广西南宁市2024届高三3月第一次适应性测试数学试题（原卷版）

南宁市2024届普通高中毕业班第一次适应性测试

数学

注意事项：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.设复数4*2在复平面内的对应点关于实轴对称，若ZI+Z2=2,（Z-Z2）1=2,（i为虚数单位），则马=

（）

A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i

2.已知集合人=卜1==若则所有。的取值构成的集合为（）

A.{-1}B.{-1,1}C.{0,1}D.{-1,0,1}

，、a=1

3.已知数列｛为｝的首项（其中QW1且〃。0）,当〃22时，n~----，则。2024=（）

V-an-\

B.-'―

A.aC.1--D.无法确定

1—Cla

4.(1-x3)[f-;展开式中的常数项为（)

A.60B.4C.-4D.-64

5.已知DABC的外接圆圆心为0,且2/斤=而+恁,|国|=|/4,则向量场在向量无上的投影向量

为（）

A.-CBBC.--CBD.

4口4

r2y2

6.已知双曲线E：二=13〉0/〉0）的右焦点为P，右顶点为A,过点歹的直线与双曲线E的一条

a

渐近线交于点尸，与其左支交于点Q,且点P与点Q不在同一象限，直线AP与直线。。（。为坐标原点）

第1页/共4页

的交点在双曲线E上，若而=-2而，则文曲线E的离心率为（）

厂7

A.出B.2C.-D.3

7.在边长为4的菱形ABC。中，ZABC=120°.将菱形沿对角线4c折叠成大小为30。的二面角

B'-AC-D.若点E为3'C的中点，/为三棱锥B'-ACD表面上的动点，且总满足AC_LEF,则点尸

A.4+人一亚B.4+#>+6c.4+V6-V2D.4+指+行

22

8.已知函数“X）的定义域为R,〃x+y）/（x—y）=/（x）—尸⑴，且当尤>0时，〃％）>0,则（）

A./（0）=1B./（x）是偶函数C.“X）是增函数D.是周期函数

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.下列说法中，正确的是（）

A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第40百分位数为12

B.若样本数据2项+1,2%+1,……,2毛0+1的方差为8,则数据看,尤2,……，再o的方差为2

C.已知随机变量X服从正态分布若尸（X2—2）+P（X26）=1,则〃=2

D.在独立性检验中，零假设为Ho：分类变量X和F独立.基于小概率值4的独立性检验规则是：当

力24%时，我们就推断Ho不成立，即认为X和y不独立，该推断犯错误的概率不超过a；当?2〉兀

时，我们没有充分证据推断“°不成立，可以认为x和y独立

10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四

周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个

座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动f分钟后距离地

面的高度为〃米，当f=15时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处.如图，以摩天轮的轴心。为原点，

与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则H（7）=Asin（ajt+0）+伙A>0,。>0,闸<兀），下列说法中

正确的是（）

第2页/共4页

A.”关于。的函数”（。是偶函数

B.若在。时刻，游客甲距离地面的高度相等，则A+L的最小值为30

C.摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟

D.若甲、乙两游客分别坐在P,Q两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧

P。的弧长/=驷米

3

11.已知抛物线C:/=4x的焦点为歹，过歹作两条互相垂直的直线小小4与C交于尸、。两点，4

与C交于M、N两点，P。的中点为G,MN的中点为〃，则（）

A.当|P可=2|QF|时，|MN|=36B.|PQ|+|MN|的最小值为18

C.直线GH过定点（4,0）D.□尸GH的面积的最小值为4

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为.

兀17

13.已知0<a<—<P<7i,cos/?=--,sin（0+广）=§,则tana=

14.已知函数/（£）=（%-1）。'+加的最小值为一,则实数。的取值范围为.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜

色外完全相同.

（1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1

号盒子的概率；

（2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2

分，摸到白球得1分，用X表示这3个球的得分之和，求X的分布列及数学期望.

16.如图，四棱柱ABC。-A181GA的底面A6C。是棱长为2的菱形，对角线AC与3。交于点

。=60°,N4A5=NA]AD,A4]AC为锐角，且四棱锥A—的体积为2.

第3页/共4页

(1)求证：4。，平面48CD；

(2)求直线AR与平面3D。与所成角的正弦值.

17.已知函数"X)=e",g(x)=hw.

