四川省绵阳市2023-2024学年高一年级下册3月月考 数学 含解析

三台中学2023级高一下期第一次学月考试

数学试卷

本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试卷共4页，答题卡共4页，满分150分，考试时

间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B

铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后

再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域

书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后将答题卡收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求.

1.sin24cos6+cos24sin6的值为()

币B也C.4D.立

A.

2223

2.已知向量a力不共线，AB=a+3b>BC=5a+3b>CD=-3a+3b>贝1J()

A.A,B,C三点共线B.A,C,。三点共线

C.A,B,。三点共线D.B,C,。三点共线

3.设sin6-cos。=---，贝!1sin2。=()

3

7117

A-B.-C.——D.——

9999

4.在等边LABC中，点。是边BC的中点，且AD=2石，则1为（）

A.-16B.16C.-8D.8

5.为了得到函数/（x）=sin[2x—：J的图象，只需要把函数y=sinx图象（）

A.先将横坐标缩短到原来2倍（纵坐标不变），再向右平吟个单位

B.先将横坐标缩短到原来的;倍（纵坐标不变），再向右平移］个单位

/O

7T

C.先向左平移一个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

D.先向右平移J个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

O

6.下列结论正确的是（）

A.若同二2上卜则〃=2/?或a=—2Z?

B.若w/z?，bile>则a〃e

C.若松2=0,mwR,则根=0或Q=0

D.若ma=mb,其中相£火，则〃=

7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图

1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽

象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m,筒车的轴心。到水面的距离为1m,筒车每分钟按逆时针转

动2圈.规定：盛水筒〃对应的点尸从水中浮现（即兄时的位置）时开始计算时间，设盛水筒〃从《运

动到点尸时所用时间为/（单位：s）,且此时点尸距离水面的高度为/I（单位：m）.若以筒车的轴心。为

坐标原点，过点0的水平直线为x轴建立平面直角坐标系犬OY（如图2）,则力与/的函数关系式为

（）

A.h-2sinB.h-2sin+1,[£[0,+GO)

C.h-2sin+1,te[0,+oo)D.h-2sin+1,l£[0,+8)

8.若函数/（x）=sin[2x-《J在区间[0,a）上有且仅有两个零点，则实数”的最大值是（）

兀兀7兀13兀

A.—B.—C.—D.---

1231212

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是（）

A.AB-AM=MB

B.零向量与任意向量共线

C.互为相反向量两个向量的模相等

D.若向量满足,卜1,恸=4,则

10.计算下列各式，结果为黄的是（）

tan3001+tan15°

A.------——B.--------

1-tan-30°1-tan15°

C.2（cos215°-sinl5°cos75°）D.tan40°+tan20°+6tan40°tan20°

11.（多选）函数y=Asin（（ur+9）（A＞0,。＞0,。＜。＜兀）在一个周期内的图像如图所示，贝U

（）

A.该函数的解析式为y=2sin（gx+l]

B,该函数图像的对称中心为[左乃―g,o],keZ

5JT71

C.该函数的增区间是3kn----,3kn+—,keZ

_44_

D.把函数y=2sin[x+1]的图像上所有点的横坐标伸长为原来的|■倍，纵坐标不变，可得到该函数图

像

三台中学2023级高一下期第一次学月考试

数学

命题人：审题人：

本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试卷共4页，答题卡共4页，满分150分，考试时

间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B

铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后

再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域

书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后将答题卡收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求.

1.sin24cos6+cos24sin6的值为（）

A.BB.—C.1D.正

2223

【答案】C

【解析】

【分析】根据两角和的正弦公式sin（a+/?）=sinacos/?+cosasin/7,求解即可.

【详解】sin24cos6+cos24sin6=sin（24+6=sin30=g

故选：C

【点睛】本题考查三角恒等变换，属于较易题.

2.已知向量a/不共线，AB=a+3b^BC=5a+3b，CD=—3a+3b，则（）

A.A,B,C三点共线B.A,C,。三点共线

C.A,B,。三点共线D.B,C,D三点共线

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量共线定理进行判断即可.

【详解】因为a力不共线，AB=a+3b>BC=5a+3b^CD=-3a+3b<

易得AB,BC,CD互不共线，所以A,B,C三点不共线，B,C,D三点不共线，故AD错误;

又AC=AB+BC=6a+6b，易得AC,CD不共线，则A，C,。三点不共线，故B错误；

而BD=8C+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB,所以A,B,£>三点共线，故C正确.

故选：C.

3.设sin6-cos6=，贝！1sin2。=()

3

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解.

【详解】由sin6-cos6，

3

平方可得(sin8—cos=sin20+cos28-2sin，cos=1-sin2^=—,

7

解得sin26=—.

