基于内容结构化的小学数学教学设计

【摘

要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。以“图形的高与面积”这一内容为例，展开基于内容结构化的教学设计与实践，尝试让学生在图形转化中理解高和底的意义，并以此为桥梁建立平行四边形、三角形及梯形的面积计算的实质性联系，形成图形面积计算及探索方法的一致性。【关键词】内容结构化；图形的高与面积；数学教学设计；内在联系义务教育数学课程应落实立德树人根本任务，从学科立场走向育人立场，将核心素养作为学科育人的基本目标。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”然而，当前的教学设计大多只关注知识点的教学，而忽视了知识间的内在联系和发展，学生学习到的知识是零碎的、孤立的，长此以往，学生很难深入理解学习内容并发展核心素养。一、何为内容结构化学习内容的整体性、反映学科本质的一致性、表现学生学习的阶段性，是内容结构化的三大特征。内容结构化能帮助学生更好地理解和掌握学科的基本原理，实现知识与方法的迁移，准确把握基本概念的进阶。[1]基于内容结构化的整体教学设计是一种思维方式，它要求教师能够站在系统性的高度，深刻理解课程标准，抓住核心概念，从整体视角建立知识之间的内在关联。在此基础上，确立一个可以统摄整体内容的主题，根据主题来架构内容线索和内容结构，并围绕主题重组、整合教学内容，从根本上解决教学方式与课时时限之间的矛盾。如表1所示，内容结构化的整体教学与传统按课时片面突出某一知识点的教学形成了鲜明的对比。实际上，教师只有通过对数学教学内容的整体分析、整体设计，才能更好地将数学知识从抽象的学术形态真正转化为学生容易接受的教育形态。为此，笔者以“图形的高与面积”这一内容为例，展开基于内容结构化视角的教学实践及思考。二、基于内容结构化的“图形的高与面积”的教学内容（一）“图形的高与面积”的教材内容图形（本文指三角形、平行四边及梯形）的高与图形的面积属于“图形的认识和测量”主题。在编排上，有些教材将图形的高和图形的面积安排在不同年级的不同单元，如人教版教材、苏教版教材、青岛版教材等，其中，苏教版教材、青岛版教材先认识三角形和高，人教版教材则先认识平行四边形和高；有些教材则将图形的高和面积安排在同一单元，如北师大版教材、康轩版教材（中国台湾）。从图形的高和面积的认识来看，选择分开编排的教材侧重于把高作为图形的特征来认识，放在一起编排的教材则侧重体现高与面积的关系。然而，从通过内容结构化体现整体教学设计的视角来看，这两种编排方式都还有进一步探索的空间。一方面，把图形的高和面积放在不同单元，不利于体现图形高和底的数学本质。高是什么？无论是垂直线段，还是图形的高矮，都无法表征图形高的本质。另一方面，把图形的高和面积编排在同一单元，看似注重两者之间的关系，实际上只是把高作为求面积的条件，不能体现两者之间的逻辑关系。如三角形为什么有三条高？平行四边形为什么两组对边都可以有高？梯形的两腰之间为什么不能画高？等等。学生要理解这些问题，必须在结构化的视角下厘清图形高和面积之间的关系，把高与底的本质表达清楚。（二）基于内容结构化再认识图形的高与面积的关系就图形的测量而言，一般可分为直接测量与间接测量两种。直接测量是用度量单位直接度量得出结果，如长方形面积、长方体体积等。间接测量是指通过将要测量的图形转化为某些基本图形，找到相应的面积测量的方法，得到测量结果。如平行四边形转化为长方形，三角形和梯形转化为平行四边形等。基于图形要素的变化，图形之间可以相互转化。例如，当梯形的上下底相等时，就变为平行四边形；当梯形的上底变为一个点时，就变为三角形；当平行四边形的内角变为直角时，就变为长方形（或正方形）；等等。这些属于从一般到特殊的转化（如图1）。图形的面积计算以高为联系和纽带。具体而言，高是为了计算图形面积而被定义出来的。每一个平行四边形都可以通过切割并平移，转化为与它面积相等的长方形，因此，计算长方形面积就需要寻找与长方形的长和宽相关的平行四边形要素，即产生了定义高和底的需求，从而发现平行四边形的底和高就是转化后的长方形的长和宽。由此，形成一种基于面积计算的图形的高和底的探究过程（如图2），并在这一过程中发现平行四边形面积与转化成的长方形面积的关系，进而发现图形的高和底。同理，三角形和梯形的高也是如此（两个完全一样的三角形和梯形也可以拼成平行四边形）。于是，一些疑惑就迎刃而解。