(1)若直线/与函数〃x)和g(x)均相切，试讨论直线/的条数;

(2)设〉0,/[—)+g[%)=1,求证:

a+b>ab.

18.已知点E(2,0)和圆。：(%+2)2+/=36,〃为圆。上的一动点，线段板的垂直平分线与线段

相交于点S,记点S的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)已知点N(0,l),若曲线E与无轴的左、右交点分别为A3,过点T(LO)的直线/与曲线E交于

尸、。两点，直线AP、3Q相交于点。，问：是否存在一点。，使得|DM|+|DN|取得最小值？若存

在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

19.若无穷数列｛4｝满足。1=0,|。用—％|=〃冷,则称数列｛%｝为£数列,若夕数列｛4｝同时满足

4<?，则称数列｛%｝为/数列.

(1)若数列｛%｝为£数列,/(«)=l,neN*,证明：当以V2025时,数列｛4｝为递增数列的充要条件

是。2025=2024;

(2)若数列也｝为/数列，/(〃)=〃，记3=瓦，,且对任意的〃eN*，都有C"<c〃+i，求数列｛g｝的

通项公式.

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南宁市2024届普通高中毕业班第一次适应性测试

皿「、、九

数学

注意事项：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.设复数4*2在复平面内的对应点关于实轴对称，若4+Z2=2,（Z］-Z2）I=2,。为虚数单位），则马=

（）

A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法运算即可求解.

2

［详解］由（4-?2）i=2可得4―4=—=—2i,结合4+Z2=2,故4=l—i,

i

故选：D

2.已知集合人=卜|ax=l,aER},B={-i,l},若则所有。的取值构成的集合为（）

A.{-1}B.{-1,1}C.{0,1}D.{-1,0,1）

【答案】D

【解析】

【分析】根据子集的概念求得参数。的值可得.

【详解】。=0时，4=0满足题意，

°工0时，ax=1#x=—,所以工=1或1=一1,a=l或a=-l,

aaa

所求集合为{-1,0/}.

故选：D.

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1

3.已知数列｛。〃｝的首项q=〃（其中且。。0）,当〃>2时,)

A.aB.------C.1-----D.无法确定

1—〃a

【答案】B

【解析】

【分析】逐项计算得出数列的周期进而可得.

a-1_1

1a=___-___

3T，%、故数列｛4｝的周期为3

【详解】%=a,a2=——,11

-1-a1-~—1---------

1-aa

故a2O24=a3x674+2=%=•

1-tZ

故选：B

C.-4D.-64

【答案】C

【解析】

【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解.

6r

【详解】二项式g-京）的展开式的通项公式为Tr+I=（-l）C；-2”.x'W厂=0,1,2,3,4,5,6>

令6-亘=0,求得r=4,令6=-3,求得r=6,

22

故其展开式中的常数项为（-1『或•22-（-球C〉26=60-64=-4

故选：C

5.已知O4BC的外接圆圆心为。，且21刁=赤+恁,|国|=则向量EA在向量无上的投影向量

为（）

A.-CBB.立而C.--CBD.-CA

4442

【答案】A

【解析】

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【分析】根据题意，得到0B=-0C，得到点。为线段的中点，得出口48。为直角三角形，且

□A0C为等边三角形，进而求得向量国在向量无上的投影向量.

【详解】由2市5=通+恁，可得（赤—加）+（恁—市5）=赤+反=6，

所以砺=—反，即点。为线段BC的中点，

又因为DABC的外接圆圆心为。，所以口48。为直角三角形，所以|次卜万斗

因为。3=可得『可=|印4=|反|,所以口A0C为等边三角形，

故点A作可得|CD|=|AqcosNACB=5|AC|,所以茜=“

因为向量国在向量在同向，所以向量E4在向量在上的投影向量为工通.

4

故选；A.

6.已知双曲线E:j—1=1（。〉0］〉0）的右焦点为歹，右顶点为A,过点歹的直线与双曲线E的一条

ab

渐近线交于点尸，与其左支交于点Q,且点尸与点。不在同一象限，直线AP与直线。。（0为坐标原点）

的交点在双曲线片上，若而=-2而，则文曲线石的离心率为（）

「7

A.-^3B.2C.—D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根据对称性可判断四边形。‘尸。尸为平行四边形，即可利用相似求解.

