2023-2024学年河南省信阳市中考数学四模试卷含解析

2023-2024学年河南省信阳市沂河区第九中学中考数学四模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（）

A.awOB.a：.2且a/0C.。>一2.或a/0D.a>-2且a/0

3.数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|>|c|,b・cVO,则原点的位置（）

B

-♦一♦S.

abc

A.点A的左侧B.点A点B之间

C.点B点C之间D.点C的右侧

4.由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（）

5.如图，在矩形ABCD中AB=0,BC=L将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A，BCD,点A恰好落在矩形

ABCD的边CD上，则AD扫过的部分（即阴影部分）面积为（）

A.fB.2V2-jC.正弋D.气

6.甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零

件.设乙每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（）

240_200240_200

A.B.

Xx—8x+8X

240200240200

C.--------二D.----------二

Xx+8x—8X

13

7.方程一——1=——的解为()

X-22-x

A.x=4B.x=-3C.x=6D.此方程无解

8.用圆心角为120。，半径为6c机的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（)

9.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有

14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是（）

D

08

00

8800

00

8830

第1个图服第2个图取第3个图形第4个图也

A.56B.58D.72

10.在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.计算：|-3|-1=_.

12.如图，在AABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，DE//BC.若AO=6,BD=2,DE=3,贝！|5C=

13.如图所示，直线y=x+l（记为八）与直线产加（记为L）相交于点PQ2）,则关于x的不等式x+l>mx+n的解集为

力

4

14.如图，在AACB中，NACB=90。，点D为AB的中点，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D

时得到AAiCBi.若AC=6,BC=8,则DBi的长为.

15.对于实数a,b,定义运算“※"如下：aXb=a?-ab,例如，5X3=52-5x3=1.若(x+1)X(x-2)=6,则x的值

为•

23

16.方程一=—的解是_________.

x-3x

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax?+bx+3交x轴于B、C两点(点B在左，点C

在右)，交y轴于点A,且OA=OC,B(-1,0).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)如图2,点D为抛物线的顶点，连接CD,点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE〃y

轴交线段CD于点E,设点P的横坐标为t,线段PE长为d,写出d与t的关系式(不要求写出自变量t的取值范围);

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BD,在BD上有一动点Q,且DQ=CE,连接EQ,当NBQE+NDEQ=90。时，

18.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH.

(1)求证：△AEHgZ\CGF；

(2)在点E、F、G、H运动过程中，判断直线EG是否经过某一个定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请

说明理由

19.(8分)某天，甲、乙、丙三人一起乘坐公交车，他们上车时发现公交车上还有A,B,W三个空座位，且只有A,

B两个座位相邻，若三人随机选择座位，试解决以下问题：

(1)甲选择座位W的概率是多少；

(2)试用列表或画树状图的方法求甲、乙选择相邻座位A,B的概率.

20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).

(1)将4ABC向下平移5个单位后得到△AiBiCi,请画出△AiBiCi；

(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90。后得到△A2B2c2,请画出21A2B2c2;

(3)判断以O,Ai,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)

21.(8分)计算：(jf1-2sin60+|l-tan6O|+(2019-^)°；解方程：4x(x+3)=x2-9

22.(10分)已知抛物线y=-2x?+4x+c.

(1)若抛物线与x轴有两个交点，求c的取值范围；

(2)若抛物线经过点(-1,0),求方程-2X2+4X+C=0的根.

23.(12分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).请画出△ABC向左平移5个单

位长度后得到的△ABC；请画出△ABC关于原点对称的△A—B-▲C一.；在1轴上求作一点P,使△PAB的周长

最小，请画出APAB,并直接写出P的坐标.

c

24.每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型

号的设备可供选购，经调查：购买了3台甲型设备比购买2台乙型设备多花了16万元，购买2台甲型设备比购买3

台乙型设备少花6万元.求甲、乙两种型号设备的价格；该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万

元，你认为该公司有几种购买方案；在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/

月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

试题解析：•••一根圆柱形的空心钢管任意放置,

不管钢管怎么放置，它的三视图始终是,主视图是它们中一个,

2、D

【解析】

根据二次根式和分式有意义的条件计算即可.

