用好变式策略发展核心素养

【摘

要】重复练习、低水平训练是现实教学中常见的现象。为了解决这个问题，教师可以采用变式的方法，根据教材中的一道习题变化出各种层次的题目，把相关知识串联起来，让学生在不同层次的习题练习中，以少练、精练实现减负提质增效。以一道计算平行四边形面积的习题为例，提出“从复杂变简单、从直接变间接、从正向到逆向、从封闭到开放、从单一到综合、从静态到动态、从数学到生活”七个变式策略，帮助学生有效巩固基础知识，形成基本技能，提升数学能力，发展数学核心素养。【关键词】变式策略；平行四边形面积计算；核心素养；习题“双减”政策颁布以来，作业设计成为专家、学者和一线教师共同关注的焦点。然而，现实教学中仍然存在重复练习、低水平训练的现象，导致学生只能停留在“了解”“理解”水平，很少达到“掌握”“运用”水平。为了解决这个问题，教师可以采用变式的方法，根据教材中的一道习题变化出各种层次的题目，把相关知识串联起来，让学生在不同层次的习题练习中，以少练、精练实现减负，提质增效，帮助学生有效巩固知识、形成技能，提升数学能力，发展数学核心素养。那么，怎样将一道习题变式为具有探索性和综合性的习题，以促进学生的深度学习，发展数学核心素养呢？具体有哪些习题变式的基本策略呢？下面以一道计算平行四边形面积的习题为例谈谈具体做法。一、原题呈现与价值分析【原题】如图1，计算这个平行四边形的面积。这是人教版教材五年级上册“练习十九”第2题中的第（3）小题，属于平行四边形面积计算的常规性习题，主要考查学生是否能运用公式求平行四边形的面积，以发展学生的公式应用意识和运算能力。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在课程内容中指出：“探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式”“在图形认识与测量的过程中，进一步形成量感、空间观念和几何直观”“会计算平行四边形、三角形、梯形的面积，能用相应公式解决实际问题”。由此可见，在公式的探索、应用过程中，还应同时发展学生的核心素养。为此，教师可采用七种策略，对这道题进行适当变式，助力学生发展核心素养。二、变式策略变式时，应以平行四边形面积的计算为基础，融合三角形、正方形、长方形、梯形的面积计算等知识，设计不同层次的习题，从而发展学生的运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、应用意识和创新意识。（一）从复杂变简单当原题给出的条件较多时，可以通过减少条件或改变所求问题，使变式题变得简单、有针对性。【变式1】如图2，已知AB=2cm，DE=2.4cm，求平行四邊形ABCD的面积。【变式2】如图2，已知DE=2.4cm，BC=3cm，DF=1.6cm，求平行四边形ABCD的面积；【变式3】如图1，求平行四边形的周长。变式价值：理解和运用平行四边形的面积公式、周长公式进行计算。（二）从直接变间接把原题中的一些直接条件变为间接条件，增加题目的难度，从而提高学生解决问题的灵活度和综合能力。【变式4】如图2，已知DE=2.4cm，BC=3cm，平行四边形ABCD的周长是10cm，求平行四边形ABCD的面积。变式价值：巩固平行四边形的面积公式、周长公式，提高分析和解决问题的能力。（三）从正向到逆向平行四边形面积公式的正向考查：已知平行四边形的底及对应的高，求面积。逆向考查：已知平行四边形的面积和一条底（或高），求对应的高（或底）。【变式5】如图2，已知平行四边形ABCD的面积是4.8cm2，AB=2cm，求DE。【变式6】如图2，已知平行四边形ABCD的面积是4.8cm2，DE=2.4cm，DF=1.6cm，求AB或BC（或求平行四边形ABCD的周长）。变式价值：逆用平行四边形的面积公式，理解面积与高、底之间的关系，发展逆向思考能力。