【详解】设尸为双曲线的左焦点，

由于直线4尸与直线。。（。为坐标原点）的交点。在双曲线E上，

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所以0与。关于坐标原点对称，又。是下户的中点，故四边形Q'F'QF为平行四边形,

故尸//QF,FQ=QF,故口尸0N[BPFA,

F'Q1F'Ac+aQF

=3,苗[c—2〃,・・e=2,

PFFAc-aPF

7.在边长为4的菱形中，ZABC=120°.将菱形沿对角线4。折叠成大小为30。的二面角

Bf-AC-D.若点E为夕C的中点，尸为三棱锥9-28表面上的动点，且总满足NC_LM,则点F

轨迹的长度为()

后-口仁

A.4+B.4+6+c.4+V6-V2D.4+V6+V2

22

【答案】A

【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求90=遥-发，进而利用线面垂直可判断点尸轨迹为

△EPQ,求解周长即可.

【详解】连接NC、BD,交于点O,连接05',

4BCD为菱形,ZABC^120°,

所以NC/BD,OB'1AC,0DVAC,

所以AB'OD为二面角B'-AC-D的平面角，

于是NHOZ)=30°,

又因为08,=OZ)==2,

所以8D=>JB'O2+DO2-2B'ODOCOS3Q°=^22+22-2X2X2=>/6-V2，

第4页/共20页

取。。中点尸，取CO中点Q,连接“、EQ、PQ,所以PQ//O。、EP//OB',

所以ACLEP、ACLPQ,EP,EQ相交,

所以AC,平面EPQ,

所以在三棱锥B'-ACD表面上，满足AC±EF的点F轨迹为△砂。,

因为石尸=工。笈，PQ=-OD,EQ=-B'D,

222

所以△EP。的周长为:x(指一正+2+2)=4+J1一血,

所以点F轨迹的长度为9+述

2

8.已知函数/'(%)的定义域为区,下(x+丁)/(%-丁)=产(元)-产(丁),且当.%>0时,”％)>0,则()

A./(O)=lB./(x)是偶函数C.7(X)是增函数D.“X)是周期函数

【答案】C

【解析】

【分析】对A,令x-y=0求解即可；对B,令龙=0化简可得/(-y)+〃y)=0即可；对C,设％>为>0,

结合题意判断产(马)一产(%)>。判断即可；对D,根据f(x)是增函数判断即可.

【详解】对A,令x—y=0,贝iJ/2(O)=/2(o)—f2(o),得/(o)=o,故人错误;

对B,令x=0,得(一丁)=产(0)一产(y),

由/(0)=0整理可得/("[/(一y)+/3]=0，

将y变换为-y,贝1J/(-y)[/(y)+/(-y)]=o,

故"(>)+/(—丁)]2=0，故/(一y)+/(y)=。，故/(%)是奇函数,故B错误；

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对C,设％"＞0,则/（%2）＞°"（%）＞°，

且尸（々）一尸（石）=（/（々）+/a》）一/&））

=/（x2+x1）/（x2-%1）＞0,故产（%）一产（%）＞0，则，（％）＞“石）.

又"0）=0，〃X）是奇函数，故"X）是增函数，故C正确；

对D,由f（x）是增函数可得/（x）不是周期函数，故D错误.

故选：C

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.下列说法中，正确的是（）

A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第40百分位数为12

B.若样本数据2项+1,2%+1,……,2毛0+1的方差为8,则数据再，尤2,……，再o的方差为2

C.已知随机变量X服从正态分布若尸（X2—2）+P（X26）=1,则〃=2

D.在独立性检验中，零假设为Ho：分类变量X和F独立.基于小概率值a的独立性检验规则是：当

力24%时，我们就推断Ho不成立，即认为X和y不独立，该推断犯错误的概率不超过a；当?2〉兀

时，我们没有充分证据推断“°不成立，可以认为x和y独立

【答案】BC

【解析】

【分析】对A,根据百分位数的定义求解即可；对B,根据方差的公式推导数据再,斗，…，再0的方差与

2%+1,2%+1,……,2%。+1的方差关系求解即可；对C,根据正态分布的对称性推导即可；对D,由独立

性检验的性质判断即可.

