2023-2024学年海南省高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年海南省文昌中学高一（下）第一次月考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合力={x|-l<%<3］,B={xeN*\0<x<4］,则2CB=（）

A.{x|0<x<3}B.{x|-1<x<4}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.已知2=（3,2）,b=（—6,x）,若2与b共线，则x=（）

A.-4B.4C.9D.-9

1

5

2-是"cosx=〒"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.前，孩是平面内不共线两向量，己知荏二月一/c/，方=2及+/，而=3/—瓦，若4B,D三点、

共线，则k的值是（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知偶函数f（久）=2s讥（5+（p-方（3>0（<9<兀）的图象的相邻两条对称轴间的距离为与贝U

f的=（）

A.苧B.-<2C.-<3D./2

6.将函数y=sin（2x+g）的图象向右平移看个单位长度，所得图象对应的函数

（）

A.在区间件,为上单调递增B.在区间［即，兀|上单调递减

C.在区间伴弯］上单调递增D.在区间停,2兀］上单调递减

7.扇子最早称“罢”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等.扇文化是中国传

统文化的重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在

扇形的半径（图2）4。=120cm,圆心角为45。，且C为4。的中点，则该扇形窗子的面积为（）

222

A.^-cmB.13507TcmC.1350cmD.18007Tcm2

8.如图所示，正方形4BCD的边长为2,点E、F,G分别是边BC,CD,4D的中

点，点P是线段EF上的动点，则方•布的最小值为（）

A23

A下

B.3

「27

c-y

D.4

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是（）

A.对任意向量优b,都有同|向

B.对任意非零向量第b,都有|2+1|〈同+㈤

C.若向量游3满足@+方），0—方），则I引=1后I

D.若非零向量落方满足占1%则|为+方|=|周一|3||

10.已知函数f（x）=tanQx+》下列说法正确的是（）

A.函数的周期为2兀

B.（*,0）是函数y=f（x）的一个对称中心

C.2兀是函数y=|f（x）|的一个周期

D.不等式/（无）＞门的解集为（2卜兀5+2kn},k6Z

11.下列命题为真命题的是（）

A.在△ABC中，若屈•前＞0,则△4BC为锐角三角形

B.若P为A4BC的垂心，AB-AC=2,则而•通=2

C.ATIBC是边长为2的等边三角形，P为平面A8C内一点，则2同•(而+配)的最小值为-3

D.。为A4BC内部一点，3^1+40^+53?=?^,贝IU04B,△OAC,AOBC的面积比为2：1：1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若8£(0,^),tan0=I，则sin。—cosd=.

13.已知向量d=(-1,2),b=(1,3),则立在Lh的投影向量的坐标为.

14.如图，在平面斜坐标系xOy中，4比。y=60。，平面上任意一点P关于斜坐标系/y

的斜坐标这样定义：若OP=+y否(其中西\名分别是久轴，y轴正方向的单//

位向量)，则P点的斜坐标为(久,y),向量方的斜坐标为(x,y),而=(3,1)，~0N=

------------------►

(1,3),则AOMN的面积为.x

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知|初=4,|方|=2,乙方的夹角为寺.

⑴求|31+3的值；

(2)当k为何值时，(方+21)1(k五一B).

16.(本小题15分)

己知向量五=(sind,cosO—2sin8),b=(1,2).

⑴若沙/点求鬻喝的值；

''''l+3cosA3

(2)若向=丽，O<0<n,求。的值.

17.(本小题15分)

已知在中，N是边48的中点，且4丽=能，设AM与CN交于点P.记荏=落AC=b.

(1)用落石表示向量丽7,C7V；

(2)若2同=历|,且而，荏，求@3)的余弦值.

BMC

18.(本小题17分)

已知向量沅=—1),n=(sina)x,cos2tox)(to>0),函数/(%)=记•元图象相邻两条对称轴之间

的距离为攻

(1)求/(%)的解析式；

(2)若%()e[p^]M/(x0)=苧―1求cos2久°的值.

31ZoZ

19.(本小题17分)

已知函数f(x)=Asin{(i)x+0)+B(4>0,w>0,\<p\<])的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将函数y=/(©的图象上所有的点向右平移工个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2

倍(纵坐标不变)，得到函数y=。(久)的图象.