（四）从封闭到开放封闭性数学问题的条件通常指向所求问题，所求问题或结论也是唯一的。而开放性数学问题的条件和问题并不一定对应，具有开放性。1.条件开放【变式7】如图2，已知平行四边形ABCD的边长都是整数，面积是4.8cm2，周长是10cm，求AB、BC、DE和DF。解题分析：由“周长是10cm”可得到两条邻边的和为5cm。又因为“边长都是整数”，利用分类讨论，可知这两条边长AB和BC可能是1cm与4cm或2cm与3cm。再根据“面积是4.8cm2”，求出DE和DF。变式价值：逆用公式，渗透分类讨论思想。【变式8】如图2，已知平行四边形ABCD相邻两边的长分别是6cm和4cm，一条高是5cm，求这个平行四边形的面积。解题分析：分两种情况，即这条高分别是两邻边的高。第1种情况，AD=4cm，高DE=5cm，结果不成立，排除。第2种情况，AD=6cm，高DE=5cm，结果成立，可以求出问题。变式价值：灵活运用公式解决数学问题，渗透分类讨论思想，发展说理能力。2.综合性开放【变式9】已知一个平行四边形，请按要求完成任务。（1）画一条线，把平行四边形分成面积相等的两个部分，并说明理由。（2）画一条线（可以是曲线），把平行四边形分成周长相等的两个部分。解题分析：问题（1），连接一组对边的中点或画两个对角顶点的连线（对角线），共4种情况（图略）。问题（2），学生一般会认为周长相等意味着图形的形状和大小都一样，面积也相等。实际上，周长相等并不一定要图形面积相等或图形形状大小一样，而是有无数种情况。变式价值：解决新的问题，培养综合运用能力和创新意识。（五）从单一到综合从图形的构成角度思考，几何类习题包括简单图形和复杂图形。通过把简单图形变成复杂图形，可以形成综合性探索问题，考查学生运用知识解决问题的能力。1.由基本图形串联相关图形【变式10】如图3，网格中的小正方形边长都是1cm，某个图形只露出它的一条边和这条边上的高。已知图形的边长和高都是整数，猜一猜，完整的图形可能是我们学过的哪些几何图形呢？请你把想到的图形画出来，并求出这个图形的面积。变式价值：沟通几种常见几何图形的面积，巩固画图技能，发展逆向思维和分散思維能力。2.由多个相同图形组成复杂图形【变式11】：如图4，两个平行四边形的形状和大小完全一样，通过平移把它们合在一起，可构成一个新的平行四边形。请在网格上（网格上的小正方形边长都是1cm）按要求画出新的平行四边形（顶点在网格点上），并回答问题。（1）新的平行四边形面积比两个平行四边形面积的和少，有哪些拼的方法？你能计算出每种拼法的面积是多少吗？（2）新的平行四边形周长比两个平行四边形周长的和少，有哪些拼的方法？你能计算出每种拼法的周长是多少吗？【变式12】如图5，平行四边形ABCD和BEFC完全相同，BE=2cm，EF=3cm，DG=2.4cm。求DH。【变式13】如图6，平行四边形ABCD、BEFC、EGHF完全相同，DP=2.5cm，EG=1cm，GH=3cm。求DQ。【变式14】如图7，平行四边形ABCD和DCEF完全相同，AB=2cm，DG=2.4cm，FH=1.6cm。求CE。解题分析：先求组合平行四边形的面积，再逆用公式求边长。变式价值：培养学生分析复杂图形、借助所学知识解决新问题的能力。3.由单一图形衍生复杂图形【变式15】如图8，已知平行四边形AECF，分别延长CF和AE，使得DF=CF，BE=AE，得到平行四边形ABCD，其中平行四边形ABCD的面积是9.6cm2。求平行四边形AECF的面积和三角形AFD的面积。【变式16】如图9，已知平行四边形AECF，分别延长CF和AE，得到长方形ABCD。测得AB=6cm，BC=3cm，AE是EB的2倍。求平行四边形AECF的面积和三角形AFD的面积。