,兀2兀

5.已知函数y=J^sin^x+cos。％（G>0）在区间一1，一］上单调递增，则①的最大值为（）

1128

A.-BC.—D.-

4-I113

6.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为

()

A.15B.25C.30D.35

7.已知曲线4x+2y=0与曲线G"（尤）=*在第一象限交于点A,在A处两条曲线的切

线倾斜角分别为。，万，则（）

c71

A.6Z+/?——B.\a-p\=-

C兀

C.a+/3=一D.\a-/3\=^

3

8.在棱长为2的正方体ABC。—4耳弓。中，P，Q，R分别为棱5C,CD,CG的中点，平面

PQR截正方体ABCD-外接球所得的截面面积为（）

58352715

A一兀B.-nC.—nD.

3333

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分，请把答案填涂在答

题卡相应位置上.

9.已知向量a在向量》方向上投影向量为向量人=（1,、月），且a与》夹角则向量a可

以为（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（1,V3）D.（A1）

22

10.已知椭圆C：三+==1（a>6>0）的左，右焦点分别为《，F2,上，下两个顶点分别为四，

B2,4月的延长线交C于A,且|4制=；忸闵，则（）

A.椭圆C的离心率为正

3

B.直线AB】的斜率为百

C.△4用月为等腰三角形

D.1^1:1^1=711:373

11.某农科所针对耕种深度X（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据

如下表:

耕种深度X

81012141618

/cm

每公顷产量

68mn1112

y/t

6

已知相<〃，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程：§=队+%，£城=510,

1=1

5；（X—刃2=24,数据在样本。2,阴），（14,7。的残差分别为句，4•

Z=1

，之间的相关系数，为匡参考公式:*一加一可

(参考数据：两个变量X,

21£(%—可2

i=l

力(%-元)(y-9)

-。i—1

a=y-b-x<r=I„---I„==>贝°()

a一1"寸

A.m+n=17B.b=l

10

C.ci——D.I+邑=­]

7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知/(%)=炉一*,当/1fo时，+/⑴f.

h

13.已知二面角。一/一，为直二面角，Aea,B&/3,A^l,B走I,则A3与夕，夕所成的角分别为

jrir

11"与’所成的角为-----------

14.已知抛物线C:/=4x,过点(4,0)的直线与抛物线交于A,3两点，则线段A3中点M的轨迹方程

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.

15.设数列｛叫的前〃项和为％若S〃—ga“="+i,„eN*.

(1)求生,a2,并证明：数列｛4+an+1］是等差数列；

(2)求S20.

2

16.已知函数/(x)=lnx-ar,g(x)=一，awO.

ax

(1)求函数/(X)的单调区间；

(2)若a>0且〃x)Wg(x)恒成立,求a的最小值.

17.某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.

(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？

(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生概率都相

等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为工.传球从老师开始，记为第一次传球，前

7

三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？

18.已知三棱柱ABC-中，底面A5C是边长为2的正三角形，G为'ABC的重心,

ZA^AB=Z^AC=60°.

B

(1)求证：45ABC-

(2)已知4A=2,Pw平面ABC,且平面/BC.

①求证：AG//CXP；

②求&P与平面\BC所成角的正弦值.

19.已知双曲线£的渐近线为y=士*x，左顶点为A(—6,0).

(1)求双曲线E的方程；

(2)直线/：X=『交x轴于点。，过。点的直线交双曲线E于8,C,直线AB,AC分别交/于G,

H,若。，A,G,〃均在圆P上，

①求。的横坐标；

②求圆尸面积的最小值.

2024届江苏省南通市高三第二次适应性调研数学试题

2024年高考适应性考试(二)

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.

A2-上R2+V3r34

4444

【答案】A

【解析】

【分析】利用降次公式求得所求表达式的值.

1£,A/3

【详解】依题意.2乃°S622-日

sin—=---------=------=--------

12224

故选：A

【点睛】本小题主要考查降次公式，属于基础题.

2.已知复数z满足z2=—3+4i，则目=()

A.—B.5C.A/5D.2

2

【答案】c

【解析】

徒_/=_3

【分析】设2=。+历(a力eR),得到22=储—62+2疝，利用复数相等，得到，即可求

'/2ab=4

出再利用复数模的定义，即可求出结果.

【详解】设2=。+历(。力eR),则z2=1—〃+2〃历，又z2=—3+4i，

〃2_人2=_3_____

所以《，解得a=l1=2,得到z=l+2i,所以同=疝4=6，

lab=4

故选：C.