①当尤6[三,刍时，求函数g(x)的值域;

②若方程g(x)—m=0在[0,李上有三个不相等的实数根“%2>尢3(久1<X2<x3),求tan(%i+2x2+x3)

的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题.

先求出集合再由集合交集的定义求解即可.

【解答】

解：因为集合a={久I—1<x<3},B={%eN*\0<x<4}={1,2,3},

则anB={1,2}.

故答案选：c.

2.【答案】A

【解析】解：因为五=(3,2)5=(一6,久)，方与狭线，

所以3久=2x(-6),解得久=一4.

故选：A.

根据平面向量共线的坐标表示即可求解.

本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：sinx=x可为30。，150。等等，当x=150。时，cosl5(F=-苧，cos*力?，

所以"s讥x=是"cosx=苧”的不充分条件；

反之，当cosx=亨时，x可为30。，330。等等，当％=330。时，sm330°=—p

所以“sinx=,是“cos%=苧”的不必要条件.

故选：D.

已知三角函数值求角，注意角的取值不唯一，从而可判断两个条件之间的关系.

本题考查三角函数值，既不充分也不必要条件，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查向量共线的条件，属于中档题.

由4B,。三点共线，可构造两个向量共线，再利用两个向量共线的定理求解即可.

【解答】

解：•••4B,D三点共线，.•.四与丽共线，

••.存在实数人使得屈=4前；

---BD=CD-CB=3e]-e2—(2e1+e2)=e1—2e2,

・•・~e1—ke^=A(e7—2eJ),

・・•瓦瓦是平面内不共线的两向量，

I172力解得k=2.

l—k=—2A

故选B.

5.【答案】B

【解析】解：•.・函数/(%)=2sin(a)x+R-颉3>0,0V0V兀)为偶函数，，9二手

・•・函数图象的相邻两条对称轴间的距离为[二=号T=n=-,.-.(0=2,f(x)=2cos2x,

ZZZ(J)

/(y)=2cos^=-y[2.

故选：B.

根据/(X)为偶函数求得0的值，再根据图象的相邻两条对称轴间的距离为热求得3的值，可得函数的解析

式，从而求得f郎).

O

本题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性、单调性，以及图象的对称性，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数平移等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

将函数y=sin(2x+g)的图象向右平移巳个单位长度，得到的函数为：y=sin2x,增区间为[-^+时5+

j1U44

kji],k£Z,减区间为g+/CTT,乎+/CTT],kEZ,由此能求出结果.

44

【解答】

解：将函数y=sin(2x+0的图象向右平移养个单位长度，

得到的函数为：y=sin2x,

增区间满足：—，+2kyi<2%4]+2/CTT,kEZ,

减区间满足：+2kli<2%<+2/CTT,kEZ,

.,.增区间为[-]+Mr,]+/CTl],kCZ,

减区间为[J+kyi,孚+/CTT]fkEZy

44

.•・将函数y=sin(2x+”的图象向右平移器个单位长度，

所得图象对应的函数在区间俘，当上单调递增.

44

故选A.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查扇形面积的求法，牢记扇形面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.

根据扇形面积S=，aR2,并结合割补法，即可得解.

【解答】

解：因为4。=120cm,且C为4。的中点，

所以C。=60cm,

所以该扇形窗子的面积S=S扇形OAB一S扇形OCD

11

=214。『•N40B-2|CO『ZOB

=1x1202X7-^X602X7=13507rcm2.

Z4Z4

故选：B.

8.【答案】A

【解析】解：取4G中点为M,连接EM,FM,PM,

此时而•布=；[(GP+而尸-(GP-XP)2]

=海丽2—|的2)=两|2一$

要求而•存的最小值,

即求I两71的最小值,

易知SAEFM=S四边形ECDM—SACEF-S^DFM

=2(1+|)_ixi_lx|=5；

--22F一屋

又EF=Vl2+12=72.

此时_V2|PM|_5

皿口」ZEFM—2-4

解得I两I=苧，

所以Q.硝就“=|两|2_[=(竽)2_*圣

故选：A.

由题意，取4G中点为M,连接EM,FM,PM,根据向量的线性运算将求而.存的最小值，转化成求

|西|的最小值，利用梯形面积公式和三角形面积公式得到的面积，结合三角形面积公式列出等

式，即可求出|由|的值，进而即可求解.