9

故选：A.

4.在等边中，点。是边BC的中点，且AO=2石，则AbBd为()

A.-16B.16C.-8D.8

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量数量积定义即可求得A®8C的值.

【详解】等边oABC中，点。是边5C的中点，且4)=26，

则NZM8=30。,3c=23£>=2(4£>_回，AB=4,

则A3•BC=AB.2(AD-A3)=2AB-AD-2Afi2

=2x4x2\^cos30-2x42=-8

故选：C

5.为了得到函数/（x）=sin12x-：J图象，只需要把函数y=sinx图象（）

A.先将横坐标缩短到原来的;倍（纵坐标不变），再向右平移4个单位

B.先将横坐标缩短到原来的J倍（纵坐标不变），再向右平移1个单位

ZO

7T

C.先向左平移一个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

4

D.先向右平移J个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

8

【答案】B

【解析】

【分析】利用平移变换和周期变换规则来判断.

【详解】为了得到函数〃x）=sin[2x-的图象，只需要把函数y=sinx图象

先向右平移四个单位，再将横坐标缩短到原来的J（纵坐标不变），CD错；

42

1Jr

也可以先将横坐标缩短到原来的;倍（纵坐标不变），再向右平移2个单位，A错误，B正确.

故选：B.

6.下列结论正确的是（）

A.若同二211则〃=2/?或a=—2/?

B.若〃〃Z?，bHe，则〃〃e

C.若ma=0,meR,则根=0或〃=0

D.若ma-mb，其中相则〃=

【答案】C

【解析】

【分析】根据相等向量，共线向量，数乘运算的定义分别进行判断即可.

【详解】对于A,当时=2忖时，〃与人可能不共线，

如〃=（2,0）,b—（0,1）,满足同=2，但不满足〃=2b或a=—2Z?，A错误；

对于B,若匕=0，此时o〃b，bile，但〃与C可能不共线，B错误；

对于C,由向量数乘运算定义知C正确；

对于D,若机=0,则777a=/〃》，此时。与匕可以,是任意向量，D错误.

故选：C.

7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经?齐又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图

1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽

象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m,筒车白勺轴心0到水面的距离为1m,筒车每分钟按逆时针转

动2圈.规定：盛水筒M对应的点尸从水中浮现（即4时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从兄运

动到点尸时所用时间为单位：s）,且此时点尸距离水面的高度为/?（单位：m）.若以筒车的轴心。为

坐标原点，过点。的水平直线为X轴建立平面直角2且标系x0y（如图2）,则力与，的函数关系式为

（）

P___y_

、7：,1

...•.**----------------------

.［一d

图1图2

A.h=2sin^^-Z-^+l,tG[0,+CO）B./z=2sinz1+1,/

C.//=2sin卜—S]+l,te[0,+co）D.h-2sin^r+^+l,te[0,+oo）

【答案】A

【解析】

分析】

TVrr

首先先求以OP为终边的角为r-二，再根据三名1函数的定义求点尸的纵坐标，以及根据图形表示

71576

%）.

TTTT

【详解】NxORj,所以。此对应的角是一二

66

2X2%7T

由OP在45）内转过的角为

6015

C.互为相反向量的两个向量的模相等

D.若向量3/满足卜|=1,恸=4,则

【答案】ABCD

【解析】

【分析】利用向量的概念判断ABC；利用，卜忖牛+可训+|可判断D.

【详解】对于A：AB—AM=MB，正确；

对于B：零向量与任意向量共线，正确；

对于C：互为相反向量的两个向量，大小相同，方向相反，正确；

对于D：由口—W4+6目"|+1|可得当卜|=1，|耳=4时，3<|a+z?|<5,正确;

故选：ABCD.

10.计算下列各式，结果为指的是(

tan30°1+tan15°

A.----3——B.--------

1-tan230°1-tan15°

C.2(cos2150-sinl5°cos750)D.tan400+tan200+y/3tan40°tan200

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,利用三角函数的特殊值即可求解；对于B,D,利用两角和的正切公式即可求解；对于

C,利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.

tan30°_¥，故A错误;

【详解】对于A,匚嬴行心—一、2

1-

7

1+tan15°tan450+tan15°

对于B,--------=-=--t-a-n-(-45-°--+-1-5-°-)--=-tan60°=,故B正确;

1-tan15°l-tanl50xtan45°

对于C,2(COS2150-sin15°cos75°^=2(^cos2150-sin215°^=2cos(2xl50)=2cos30°=百，故C正

确;

,//cctan400+tan200/八门店

对于D由tan(40°+20°)=---------------=tan60°=得

'71-tan40°tan20°

tan400+tan200+6tan40°tan20。=也，故D正确.