3.右(1+x)+(l+x)+...+(!,+x)=CIQ+ciyx++4o%i",则出等于()

A.49B.55C.120D.165

【答案】D

【解析】

r分析】依题意可得出=C+c；+G+c；+或+c；+c；+玛+C*,再根据组合数的性质计算可得.

【详解】因为二项式(l+x)"展开式的通项为4+J=C：x‘且reN),

又(1+九)~+(1+x)'++(l+x)=a。+qx+a2尤~++，

所以4=C；+C；+Cj+C；+C；+C；+C；+C；+C；o

=C；+C；+C；+C；+C；+C；+C；+C：+C；o

=C；+C：+C；+C；+C+C；+C；+C；o

_03+02_03_11x10x9

=165.

-1010-11-3x2x1

故选：D

4.已知/(%)对于任意％,yeR,都有/(x+y)=/(x)―/(y),且/\]=2,贝ij/(4)=()

A.4B.8C.64D.256

【答案】D

【解析】

【分析】由题意有/（2x）=r（“，得/（4）=r[],求值即可.

【详解】由〃x+y）=/（x）―/（y），当丁=%时，有〃2丹=产（同，

由吗）=2,则有/（4）=r⑵=/4⑴=/8W=256.

故选：D

5.已知函数y=^sin4t+cosiy%（<y>0）在区间一1，一]上单调递增，则。的最大值为（）

11128

A.-B.-C.—D.一

42113

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件，利用辅助角公式得到y=2sin（ox+f）,再利用y=sinx的图象与性质，得到

6

兀

y=2sin（ox+工）的单调增区间，再根据条件，可得到Q'°,即可求出结果.

62兀

IX<_2E

、34

【详解】因为y=Gsin@%+cos@%=2sin(Gx+/)，又力>0,

I.兀C7/兀/兀C77F/FlhtI----H2kli--F2左兀

由---F2kliVcoxH—«—F24兀,keZ,何至！J3,,3

262--------------------

~~+2kn-+2kn

33

所以函数y=y/3sincox+coscox的单调增区间为/eZ),

a>a>

--+2kTi四+2E

33(kwZ),则<

coa>

3<_IE

co4

故选：B.

6.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知该同学的排名应该在班级人数的前10%,根据百分位数的定义计算即可求解.

【详解】因为同学的成绩处于第90百分位数，所以他比班级中90%的同学成绩都要好，

而他的成绩位于班级第3名，则他的排名应该在班级人数的前10%,

3

由百分位数的定义知，班级人数的估计值为工=30.

故选：C

7.已知曲线G：—+y2—4x+2y=0与曲线G"（九）=/在第一象限交于点A,在A处两条曲线的切

线倾斜角分别为夕，万，则（）

c71

Aa+3=—

2

C.oc+/3=—

3

【答案】A

【解析】

【分析】联立曲线曲线G与曲线。2方程求出切点4（1,1），再由圆的切线与圆心和切点连线垂直，结合两垂

直直线斜率乘积等于-1可求出在A处圆G的切线斜率，从而得出tana=1；由导数知识里在某点处的切

2

线方程求法可得出tan，=2,进而根据两角和与差的正切公式进行检验判断即可.

【详解】

因为曲线G：/+y2—4x+2y=0,即G：(左一2『+(y+l『=5,

所以曲线是以（2,—1）为圆心，石为半径圆,

且=即曲线C1过原点0,

联立,尤+；4x+2y0,得为4+3%2_4%=0=/=0,/=]=>4(1,1),

,_1_1-2_11

所以在A处圆C1的切线斜率为匕=——=--~1了=彳，所以tana=一

左AG1一（一1）22

由G：/(%)=%2=>/'(%)=2x,

所以曲线。2在A处的切线斜率为左2=/'（l）=2=tan»,

sin[>

11COSB=tan?一£j〉O,

又tana=—=c°sg—£

2tansin0

所以，所以从而a=]_£,

JT

即。+〃=—,故A正确，C错误,

2

2--3

注意到，0<0<尸<1，且tan(|a—〃|)=tan(夕—0)=-----\=~,故B、D错误,

1+2x14

2

故选：A.

8.在棱长为2的正方体ABC。—4片0。1中，P,Q,R分别为棱BC,CD,CG的中点，平面

PQR截正方体ABCD-A4GR外接球所得的截面面积为（）

58352715

A.-7iB.-nC.——nD.