由题意，本题考查平面向量数量积的应用以及线性运算，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4：设8=(优亦，则|cosO|Wl,

所以|五•方|=|初㈤cos。WI3||司,故A正确；

对于B：当向量3同向时，\a+b\-\a\+\b\,故B错误；

对于C：>(a+K)1(a-K),则伍+力・@一石)=0,

所以同2=\b\2,

所以同=\b\,故C正确；

对于。：若非零向量优3满足213,则8=90。，即2i=0,

所以|五+3『^a2+2a-b+b2^a2+b2^\a\2+\b\2,

X(|a|-|K|)2=|a|2-2|a||K|+|K|2,

所以|W+B|2H(同一面产,即|方+3|力同一向,D错误.

故选：AC.

根据数量积定义和三角函数有界性可判断4由向量三角不等式等号成立条件可判断B；根据向量垂直的充

要条件推导可判断C;根据己知比较|五+311布一|3112可判断。.

本题考查向量的运算，解题中需要熟练掌握向量的概念和运算，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：,•,/(%)=tan(1x+今,

T='=2n,A正确；

2

又1(4)+：乒领六2),

(一或0)不是函数y=/(x)的一个对称中心，8错误；

令g(x)=|tan(|x+^)|,则g。+2兀)=|tan[|(x+2兀)+刍|=|tan(1x+^)|=g(x),

•••2兀是函数y=g(x)=|f(久)|的一个周期，C正确；

由/0)>门，得tan(gx+E)>C,

+kn<2x+g<km+](keZ),

解得2/OT<%<2kn+g(keZ),

.•.不等式/(久)>，^的解集为(2/OT(+2for),keZ,O正确.

故选：ACD.

利用正切函数的周期性、对称性、单调性等性质对四个选项逐一分析可得答案.

本题考查正切函数的周期性、单调性与对称性的应用，考查运算能力，属于中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：对于4由南•前>0，可得|四|•|就|cos4>0，

所以cos4>0,所以角力为锐角，而角B,C不能确定，

所以△ABC不一定为锐角三角形，所以A错误；

对于B,因为P为△ABC的垂心，所以而•通=0，因为彳月•前=2，

所以布•用=(AC+CP)-AB=AC-AB+CP-AB^2+0^2,所以2正确；

则4(0，CB(-l,0),C(l,0),设PQ,y),

则万=(一%,C-y),而=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y)-

所以2成•(而+正)=(-2x,2/3-2y)■(-2x,-2y)

—4x2—4V~3y+4y2—4/_|_43_?)2_3，

所以当％=0且丫=苧时，2万・(丽+配)取得最小值一3,所以C正确;

对于D,在AABC中，因为3瓦？+4a+5芯=方，

所以3旅+4加+5元=南一元，即3m+34=一6而，

所以瓦？+南=—2灰，即。1+加=2访，

取4B边上的中点D,连接。D,

则瓦？+砺=2话，所以方=说，

所以C,0,D三点共线，且。为CD的中点，

所以S440c=S"OD=SHBOC=SABOD，

所以SAOAB：SAOAC：SAOBC=2：1：1,所以。正确.

故选：BCD.

对于4由希•左>0可判断角4为锐角，不能判断角8,C是否为锐角；对于8,由题意可得方.荏=

0,再结合数量积的运算律和向量的加法运算化简变形即可；对于C,建立平面直角坐标系，利用坐标表示

向量，设出点P的坐标，化简计算2成・(丽+配)可得结果；对于。，由己知得瓦5+加=2万，从而得

SAAOC=SAAOD=S4B0C=SNBOD，进而可求得△OAB,△OAC,△OBC的面积比・

本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题.

12.【答案】-3

【解析】解：因为ee(0,9贝卜讥e>0,cose>o,

又因为tan9=鬻=5则cos。=2sM0,

Mcos20+sin20=4sbi2。+sin20=5sin29=1,

解得sin。=*或sin。=-?(舍去)，

所以sinS—cosd=sind—2sin9=—sind=一蹩.

故答案为：-g.

根据同角三角关系求s讥氏进而可得结果.

本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题.

13.【答案】言|)

【解析】解：a=(-1,2),b=(1,3)，

则a在行上的投影向量的坐标为用x声=71sx搐=颉=6,|).