【详解】

解：...正包有意义，

a

.\a+2>0且a#,

解得a>-2且a#0.

故本题答案为：D.

【点睛】

二次根式和分式有意义的条件是本题的考点，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0,分式有意义的条件是分

母不为0.

3、C

【解析】

分析：

根据题中所给条件结合A、B、C三点的相对位置进行分析判断即可.

详解：

A选项中，若原点在点A的左侧，贝！||4<M，这与已知不符，故不能选A；

B选项中，若原点在A、B之间，则b>0,c>0,这与b・c<0不符，故不能选B；

C选项中，若原点在B、C之间，则时>卜|且b-c<0,与已知条件一致，故可以选C；

D选项中，若原点在点C右侧，则b<0,c<0,这与b・c<0不符，故不能选D.

故选C.

点睛：理解“数轴上原点右边的点表示的数是正数，原点表示的是0,原点左边的点表示的数是负数，距离原点越远的

点所表示的数的绝对值越大”是正确解答本题的关键.

4、B

【解析】

分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算

出总的个数.

解答：解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说

明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方体.故选B.

5、A

【解析】

本题首先利用A点恰好落在边CD上，可以求出A，C=BC'=1,又因为A，B=0可以得出AA，BC为等腰直角三角

形，即可以得出NABA\NDBD，的大小，然后将阴影部分利用切割法分为两个部分来求，即面积ADA，和面积DA1T

【详解】

先连接BD,首先求得正方形ABCD的面积为&xl=&，由分析可以求出NABA，=NDBD，=45。，即可以求得扇形

ABA，的面积为45义(四)71\_71,扇形BDD，的面积为45义(百)"1_3乃，面积ADA』面积ABCD—面积

-------------------/\----------------------------X----------

1802418028

A,C一扇形面积ABA=A/2—Ixlx———=72————；面积形面积BDD，一面积DBA，一面积BATT

2424

=--(V2-l)xlx--lxV2x-=--V2—,阴影部分面积=面积DATT+面积ADA，=卫

8'，22828

【点睛】

熟练掌握面积的切割法和一些基本图形的面积的求法是本题解题的关键.

6、B

【解析】

根据题意设出未知数，根据甲所用的时间=乙所用的时间，用时间列出分式方程即可.

【详解】

设乙每天完成x个零件，则甲每天完成(x+8)个.

240_200

即得,故选B.

x+8x

【点睛】

找出甲所用的时间=乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.

7、C

【解析】

先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入最简公分母进行检验.

【详解】

方程两边同时乘以x—2得到1—(x—2)=-3,解得x=6.将x=6代入x—2得6—2=4,；.x=6就是原方程的解.

故选C

【点睛】

本题考查的是解分式方程，熟知解分式方程的基本步骤是解答此题的关键.

8、C

【解析】

利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以In即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高.

【详解】

120〃x6,、

L—------------=4n(cm)；

180

圆锥的底面半径为4冗+271=2(cm'),

，这个圆锥形筒的高为后二手"=4应("〃).

故选C.

【点睛】

2

此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长=畛匚；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；

180

圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形.

9,B

【解析】

试题分析：第一个图形的小圆数量=卜2+2=4；第二个图形的小圆数量=2x3+2=8；第三个图形的小圆数量=3x4+2=14；

则第n个图形的小圆数量=n(n+l)+2个，则第七个图形的小圆数量=7x8+2=58个.

考点：规律题

10、D

【解析】

根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是D.

【详解】

解：观察图形可知图案D通过平移后可以得到.

故选D.

【点睛】

本题考查图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或

翻转.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、2

【解析】

根据有理数的加减混合运算法则计算.

【详解】

解：|-3|-1=3-1=2.

故答案为2.

【点睛】

考查的是有理数的加减运算、乘除运算，掌握它们的运算法则是解题的关键.