【变式17】如图10，分别以平行四边形ABCD的BC、AD为边，向外作等边三角形，两个等边三角形的面积之和为15cm2。DG=1.6cm，EP=2.5cm。求平行四边形ABCD的面积。【变式18】如图11，平行四边形ABCD的边AB=2cm，高DH=1.6cm，周长为10cm，以BC边向外作正方形BEFC。求正方形BEFC的面积。4.知识点的综合【变式19】如图12，已知平行四边形ABCD中，AB=2cm，AE是EB的3倍，DE=2.4cm。点G和点H分别是DE和AD的中点，连接HG。（1）求△AED的面积；（2）求△HGD的面积；（3）求四边形AEGH的面积。变式价值：运用转化思想，灵活运用三角形面积的计算方法，解决三角形和四边形等积变形问题，发展运算能力和推理意识。（六）从静态到动态用运动的观点看待静态中的问题。通过变式，让原题中静态的图形“动”起来，形成新题，深度理解平行四边形的面积，同时探索得到更多新知。1.平行四边形两邻边不变，探索高的变化【变式20】一个平行四边形，相邻两条边分别是2cm和3cm，以2cm的边为底的平行四边形的高的最大值是多少？解题分析：画出图13，固定AB，DA绕点A往左拉动，高DE不断变长，直至点E与点A重合，得到长方形ABCD。由于“高要画在底边AB上”，所以此时高DE是符合条件的最大值，DE=DA=3cm。变式价值：在运动变化中，理解平行四边形与长方形的关系，发展几何直观、空间观念和推理意识。2.正方形、长方形利用同底变形成平行四边形，探索面积的变化【变式21】如图14，正方形ABCD的边长是2cm，求拉动后形成的平行四边形ABEF的面积。【变式22】如图15，长方形ABCD的宽是2cm，面积是4.8cm2。求平行四边形ABEF的面积。变式价值：体会同底等高的正方形、长方形和平行四边形的面积和位置关系，发展几何直观和推理意识。3.长方形的两邻边不变，探索以长方形的长和宽为邻边的平行四边形的面积变化【变式23】如图16，一个可活动的长方形ABCD的宽是3cm，长是4cm。把它拉成一个平行四边形ABEF，AF=AD=4cm，它的周长和面积有什么变化？解题分析：学生在探索中发现，周长不变，且由于底不变，高变短了，所以所得的平行四边形的面积变小了。变式价值：探索两邻边相等的长方形与平行四边形的周长和面积的关系，发展几何直观和推理意识。（七）从数学到生活数学习题分为纯数学问题和应用性问题。通过改变原题的纯数学问题背景，可以将其变成现实应用性问题。平行四边形的面积在生活中有着广泛应用，将原题变式为应用问题，考查学生运用知识解决实际问题的能力，培养学生的应用意识和创新意识。1.挖水池问题【变式24】一块平行四边形菜地两邻边的长分别为4m和3m。沿着菜地的一边挖掉一个长1.5m、宽1m的长方形蓄水池，剩下部分的周长是多少？2.停车位问题【变式25】图17是根据实际测量绘制出的某地人行道上的电动摩托车停车位。请结合示意图说一说，为什么电动摩托车的停车位要画成平行四边形？解题分析：现实中，停车位（包括汽车停车位）一般画成平行四边形，主要是为了便于停车、开车。此外，还考虑到了人行道的宽度问题。变式价值：发展应用意识和推理意识。三、启示（一）怎样的变式才是好的变式对一道计算平行四边形面积的习题进行变式，形成的习题分为两类：一类是学完这一内容后的变式。有的是基础的变式，可以作为学生的巩固练习；有的是综合性、探索性和挑战性的变式，可以作为学生的拓展练习。另一类是单元学习后的变式，强调相关数学知识之间的内在联系，体现知识的迁移应用，具有很强的综合性和拓展性，对发展学生的核心素养有着重要作用。教学时，可以根据学生的实际情况选择其中的习题，供不同层次的学生进行练习，从而促进各层学生的学习进阶。（二）怎样对一道习题进行变式《促进高阶思维发展的习题变式策略探究》［1］一文提出了变式的六个策略，即从直接变间接、从正向到逆向、从封闭到开放、从单一