故答案为：.

根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

14.【答案】20

【解析】解:设与无轴方向相同的单位向量为瓦，与y轴方向相同的单位向量为石，

则。M=3瓦+瓦，ON=瓦+3匹,NM=0M—ON=2瓦—2瓦,e7-ej=cosd=

所以|丽『=Q可一2砧2=4可2+4&2_8否.&=*所以|两|=2,

又因为|而『=©瓦+五)2=9工2+前2+6区•石=13,所以|丽|=百②|而『=(瓦>+3部)2=

瓦2+9西'2+6瓦•西'=13,所以|ON|=713；

故〃OMN=3X2XJ(AA13)2-1=273.

故答案为：2c.

设平面内一组不共线的基底，则根据题意可以将丽=(3,1),丽=(1,3)用瓦，石表示，即可求得三角形

的三边长，进而可以求得三角形的面积.

本题考查平面向量基本定理，属于中档题.

15.【答案】解：⑴由忻|=4,\b\=2,R与3的夹角是为今

->217"

则五•b=4X2xcos—=—4,

所以|3五+3|=、(33+及2

=J9|a|2+6a-K+|K|2

=79x16+6x(-4)+4

—2731；

(2)由@+23)1(fca-K),

则@+29)■(^ka-b)=0,

即kf—2片+(2k—1)17=0,

即有16k-2x4-4(2/c-1)=0,

解得k=5.

即有当k为抖，(a+2b)1(fca-K).

【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的模，主要考查向量垂直的应用，属于基础题.

(1)运用向量的数量积的定义和向量的模的计算即可得到；

(2)运用向量垂直的条件：数量积为0,化简整理，解方程即可得到k.

16.【答案】解：(1)a//b,•••2sin3=cos3—2sin3,A4sin0=cos0,

cos3HO,•••tand=7,

4

sinO♦cosOsinO•cosOtanO4

"1+3cos20-sin20+4cos2。-tan20+4-65

(2),•,|a|=|K|,sin20+(cosO—2sin0)2=5,

•••1—4sin6cos3+4sin20=5,

・•・—2s讥26+2(1—cos23)=4,

••・sin23+cos20=—1,

71V~2

••sin(2e+4)=一彳

0<0<7T,74<20+74<4

二2。+»印或2。+；%

...”舞”空.

【解析】(1)由共线定理结合齐次式弦化切可求；

(2)由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得sin(2。+J)=-?，再结合三角函数的性质可得到结

4Z

果.

本题考查了平面向量的共线定理、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

17.【答案】解：(1)配=1?一通=另一落

-->-->-->-->1-->

AM=AB+BM=AB+-BC

4

^a+^(b-a,-)=la+^b,

11

心K

CN=CA+AN=-AC2-2-

(2)・・・N,P,C三点共线，又CP148,

・•・CW1AB,

0=67V-XB=(|a-K)-a,即,为『二3•落

/.11a|2=|a||b\cos(a,b)=2|方12cos位历，

•••cos(a,b)=J,〈乙石)的余弦值为

44

【解析】(1)根据平面向量的基底与三角形法则即可用洒另表示向量前，CN；

(2)由91荏得前1荏，代入向量数量积公式即可求得〈乙亦的余弦值.

本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，属中档题.

21+c(2a)x

18.【答案】解：(1)/(%)=yT3sina)xcosa)x—cosa)x=字sinlsx—^>

=sin(2tox——)——f

•・,T=2x2a)=呼=2,即/(%)=sin(2x—^)—

(2)vf(%0)=?一卷••sin(2x0一看)=?•

•••%oe冷裳］,2%oYwg,"］，

•••sin(2"。一沪苧<苧

2&Y6停,兀］,cos(2x0Y)=—苧

cos2x0—cos［(2x0―看)+£=cos(2x0-京)cos'—sin(2x0-看)si琮=-3/^HQ

【解析】本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数的图像与性质，平面向量数量积，考查了运算求解能

力，属于基础题.

(1)由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式/(久)=sin(23%-分-由题意可知其周期为

n,利用周期公式可求3,即可得解函数解析式.

(2)由/(&)=半一］可得sin(2%0-3)=半结合式0£单碧］,得cos(210一看)=一等由cos2%o=

cos[(2%o-9+g计算即可.

31

1

2--2-