12、1

【解析】

根据已知DE//BC得出辿=匹进而得出BC的值

ABBC

【详解】

,JDE//BC,A£>=6,BD=2,DE=3,

Z.AADE^AABC,

ADDE

•••_一,

ABBC

••—9

8BC

:.BC=1,

故答案为1.

【点睛】

此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键在于利用三角形的相似求三角形的边长.

13、x>l

【解析】

把y=2代入y=x+l,得x=l,

.•.点P的坐标为（1,2）,

根据图象可以知道当x>l时，y=x+l的函数值不小于y=mx+n相应的函数值，

因而不等式x+Gmx+n的解集是：x>L

故答案为xNL

【点睛】

本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用.解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关

键点（交点、原点等），做到数形结合.

14、2

【解析】

根据勾股定理可以得出AB的长度，从而得知CD的长度，再根据旋转的性质可知BC=BC,从而可以得出答案.

【详解】

•.•在AACB中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

AB=ylBC2+AC2=A/62+82=10，

••,点D为AB的中点，

/.CD=—AB=5,

2

•将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△AiCBi.

，CBi=BC=8,

.,.DBi=CBi-CD=8-5=2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边中点的性质和旋转的性质，能够根据勾股定理求出AB的长是解题的关键.

15、2

【解析】

根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解.

【详解】

由题意得，(x+2)2-(x+2)(x-2)=6,

整理得，3x+3=6,

解得，x=2,

故答案为2.

【点睛】

本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键.

16、x=l.

【解析】

根据解分式方程的步骤解答即可.

【详解】

去分母得：2x=3x-1,

解得：x=l,

经检验X=1是分式方程的解，

故答案为X=l.

【点睛】

本题主要考查了解分式方程的步骤，牢牢掌握其步骤就解答此类问题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

,,57

17、(1)y=-x2+2x+3；(2)d=-t2+4t-3；(3)P(—,—).

24

【解析】

(1)由抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A,可求得点A的坐标，又OA=OC,可求得点C的坐标，然后分别代入

B,C的坐标求出a,b,即可求得二次函数的解析式；

(2)首先延长PE交x轴于点H,现将解析式换为顶点解析式求得D(1,4),设直线CD的解析式为y=kx+b,再将

点C(3,0)、D(1,4)代入，得y=-2x+6,贝(JE(t,-2t+6),P(t,-t2+2t+3),PH=-t2+2t+3,EH=-2t+6,

再根据d=PH-EH即可得答案；

(3)首先，作DKLOC于点K,作QM〃x轴交DK于点T,延长PE、EP交OC于H、交QM于M,作ER^DK

于点R,记QE与DK的交点为N,根据题意在(2)的条件下先证明△DQT^^ECH,再根据全等三角形的性质即

可得ME=4-2(-2t+6),QM=t-1+(3-t),即可求得答案.

【详解】

解：(1)当x=0时，y=3,

；.A(0,3)即OA=3,

VOA=OC,

.\OC=3,

AC(3,0),

•抛物线产ax?+bx+3经过点B(-1,0),C(3,0)