【详解】对A,由于10,11,11,12,13,14,16,18,20,22共10个数据,且10x0.4=4,

故第40百分位数为第4,5个数据的平均数为乜士竺=12.5,故A错误；

2

对B,设数据m，%?,…,/0的平均数为于=1々q°.+了。，方差为

/=亿（％1—亍J+（々一歹J+…+（%10一亍『，

则数据2石+1,2尤2+1,……,2%+1的平均数为

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_（2%+1）+（2/+1）+,-+（2/+1）_2（菁+%+…，+/）+1。_2丁+]

1010

方差为s；=

=[（2%—2x）+（2x2-2x）H—,++…+国

=4s~=8＞所以/=2,故B正确;

对C,尸（X»—2）+尸（X26）=l则尸（X26）=l-尸（X2-2）=尸（X〈一2）,即

P（X>6）=P（X<-2）,由正态分布N（〃,/）的性质可得〃=_=2,故C正确；

对D,在独立性检验中，零假设为Ho：分类变量X和丫独立.基于小概率值a的独立性检验规则是：当

2

Z>xaBt,我们就推断Ho不成立，即认为X和V不独立，该推断犯错误的概率不超过a；当力2<%

时，我们没有充分证据推断“0不成立，可以认为x和y独立.故D错误.

故选：BC

10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四

周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个

座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动f分钟后距离地

面的高度为X米，当f=15时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处.如图，以摩天轮的轴心。为原点，

与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则H⑺=Asin（祝+9）+伙A>0,。>0,倒<兀）,下列说法中

正确的是（）

A.H关于/的函数是偶函数

B.若在不冉（%时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30

C.摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟

D.若甲、乙两游客分别坐在P,Q两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧

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尸。的弧长/=——米

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A,先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B,根据

TTTTTTTT

代入解析式可得一%1=2E+—L,或一％=2E-—12,进而可判断；对C,求解

7T

50sin'+60285即可；对D,由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为二，进而可得

劣弧尸。的弧长.

27r7T

【详解】对A,由题意，A=50^=110-50=60,7=30,«=—=—,

3015

所以=50sin1^|r+e）+60,当/=o时，可得sin°=—l,所以°=一_|,

故H«)=50sin信弓+60,“20),所以“⑺是非奇非偶函数，故A错误;

对B,由题意"（％）=H«2），即50sin[-iJ+GOuSOsinlRLj+60,

兀兀兀兀[、兀兀

即cos—t,=cos—tr,,所以——2kli-\---，或—1—2kli------,

1511521511521]51152

（keN，4>°，/220）,即4=^+30左或4+%2=30左，+^2）min=30,故B正确;

对C,由题意50sin(—t—]+60285,即sin1—t—]之一,即cos—tW—,

一1152)1152)2152

所以2也+当三；|/42也+弓，(左eN),解得3(R+104f<30左+20,(左eN).

所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确;

对D,因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，

2兀71

故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为一=一，

3618

7T7T

因为P,。两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧尸。对应的圆心角是一x6=—,

183

TT

故/=—x50=——(m).故D正确.

33

故选：BCD

11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为E,过歹作两条互相垂直的直线I4，4与C交于尸、。两点，6

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与。交于M、N两点，尸。的中点为G,MN的中点为H,则（）

A.当|P日=2|QF|时，|MN|=36B.|PQ|+|MN|的最小值为18

C,直线GH过定点（4,0）D.口尸6”的面积的最小值为4

【答案】AD

【解析】

【分析】设直线/1和4的方程，与抛物线方程联立，再利用焦半径公式求解弦长，结合基本不等式判断AB,

利用两点求出直线方程，求解直线恒过定点判断C,将面积分割，结合韦达定理，再利用基本不等式求解最

值判断D.

【详解】对于A,由题意得E（l,0）,设直线4方程为x=〃zy+l,则,2方程为％=—工丁+1，

m

P（石,%），Q（x2,y2）,P（%3，%）,N（x4,y4）,

x=my+1

联立直线乙方程与抛物线方程得J一4机y—4=0.则A〉0,%+%=4m,%%二-4，同理

y2=4x

%+为=-±％为=-4,X\PF\=2\QF\,

m

所以％=—2%，所以疗=L所以|"2=色+3+2=—,（丫3+%）+2+2=之+4=36,故A正

8mm

确；

对于B,由A知，[MN[=%3+/+2=（%+%）+2+2=——+4

mm

|尸。|=再+%2+2=根（玉+%2）+2+2=4m2+4,

所以|P0+|MN|=4根2+4+上+4=4根2+金+8224根2・总+8=16,

rnm1\

4

当且仅当4加9-=—即加=±1时，等号成立.故B错误;

m

2

2m+—

对于C,由A知，G（2m-+l,2m）,H\^+所以直线GH：y—2m=---------—2m2—ij,

7）

'\mm2m2-----y

m

令y=0得x=3,所以直线GH恒过定点（3,0）,故C错误;