3333

【答案】A

【解析】

【分析】根据正方体的几何性质确定外接球半径R,设球心为。，求解。到截面PQR的距离31,从而可

得截面圆的面积.

【详解】取正方体的中心为。，连接

由于正方体的棱长为2,所以正方体的面对角线长为2底，体对角线长为2月，

正方体外接球球心为点。，半径R=!义26=石，

2

又易得OP=OQ=OR=gx2拒=◎,且PQ=PR=QR=gx2O=6,

所以三棱锥PQR为正四面体，如图所示，取底面正三角形PQR的中心为

即点。到平面PQR的距离为OM,又正三角形PQR的外接圆半径为MQ,

、MC=PQ一＞「2九f-

由正弦定理可得上一sin60。一百—3，即所以

OM=ylOQ2-MQ2=（72）2J^\:咚,

VI3Ji

即正方体ABCD-a/G，外接球的球心。到截面PQR的距离为OM=2叵，

3

(26丫[5

所以截面PQR被球。所截圆的半径r=y/R2-OM2=4阴2

则截面圆的面积为兀产=-71.

3

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答

题卡相应位置上.

9.已知向量口在向量6方向上的投影向量为向量人=0,6）,且a与b夹角E，则向量a可

以为（）

A.（0,2）B,（2,0）C.（1,百）D,（A/3,1）

【答案】AD

【解析】

【分析】向量a在向量》方向上的投影向量为学方，根据此公式可求小|=2,再逐项求出夹角后可得正确

b

的选项.

,,a-bA/3

【详解】由题设可得故一=—,

b2

而恸=2,口与匕夹角器，故伸=H故卜|=2,

4

对于A,cos,力）=答=孝，因卜,»«0,兀］,故,力）=s，故A正确.

对于B,cos（a®=『^=g,因故,©=］,故B错误.

对于C,cos（a,»=吴5=1,因卜6<0,兀］,故（a®=0,故C错误.

对于D,cos(a/)=|^|=¥，因故卜,弓=弓，故D错误.

故选：AD.

22

10.已知椭圆C：=+==1(a>6>0)左，右焦点分别为耳，B，上，下两个顶点分别为用,

ab

B2,与耳的延长线交C于A,且仙娟=；忸闽，则()

A.椭圆。的离心率为二二

3

B.直线A31的斜率为若

C.为等腰三角形

D.|9|：|明|=亚：36

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用椭圆定义结合余弦定理求解角的三角函数值，在同一个三角形中将离心率表示为三角函数

值，求出离心率即可判断A,先求出倾斜角的正切值，再利用斜率的几何意义判断B,利用椭圆的定义得

到边相等，证明是等腰三角形判断C,求解关键点的坐标，结合两点间距离公式判断D即可.

【详解】对于A,连接解I，AF2,•F,(-c,0),Bj(0,Z?),B2(0,-Z?),:.\BF\=a=\BF^,

ii3

M周=5忸闿，周=5。」做1=5匹

■\AF\+\AF^=2a,:.\AF2\=^a,

99

—a2+ci2—a2

在，4A居中，cosNAB]F2=4——-J

2x—QX4

2

故有;=2COS2/£4O—1,解得cos/月用。=逅，则sinN£3Q=立,

333

而在旦。B中，sin/FiBQ=3=.e=:二心~，

故A正确,

a3a3

对于B,而与A的倾斜角为/用片。，而sinN4EO=B，cosN4与O=g，

sin/B[FQ

=3,故B错误.

则左=tanABXFXO=

cosNg耳O

3

对于C,由已知得卜用|=3月|=5。，△Agg是等腰三角形，故C正确,

对于D,因为£=且，则。=6°,故人在2_。2=缶,

a3

易知AB]的方程为y=y/2x+b=y/2x+V2c，设A（羽y）,

3

y=yjlx+V2cX-——c

x=02

联立方程组《解得《或＜

工+£=Iy=Nr?c后，

、3c22c2,=一3。

,3

故A_~^c,—亚—c、,又_B（0,—/?）,即可0,—

由两点距离公式得|明|=

c

而的f3=3、¥Q…局IAB?|=后7=加^/n故D正确.

2C

故选：ACD.