a—b+3=0

9a+3b+3=0

。=一1

解得：,c，

b=2

二抛物线的解析式为：y=-X2+2X+3；

(2)如图1,延长PE交x轴于点H,

AD(1,4),

设直线CD的解析式为y=kx+b,

k+b=4

将点C(3,0)、D(1,4)代入，得：,八，

3k+b=0

-k=-2

解得：\,/，

p=6

/.y=-2x+6,

,*.E(t,-2t+6),P(t,-t2+2t+3),

APH=-t2+2t+3,EH=-2t+6,

；.d=PH-EH=-t2+2t+3-(-2t+6)=-t2+4t-3；

(3)如图2,作DK_LOC于点K,作QM〃x轴交DK于点T,延长PE、EP交OC于H、交QM于M,作ER±DK

于点R,记QE与DK的交点为N,

VD(1,4),B(-1,0),C(3,0),

；.BK=2,KC=2,

/.DK垂直平分BC,

；.BD=CD,

/.ZBDK=ZCDK,

VZBQE=ZQDE+ZDEQ,NBQE+NDEQ=90。，

/.ZQDE+ZDEQ+ZDEQ=90°,即2NCDK+2NDEQ=90°,

.,.ZCDK+ZDEQ=45°,即/RNE=45°,

VER±DK,

；.NNER=45。，

:.ZMEQ=ZMQE=45°,

，QM=ME,

VDQ=CE,ZDTQ=ZEHC>ZQDT=ZCEH,

/.△DQT^AECH,

,\DT=EH,QT=CH,

,*.ME=4-2(-2t+6),

QM=MT+QT=MT+CH=t-1+(3-t),

4-2(-2t+6)=t-1+(3-t),

解得：t=d

2

p(r，

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点.

18、（1）见解析；（2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由见解析.

【解析】

分析：（1）由正方形的性质得出NA=NC=90。，AB=BC=CD=DA,由AE=BF=CG=DH证出AH=CF,由SAS证明

△AEH^ACGF即可求解；

（2）连接AC、EG,交点为O；先证明△AOE^^COG,得出OA=OC,证出O为对角线AC、BD的交点，即O

为正方形的中心.

详解：（1）证明：•••四边形ABCD是正方形，

.•.NA=NC=90°,AB=BC=CD=DA,

VAE=BF=CG=DH,

.\AH=CF,

在4CGF中，

AH=CF,ZA=ZC,AE=CG,

/.△AEH^ACGF（SAS）；

（2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：

连接AC、EG,交点为O；如图所示：

四边形ABCD是」正方形,

；.AB〃CD,

:.ZOAE=ZOCG,

在4AOE^ACOG中，

ZOAE=ZOCG,ZAOE=ZCOG,AE=CG,

/.△AOE^ACOG(AAS),

/.OA=OC,OE=OG,

即O为AC的中点，

•••正方形的对角线互相平分，

为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心.

点睛：考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中,

需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.

19、(1)-；(2)-

33

【解析】

(1)根据概率公式计算可得；

(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合要求的结果数，利用概率公式计算可得.

【详解】

解：(1)由于共有A、B、W三个座位，

甲选择座位W的概率为工，

3

故答案为：-；

3

(2)画树状图如下：

丙WBWABA

由图可知，共有6种等可能结果，其中甲、乙选择相邻的座位有两种，

21

所以P(甲乙相邻)

63

【点睛】

此题考查了树状图法求概率.注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等

可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20、(1)画图见解析；(2)画图见解析；(3)三角形的形状为等腰直角三角形.

【解析】

【分析】(1)利用点平移的坐标特征写出Ai、Bi,G的坐标，然后描点即可得到AAiBiCi为所作;

(2)利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2,从而得到AA2B2c2,

(2)如图所示，AAzB2c2即为所求;

(3)三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OAI="2+]2=后,AIB=752+32=^，

即OB2+OA12=A1B2,

所以三角形的形状为等腰直角三角形.

【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可

以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.

21-,(1)2(2)x1——3,x2——I

【解析】

(1)原式第一项利用负指数幕法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用绝对值的代数意义化简,

最后一项利用零指数塞法则计算可得到结果；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【详解】

(1)原式=2—6+6—1+1=2；

(2)4x(x+3)=%2-9

4x(%+3)=(%+3)(%-3)

(3兄+3)(尢+3)=0

Xj——3,/=一]

【点睛】

本题考查了实数运算以及平方根的应用，正确掌握相关运算法则是解题的关键.

22、(l)c>-2；(2)xi=-1,X2=l.

【解析】

(1)根据抛物线与x轴有两个交点，bJ4ac>0列不等式求解即可；

(2)先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后根据二次函数与一

元二次方程的关系解答.

【详解】

(1)解：•••抛物线与x轴有两个交点，

.\b2-4ac>0,

即16+8c>0,

解得c>-2；

(2)解：由y=-2X2+4X+C得抛物线的对称轴为直线x=l,

•.•抛物线经过点(