对于D,由C知直线G8恒过定点（3,0）,

第9页/共20页

[22

所以吊s■时区-端=儿-端=2加+二|2同+肃4,

当且仅当〃2=±1时，等号成立.故D正确;

故选：AD

【点睛】思路点睛：1.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在

和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题；2.一般涉及

三角形面积问题时，采用面积分割法，结合韦达定理，利用基本不等式法求解范围或最值.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为.

【答案】2:3.

【解析】

【分析】

根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.

【详解】设球的半径为几则圆柱的底面半径为尺高为2R

222

S圆柱=2兀R-2R+2-TTR=6兀R,S球=4万7?,

2

/.S球：S圆柱=4万尺2:6兀R=2:3.

故答案为：2:3.

【点睛】本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题.

兀7

13.已知0<a<,<£<;i,cos£=-13，sin(a+£)=§,则tana=

9

[答案】

4

【解析】

【分析】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得sina,进而可得tana.

【详解】由题意，sin^=71-cos2^=—，且g<a+夕<?,故

322

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cos(a+£)=_J]_sin2(a+0)=------

故sina=sin+=sin+cos/3-cos(a+^)sin/3

711)14毋272_1

1

,_3_夜

tancc——-j=-——

2724,

3

故答案为：显

4

14.已知函数"x)=(xT)e*+ax2的最小值为,则实数a的取值范围为.

【答案】［0,+")

【解析】

【分析】求出导函数，根据。的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.

【详解】因为"X)=(x-l)e*+加，所以尸(x)=xe"+2ax=x(e*+2a),

若a20,则xe(—",0)时，/，(x)<0,故/(x)在(一叫0)上单调递减，

xe(0,+e)时,/'(x)>0,故〃x)在(0,+oo)上单调递增，

所以当x=0时，〃x)有最小值〃0)=-1,满足题意；

若a<0,则当x无限趋近于负无穷大时，/(%)无限趋向于负无穷大，f(x)没有最小值，不符合题意；

综上，a>0,所以实数。的取值范围为［0,+e).

故答案为：［0,+")

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜

色外完全相同.

(1)先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1

号盒子的概率；

(2)如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2

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分，摸到白球得1分，用X表示这3个球的得分之和，求X的分布列及数学期望.

9

【答案】(1)—

22

(2)分布列见解析，数学期望是三

5

【解析】

【分析】(1)应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可；

(2)由题设X的可能值为3,4,5,6,并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望.

【小问1详解】

记“摸出球的结果是一红一白”为事件4“选择1号盒子”为事件耳，”选择2号盒子”为事件当,

则P⑷=「但).，尸(川耳)=缨=|,尸(A忸2)=詈=.，

乙X-zffJJQJLJ

由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为

P⑷勺=,勺用?小⑻可—二2

17

\1尸(A)+|P(51|A)+|P(B2|A)

【小问2详解】

由题意，X的可能值为3,4,5,6.

…八2C；2152…八2C©3C；22431531

P（X=3）=-x—=-x—PX=4）=—+—xT=—x—+-x——=—,

JV-✓iJIJLJ\'5C；o5C；。54554575

…2c3cic'26324283C2362

P（X=5）=—x^-+-x46=—X—+-X——=尸（X=6）=J方—x——

、,5或5C；。545545750Jo54525

16.如图，四棱柱ABC。—A4GA的底面ABC。是棱长为2的菱形，对角线AC与3。交于点

O,NBA。=60°,NAA3=N4AD,A&=J&NAAC为锐角，且四棱锥A—BCC/i的体积为2.

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（1）求证：平面48CD；

（2）求直线AD,与平面BD'Bi所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵—

8

【解析】

【分析】（1）先利用体积分割及等体积法求得四棱柱ABCD-A4G2的高为6，过点A作平面

ABC。的垂线，垂足为。'，利用三角形全等证明点。'与。重合，即可证明线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值.