11.某农科所针对耕种深度x（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据

如下表:

耕种深度X

81012141618

/cm

每公顷产量68mn1112

y/t

6

已知根v〃，用最小二乘法求出y关于1的经验回归方程：。二队+机]＞；=510,

«=i

6

与%_力2=24,数据在样本(12,3),(14,〃)的残差分别为,

Z=1

£(%-可(％-歹)

(参考数据：两个变量x,y之间的相关系数r为J次，参考公式:

3=目------------------

V21£(%一元)2

1=1

£(%-元)(％-歹)

1—1

r=

a=y-b-x>回I„T----•I„回="=>贝°()

Vi=iVi=i

A.m+n=YlB.b=+

c10

Cci——D.与+£,=—1

7

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题设条件、最小二乘法求回归方程及残差求法，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.

【详解】对于选项A,因为»；=510,火卜厂92=£片_6/=24,所以了=81，得到亍=9,

;=11=11=1

「LtI6+8+加+〃+11+12

所以-------------------二9,得到根+〃=17，所以选项A正确,

6

对于选项B,因为益8+10+12+14+16+1匕3

6

=(8—13)2+(10—13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2+(18-13)2=70,

^xV70xV24=40,所以〃=404

所以—y—=y-故选项B正

Z=1

i=\

确,

--411

对于选项C,因为ta=y—b%=9——xl3=—,所以选项C错误，

.4411411411

对于选项D,因为引=亍%+亍~,得到J=m―(]X12+，■),612—n—(―x14+,

所以弓+/=加+〃-18=—1,所以选项D正确，

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知=一,当/zfO时，1(1+")->⑴4.

【答案】1

【解析】

【分析】根据导数的定义即可直接求解.

“l+/z)T⑴

【详解】由导数的定义知,

h

由_f(x)=3*—2x,得八1)=1,

所以巫3U.

h

故答案为：1

13.己知二面角。一/一，为直二面角，Aea,Bw(3,A^l,则A3与a,/7所成的角分别为

TTTT

AB与/所成的角为.

64

TT

【答案】一##60。

3

【解析】

【分析】如图，设AB=2〃Z,根据勾股定理求得8C=〃7,AC=T^W,AD=BO="W,DC=m,建立如图空

间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可.

【详解】如图，

a1/3,a（3=l,auua,a】l,b,贝|两两垂直.

作AD，/,3C_U,垂足分别为D,C,连接6D,AC,

则AD_L/?,BC_La,

所以/B4c为A3与1的所成角，/WD为A3与尸的所成角，

JTJT

即/R4C=—,NABD=—,

64

建立如图空间直角坐标系。-孙z,设AB=2〃z,

贝UBC=m,AC=y/3m,AD=BD=屈m,得DC=^AC2-AD2=m，

A（A/2/77,O,O）,B（Q,m,tri）,所以A8=（-亚m,m,m）,取/=（0,1,0）,

.,ABIm1-兀

则3.n，/=可=;^=5'又曲,徐（。，5],

--jrir

所以A3,/=—,即AB与/所成的角为一.

33

jr

故答案为：-

3

14.已知抛物线C:/=4x,过点（4,0）的直线与抛物线交于A,3两点，则线段A3中点M的轨迹方程

为.

【答案】/=2（x-4）

【解析】

【分析】设出直线A3的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系，利用中点坐标公式可表示出线段AB

中点/的坐标，化简，即可得答案.

【详解】由题意知直线A3的斜率不为0,设AB的方程为x=my+4,

联立抛物线方程9=4x,得y2_4my—16=0,A=16m2+64>0，

设4（%，%）,B（x2,y2）,则%+%=4m,%%=-16,

2

设线段AB中点M（xQ,yQ）,则为=汽卫=2m,xQ=2m+4,

22

即％=券+4,故线段A3中点M的轨迹方程为》=5+4,即y2=2（x—4）,

故答案为：/=2（%-4）

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.

15.设数列｛。“｝的前九项和为S“，若川+1,“eN*.

（1）求生,a2,并证明：数列｛4+a〃+i｝是等差数列；

（2）求$20・

【答案】（1）4=4,%=2,证明见解析；

（2）420.

【解析】

【分析】（1）直接代入〃=1可得％=4,再代入〃=2,结合为的值求出的=2；再由50—]4=1+1仿

19

写出S'T—Q4T一+1,作差后得到。“+。“_1=4〃_2,即可证明结果.

（2）由（1）知数列｛a〃+i+a“｝为等差数列，然后代入等差数列的前几项和公式求解即可.

【小问1详解】

当〃=1时，由条件得囚一；4=2,所以q=4.

当〃=2时，由条件得（q+。2）-3。2=5，所以电=2.