故选：BCD.

11.（多选）函数y二Asin（Gx+o）（A>O,啰>0,0<。<兀）在一个周期内的图像如图所示，则

()

A.该函数的解析式为y=2sin[gx+g)

B.该函数图像的对称中心为[左左—g,o],keZ

5兀JC

C.该函数的增区间是3fat--,3fat+—,keZ

44

D.把函数y=2sin[x+]J的图像上所有点的横坐标伸长为原来的|■倍，纵坐标不变，可得到该函数图

像

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于选项A:根据图像和已知条件求出A和最小正周期T，然后利用正弦型函数的最小正周期公

式求出通过代点求出。即可；对于选项BC:结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选

项D：利用伸缩变换即可求解.

2兀(71、

【详解】由题图可知，A=2,周期T=——=4兀—二=3兀，

所以0=则y=2sin[g2x+eJ,

3

jr.|x：+9=2,即si嘴+(p=1,

因为当％=—时，y=2sin

4

所以—(p——F2kli9k£Z,即夕=—F2kli,k£Z,

623

JI

又0＜。＜兀，故。=一,

3

从而^=2sinf—x+—j,故A正确；

2兀兀3

令一xH——ku,kwZ,得i=----1—ku,kwZ,故B错误;

3322

.兀-7/2兀,兀,

令----\-2kli«—x~\—«—F2kli,k£Z,

2332

3兀兀

得----F3AJTW尤W—F3防I,左eZ,故C正确;

44

函数y=2sin[x+1]的图像上所有点的横坐标伸长为原来的|■倍，纵坐标不变,

可得到V=2sin-x+-故D正确.

133

故选:ACD

1.1

12.如图，ABC中，BD=-BC,点E在线段AC上，与BE交于点EBF=-BE,则下列说法

32

正确的是（）

B.网=汩

D.SABFD-S&4FB=1.3

【答案】ACD

【解析】

---2-1---ULIUUUIU

【分析】由己知可得5。:。。=1:2,进而可得=+判断A；设AE=2AC，利用A,

F,。共线可求X,进而可判断B；根据4尸==">,利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算

4

可判断C.

【详解】对于A：根据5。二工3。，

3

..一1一一1/—-.X21

故=+AB+—3C=AB+—AC—AB=—AB+—AC,故A正确;

33、>33

UUUUUIUIII

对于B：设AE=XAC，贝!——

1121

AF^AB+BF^-AB+-AAC,又AD=—AB+—AC,

2233

A,F,£＞三点共线，AF^mAD^-AB+—AAC^m\-AB+-AC

22(33

I?11131

...上=*根且上九=上根，.•/=土，m=?,故AE=—AC,故B错误；

2323242

33

对于D：由于m=二，故A尸=—AD,

44

・•・8跳0：5.=|田|：|”|=1：3,故D正确；

33(21.^11

对于C：AE=—AD=—-AB+-AC\^-AB+-AC,

44(33J24

一11-11-

BF=-AAC——AB=-AC——AB,

2242

31113

CF=CA+AF=CA+-AD=~AC+-AB+-AC=-AB——AC,

42424

AF+2BF+CF^-AB+-AC+2\-AC--AB\+-AB--AC^O,故C正确.

24l4224

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a*的夹角为30°,且。力=3,1=4,则向=________.

【答案】B

2

【解析】

【分析】根据数量积的定义列方程计算即可.

【详解】由已知a-b=同•WcosSO。=|ax4x^-=3,

解得同=乎.

故答案为：

2

412(兀、(兀、

14.已知sina=1，cos(cif+/?)=--,且a+/3el—,TI1,则COSP=_____

【答案】一:^

65

【解析】

【分析】根据乃=（。+齐）-。，结合同角三角关系和两角和差公式运算求解.

412L71e加，

【详解】因为sina=-COS(df+0)=一一,且。£0,—,a+/3

132

2fl-cos2(cr+/?)二尚

则cosa=A/1-sina-sin(tz+0=J

可得COSp=cos[(«+/?)-«]=COS(cr+yff)cosa+sin(a+尸)sina

1235416

X—H-------X—=----------

13513565

16

即COSP=-

65,

16

故答案为:

-65

15.已知sinK+a)=2sin:一a),则sin2a=

3

【答案】-##0.6

5

【解析】

【分析】先将条件利用两角和与差的正弦公式展开整理后可求出tantz,然后将sin21变形为用tana表

示代入计算即可.