【小问1详解】

设四棱柱ABCD-A4GA的高为h,

因为四边形是平行四边形，所以呈BBQ=S口51cle，所以％-期C二匕—妫CQ'

所以匕-BCCXB{=^A-BBXC+匕—8”=2vA一网C=^B1-ABC，

所以2x」xSn4“x/i=2,且用人”=—x2x2xsinl20°=A/3,

3U/iDC-U

所以/z=G，即四棱柱—的高为VL

因为△48。为正三角形，所以40=32AB=G，

2

因为==AD,所以口4AB立AAD,于是43=4。，

过点A作平面ABC。的垂线，垂足为。'，所以口4。'3立4。'。，

所以05=0'。，从而口AO'B咨AOZ>,故/A4O'=/ZMO',

所以点。'在对角线AC上.因为A4,=瓜40，=6,

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所以AO'=G=^AC,故点。为对角线AC与3。的交点，即点。'与。重合,

2

因为底面ABC。是棱长为2的菱形，所以AC/8。，

因为A。，平面ABC。，OAu平面ABC。，08u平面ABC。，

所以4。，。4，LOB,即OA,OB,0A｝两两垂直，

以。为坐标原点，以。4,。3,。4方向为x,%z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（V3,0,0）,B（0,1,0）,D（0,-1,0）,（0,0,V3）,由g=而得21-也,-1,塔,

由M=而得与卜百,1,百），所以可=（-2A/3,-1,V3）,

设平面BDRB1的一个法向量为n=（x,y,z）,瓦瓦=（0,—2,0）,西=卜百,—2,百），

n-B.D=—2y=0（、

所以,]广r-令尤=1，所以”=（1,0』），

元・町=-J3x-2y+j3z=0

设直线AD,与平面BDD&]所成的角为氏

所以sin，=|cosADi,n

所以直线AD,与平面BDD]B]所成角的正弦值为45.

8

17.已知函数=e*,g（x）=hw.

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(1)若直线/与函数“X)和g(x)均相切，试讨论直线/的条数;

(2)设a力+=求证：a+b>ab.

【答案】(1)2条(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导，分别求解“X)和g(x)的切线方程，进而可得彳马，构造函数

(1—x,)e国=Inx2-1

可力=(1-力1+》+1,求导确定函数的单调性，进而结合零点存在性定理判断根的个数即可求解，

(2)通过换元以及指对互化，构造函数qQ)=ln(l-/)+e',求导判断函数的单调性，即可求证.

【小问1详解】

设直线/与函数“X)和g(x)分别相切于A(Xi，e』),3(X2,lnx2)，

由/'(x)=eX,g'(x)=!可得e%=’,

%X2

直线/方程为y—e』=e』(x-xj以及yTnx?=}(x—%)，

，1

e1=—

故1马，进而。一xje否+/+1=0,

(l-xje』=lnx2-1

令/?(x)=(l-x)eY+x+1,h'^x)=~xcx+1,

记，(x)=-xe*+1,「(x)=-(x+1)e”,

当x〉0,《x)=〃(x)单调递减，

x<一l/(x)〉0,《x)=〃(x)单调递增，

又x<0/(x)〉0,f⑴=l—e<0,故存在唯一的5e(O,l),?(xo)=O,

故当xe(-co,Xo),/(%)=〃(%)〉0,/7(%)单调递增，

当xe(Xo，+oo),/(x)=〃(x)<0,/z(x)单调递减，

，(x)max=〃(Xo)〉MO)=2〉O，

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又/z(2)=3—e?<0,/z(—2)=—l+3e-2<0,

因此〃(x)存在两个零点，故直线/的条数为2条.

【小问2详解】

令机则机>0,〃>0,

ab

由/[4]+g]|J=ln/(/n)+g(〃)=lne"+ln〃=l,由于e"〉1,故ln〃<0,

令/=ln〃<0,则〃=e',e"'=1—7,故m=

故机+〃=ln(l-，)+e'/<0

记g⑺=ln(lT)+y)二^-+e=L+"；卜,

记〃(。=1+(%-1)a,〃'(。二2<0,所以P(。在(-8,0)单调递减，故p")〉p(0)=0,

故/⑺」+('Te<0,q(。在(-8,0)单调递减，故q(7)〉q(O)=l,

所以机+〃〉1,即工+工>1,a+b>ab

ab

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：

1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

2.利用