11

因为8八一5。〃="+i,所以5及_]一万为一]=（九一1）9+1（〃22）,

两式相减得：4―万〃〃+/42T=2〃—1,即氏+=4〃—2,

所以（4+1+6）—（《+«„_i）=[4（w+l）-2]-（4w-2）=4,

从而数列｛4+i+4｝为等差数列.

【小问2详解】

由（1）知。“+%=4〃-2,

所以a”+%+i=4（〃+1）—2=4n+2,

所以数列｛4+1+4｝为等差数列，首项为q+g=6,

所以S20=（a1+a2）+（a3+a4）++（须+«20）=~~'‘，""'

所以邑。=（4义2—2）+（4x4—2）++（4x20-2）=^^^=420.

16.已知函数〃x)=lnx-⑪,g(x)=一，awO.

CLJC

(1)求函数/(尤)的单调区间；

(2)若a>0且/(x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

【答案】(1)答案见解析

⑵-4.

e

【解析】

【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对。>0与。<0分类讨论即可得;

(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.

【小问1详解】

f'(x\———a—^~~~~(aw0),

xx

当〃<0时，由于兀>0,所以恒成立，从而/(X)在(0,+8)上递增；

当〃>0时，0<x<—,f\x\>0；x>—,/(x)<0,

aa

从而/(%)在上递增，在1,+，|递减；

综上，当。<0时，/(力的单调递增区间为R,没有单调递减区间；

当a>0时，/(%)的单调递增区间为,单调递减区间为15,+8)

【小问2详解】

9

令7z(x)=f(x)-g(x)=hix-ax-----,要使/(x)Wg(x)恒成立，

CLJC

只要使人(%)40恒成立，也只要使网

7,/\12-(ax+l)(ax-2)

hf(x)=一一a+--=—-----------------L，

xaxax

由于〃>0,x>0,所以双+1>0恒成立，

29

当0<%<—时，/ir(x)>0,当一<%<+00时，hf(x]<0,

aa

/、(2、22

所以M》)max="%jTnz—3W。,解得：«>-)

所以a的最小值为3.

e

17.某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.

（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？

（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相

等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为传球从老师开始，记为第一次传球，前

7

三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？

3

【答案】⑴9种⑵—.

49

【解析】

【分析】（1）法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不

考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；

（2）考虑第一次传球，老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位，继而确定第二次以及第三次传球后

球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.

【小问1详解】

法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为C；；

再选出副队长，方法数也是C；,故共有方法数为C；xC；=9（种）.

方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为A；=4x3=12（种）；

若甲任队长，方法数为C；,故甲不担任队长的选法种数为12-3=9（种）

答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.

【小问2详解】

①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为工；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概

4

率为一；

7

第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为工，

7

故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：-x-x-=—.

47798

3

②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为二，

4

2

第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为反，

第三次传球，甲将球传给老师，其概率为

7

3213

这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为一x—x—=一，

47798

333

所以，前三次传球中满足题意的概率为：—+—=—.

989849

3

答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是大.

49

18.已知三棱柱ABC-A与C中，底面是边长为2的正三角形，G为ABC的重心,

Z^AB=Z^AC=60°.

(1)求证：BC-

(2)已知AA=2,Pw平面ABC,且平面ABC.

①求证：AG//。/；

②求A.P与平面A.BC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)①证明见解析；②空.

3

【解析】

【分析】(1)连AG交于。，由重心可得。为的中点，由己知借助三角形全等证得人5=4C,再

由线面垂直的判定、性质推理即得.

(2)①由给定条件，证得三棱锥A-A5C为正四面体，进而证得AGL平面ABC,再得用线面垂直的性

质得结论；②以的重心。为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出AG，再由向

量共线求出点尸，进而利用线面角的向量求法求解即得.

【小问1详解】

在三棱柱ABC-A4G中，连AG交5c于£>,连A。，由G为.的重心，得。为的中点,

由AB=AC,AA=4A,Z^AB=Z^AC,得△A]A3/△A/C,则人5=4。,

因此ADIBC,AD1BC,又AD4。=。,AD,4。u平面AAD,

于是3C1平面AAD,而AAu平面AAD,则BC，,又％AIRB,

①由4A=AB=2,ZA1AB=60°,得4445为正三角形；同理，△4AC也为正三角形，

则4B=AC=3C=2,从而三棱锥A-ABC的所有棱长均为2,该四面体为正四面体，

由G为.ABC的重心，得AG,平面ABC,又GP，平面ABC,显然G不在直线AG上，

所以A