【详解】因为sin[?+a|=2sin

所以^^cosa+^^sinq=2V2.、

cosa------sina

222

整理得cos。=3sina,即tana='，

3

2

〜82sinacosa2tana3

所以sm2a=-----------=--——-3

sina+cosatana+11+15

9

3

故答案为：—.

16.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正

方形.若图中直角三角形的两个锐角分别为&,夕，且小正方形与大正方形的面积之比为9:16,则

cos(a-')=

7

【答案】—

16

【解析】

【分析】

设大正方形的边长为1,则根据两个正方形的面积比可求得小正方形的边长.表示出直角三角形两条直角边

的关系，再由余弦的差角公式及同角三角函数关系式即可得解.

【详解】设大正方形的边长为1,则大正方形的面积为1

因为小正方形与大正方形的面积之比为9:16

93

所以小正方形的面积为7,则小正方形的边长为一

164

由图可知sina-cos/?,sin/?=cosa

33

S.cosa-sina=—,sin/?-cos/?=—

9

两式相乘可得cososin/一cosacosj3-sinasin/?+sincrcos0二一

16

299

化简可得sinzp+cos20-(cosacos尸+sinasin尸)二一

16

9

l-cos(a-,)二一

7

解得cos（a—尸）=7

16

7

故答案为：——

16

【点睛】本题考查了三角函数的应用，余弦的和差公式及同角三角函数关系式的应用，关键在与理清边长与

角的关系,属于中档题.

四、解答题：本题共6小图，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2cos2。-sin2a

17.已知:

/(«)=2(coscif-sincr)

（1）化简〃a）;

（2）若a是第二象限角，且sina=|,求/兀

6

【答案】(1)f(a)=cosa

z9\46+3

10

【解析】

分析】(1)利用倍角公式化简即可；

(2)利用同角三角函数关系和两角和的余弦公式可得.

【小问1详解】

"/、2COS2(Z-2sin(zcostzcos2a-sintzcos«

f(a)=--------------r—=----------------=COS6Z.

2(cos。-sin。)costz-sintz

【小问2详解】

JT3

因为a是第二象限角，所以一+24兀＜。＜兀+2左兀，左wZ,且sina=—,

25

M兀)(兀、71..71

故/a+—=cosa+—=costzcos——sintzsin—

I6j(6j66

(4、63146+3

二---X------------x—=--------------.

025210

18.在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b.

(2)如图2,如果。是AC与BD的交点，G是。。的中点，试用小匕表示AG.

【答案】(1)BF=b--a,DE=a--b

22

13

(2)AG=—ci—b

44

【解析】

【分析】(1)根据向量的线性运算结合图形直接表示即可;

(2)根据向量的线性运算结合图形直接表示即可.

【小问1详解】

因为瓦P分别是5C,DC中点,

所以8咒=8。+。/=4£>—』>18=人—』。,

22

DE=DC+CE=AB--AD=a--b.

22

【小问2详解】

因为。是AC与3D的交点，G是。。的中点，

uuurauuur3/TLWuum

所以5G=AD—AB)x,

unrtunuxrtun3,uuruumiuumaairir3r

AG=AB+BG=AB+-(AD-AB]x=-AB+-AD=-a+-b.

4、>4444

19.己知tanI+^-j=-3.

(1)求tan。的值；

(2)求sin28的值.

4

【答案】(1)2(2)y

【解析】

【分析】(1)根据两角和的正切公式求解即可；

(2)根据二倍角的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【小问1详解】

...tan]，+(tan^+1

=-3,・・.tane=2.

I4J1-tan^

【小问2详解】

.“2sin<9cos6^2tan<944

sin26=——--------==——-------=------=—.

sin20+cos20tan20+\4+15

71

20.如图，在扇形。尸。中，半径。尸=1,圆心角NPOQ二丁.C是扇形圆弧上的动点，矩形A5CO内接

于扇形，记NPOC=a.

Q

(1)将矩形A3CD的面积S表示成关于a的函数/(a)的形式;

(2)求/(a)的最大值，及此时的角e.

【答案】(1)/(<z)=(cos«-sina)sina(0<tz<—)

)4

jrA/2-1

(2)a=w时，/(a)取得最大值

2

【解析】

【分析】(1)借助三角函数定义及几何性质即可求解;

(2)借助三角函数性质即可求解.

【小问1详解】

Be

在△05。中，-^―=sina,BC=sina,

OBf

---=cosa,OB—cosa,

1

OA—DA=BC=sina

AB=cosa—sina,

S=/(a)=(cosa-sina)sina(0<a<：)；

【小问2详解】

r(\1•cl—cos2a

Sc=/(a)=—sin2a---------,

1•c1「1

二—sin2a+