如三角形为什么有三条高，是因为用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形有三种拼法，相应地，转化为长方形也有三种基本方式（如图3）。又如平行四边形为什么两组对边都可以有高，是因为每一个平行四边形可以用兩种方式转化为长方形（如图4）。至于梯形的高为什么只能在上下底之间，则是因为从梯形的两条腰出发画高，无法将其转化为长方形或平行四边形。三、基于内容结构化的“图形的高与面积”的教学设计内容结构化的核心是建立对学生有意义的知识结构，其要义是显现知识的产生和发展、体现知识间的联系、凸显知识本质。为实现核心素养导向的教学目标，基于内容结构化的整体教学设计要注重建立教学内容与核心素养主要表现的关联，在具体的任务设计和学习活动之中落实素养目标。（一）目标设计就图形的高与面积而言，其关联的核心素养表现主要有推理意识、量感等，其中发展学生的推理意识是关键。图形的面积是描述图形大小的重要属性，其中，长方形面积的计算是其他图形面积计算的基础。平行四边形、三角形和梯形等图形面积的计算，关键是在图形之间进行互相转化，而图形的高和底是它们之间联系的纽带。在这个知识体系中，高和底不是简单地由人为规定的，而是学生在图形转化过程中自己“发现”和“创造”的。基于以上分析，整体教学设计应分为三个阶段：一是创设情境，在生活情境中发现问题和提出问题；二是探索图形之间的等积转化，发现和创造图形的高和底；三是回顾反思，加深理解。由此确立“核心素养—核心目标—具体目标—任务设计”的教学框架，层层推进教学目标和相应的学习任务（如图5）。（二）教学过程1.创设情境创设“喜羊羊受邀参观羊羊庄园”的情境（如图6），引导学生提出相关的数学问题。2.小组合作探索图7中的平行四边形与长方形的面积的大小关系，研究平行四边形与长方形的等积转化。小组合作要求：（1）先说说每个人的猜想。（2）讨论比较方法（基本方法为数方格法、割补法）。（3）每个同学在小组内说明比较的过程和结果。3.讨论交流核心问题1：是不是任意一个平行四边形都可以找到这样与它面积相等的长方形？核心问题2：怎么用最简单的方法在平行四边形上表示出面积相等的长方形？（如图8有3种方法）核心问题3：三种方法的相同点和不同点？方法1通过割补法找出了完整的等面积长方形；方法2找出了等面积长方形的长（平行四边形的底平移）和宽（平行四边形的高）；方法3只找出了等面积长方形的一条边（高），但它的另一条边与平行四边形的边（底）一样长。4.总结发现像方法3这样找到的长方形的边在平行四边形中也叫作平行四边形的高，长方形的另一条边也叫作平行四边形的底。5.研究三角形与平行四边形的面积关系（1）根据图9，探索三角形与平行四边形的面积关系。（2）如何找到三角形的高和底？如图10，两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形，借助平行四边形就能找到三角形的高和底。（3）讨论：为什么要找三角形的高和底？三角形的高和底也就是拼成的平行四边形的高和底。找到了平行四边形的高和底，就知道了平行四边形的面积，知道了平行四边形的面积也就相当于知道了三角形的面积。6.研究梯形与平行四边形的面积关系（1）根据图11，探索梯形与平行四边形的面积关系。（2）讨论：问题1：图12中，梯形与平行四边形的面积有什么关系？问题2：如何找到梯形的高？梯形的高和底也就是拼成的平行四边形的高和底。找到了平行四边形的高和底，也就知道了平行四边形的面积，知道了平行四边形的面积也就相当于知道了梯形的面积。问题3：图13中的梯形的高画得正确吗？为什么？梯形两腰上的垂线不是梯形的高，因为它既不是转化成的平行四边形的高，也不是转化成的长方形的边（如图14）。7.回顾反思（1）如何找到平行四边形、三角形和梯形的高？（2）为什么要找图形的高？（3）平行四边形、三角形和梯形的高有何联系？（建立长方形、平行四边形、三角形、梯形之间的内在关联，如图15。）四、对基于内容结构化的教学设计的建议基于内容结构化进行小学数学教学设计，要把握四个方面的问题：一是要把握相关知识的核心概念，如图形面积计算中的高，它既是图形转化的核心要素，也是面积计算的关键条件；二是要基于核心概念建立起知识间的实质性联系，如图形高和底的产生，就是源于面积计算过程中的实际需求，而不是因为要进行面积计算事先人为定义的；三要把握教学内容的一致性，如平行四边、三角形、梯形三者的高的意义是完全一致的，都能理解为与转化后的长方形相对应的一条边（长和宽）；四是学习方法的可迁移性，这是基于结