教师公开招聘考试中学数学（计算题）模拟试卷3

教师公开招聘考试中学数学（计算题）模拟试卷3一、计算题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)已知椭圆E：=1(a＞b＞0)过点(0，)，且离心率为．1、求椭圆E的方程；标准答案：由已知得所以椭圆E的方程为=1．知识点解析：暂无解析2、设直线x=my一1，(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G(，0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．标准答案：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得(m2＋2)y2一2my一3=0，所以又不共线，所以(DA，GB)为锐角，故点G(，0)在以AB为直径的圆外．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)的图像是由函数g(x)=cosx的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度．3、求函数f(x)的解析式．并求其图像的对称轴方程；标准答案：将g(x)=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图像，再将y=2cosx的图像向右平移个单位长度后得到y=2cos(x一)的图像，故f(x)=2sinx，从而函数f(x)=2sinx图像的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z)．知识点解析：暂无解析4、已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0，2π)内有两个不同的解a，b．(i)求实数m的取值范围；(ii)证明：cos(a一b)=一1．标准答案：(i)f(x)＋g(x)=2sinx＋cosx=，依题意，sin(x+j)=在区间［0，2π)内有两个不同的解a，b，当且仅当＜1，故m的取值范围是．(ii)因为a，b是方程sin(x+j)=m在区间[0，2π)内有两个小同的解，所以sm(a＋j)=，sin(b＋j)=，即a一b=π一2(b+j)；当，即a一b=3π一2(b+j)；所以cos(a－b)=一cos2(b＋j)=2sin2(b＋j)一1=．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=．5、求f(x)的最小正周期和最大值；标准答案：因此f(x)的最小正周期为π，最大值为．知识点解析：暂无解析6、讨论f(x)在上的单调性．标准答案：知识点解析：暂无解析在数列｛an｝中，a1=3，an＋1an+λan＋1+μan2=0(n∈N＋)．7、若λ=0，μ=－2，求数列｛an｝的通项公式；标准答案：由λ=0，μ=－2，有an＋1an=2an2(n∈N*)．若存在某个n0∈N*，使得an0=0，则由上述递推公式易得an0＋1=0．重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，所以对任意的n∈N*，an≠0．从而an＋1=2an(n∈N*)，即｛an｝是一个公比q=2的等比数列．故an=a1qn－1=3．2n－1．知识点解析：暂无解析8、若λ=，(k0∈N＋，k0≥2)，μ=一1证明：2+＜an＋1＜2+．标准答案：由λ=，μ=一1，数列｛an｝的递推关系式变为an＋1an+an＋1－an2=0，变形为an＋1(an+)=an2(n∈N*)．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞…＞an＞an＋1＞…＞0．因为an＋1=，所以对n=1，2，…k0求和得ak0＋1=a1+(a2一a1)+…+(ak0＋1－ak0)=a1－k0．．另一方面，由上已证的不等式知a1＞a2＞…＞ak0＞ak0＋1＞2，知识点解析：暂无解析设数列｛an｝的前n项和Sn=2an一a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．9、求数列｛an｝的通项公式；标准答案：当n≥2时有，an=Sn一Sn－1=2an－a1－(2an－1－a1)．则an=2an－1(n≥2)，=2(n≥2)，则数列｛an｝是以a1为首项，2为公比的等比数列．又由题意得2a2+2=a1+a3a1=2．则an=2n(n∈N*)．知识点解析：暂无解析10、记数列｛｝的前n项和Tn，求得使｜Tn一1｜＜成立的n的最小值．标准答案：由题意得(n∈N*)．由等比数列求和公式得Tn=，则｜Tn一1｜=．又∵当n=10时，成立时，n的最小值为n=10．知识点解析：暂无解析椭圆E：=1的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为．11、求椭圆E的方程；标准答案：由题知椭圆过点，所以椭圆方程为：=1．知识点解析：暂无解析12、在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．标准答案：假设存在满足题意的定点Q．当直线l平行于x轴时，=1，A，B两点关于y轴对称．得Q在y轴上．不妨设Q(0，a)，当直线l为y轴时，，a≠1．解得a=2．下证对一般的直线l：y=kx+1，Q(0，2)也满足题意．由，得y轴为∠AQB的角平分线．所以kQA=一kQB．不妨设A(x1，y1)，B(x1，y2)，y1=kx1+1，y2=kx2+1，，化简得2kx1x2=x1+x2①，又由椭圆方程与直线方程联立得：，(1+2k2)x2+4kx一2=0，x1+x2=，x1x2=．带入①得成立．故假设成立．综上存在点满足题意．知识点解析：暂无解析如图，三棱锥P—ABC，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．13、证明：DE⊥平面PCD；标准答案：由PC⊥平面ABC，DE平面ABC，故PC⊥DE，由CE=2，CD=DE=得△ACDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE，由PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD．知识点解析：暂无解析14、求二面角A—PD—C的余弦值．标准答案：由已知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又已知EB=1，故FB=2．由∠ACB=得DF／／AC，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，C(0，0，0)，P(0，0，3)，A(，0，0)，E(0，2，0)，D(1，1，0)，，设平面PAD的法向量为=(x1，y1，z1)，由=(2，1，1)．DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量的夹角的余弦值为，故所求二面角A—PD—C的余弦值为．知识点解析：暂无解析设函数f(x)=(a∈R)．15、若f(x)在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；标准答案：对f(x)求导得f’(x)=，因为f(x)在x=0处取得极值，所以f’(0)=0，即a=0．当a=0时，f(x)=．从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程y=(x一1)，化简得3x—ey=0．知识点解析：暂无解析16、若f(x)在[3，+∞)上为减函数，求a的取值范围．标准答案：f’(x)=，令g(x)=一3x2+(6一a)x+a，由g(x)=0，解得x1=．当x＜x1时，g(x)＜0，即f’(x)＜0，故f(x)为减函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f’(x)＞0，故f(x)为增函数；当x＞x2时，g(x)＜0，即f’(x)＜0，故f(x)为减函数；由f(x)在[3，+∞)上为减函数，即x2=，故a的取值范围为[，＋∞)．知识点解析：暂无解析如图，椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1．17、若｜PF1｜=2＋，｜PF2｜=2一，求椭圆的标准方程；标准答案：由椭圆的定义2a=｜PF1｜+｜PF2｜==4，故a=2．设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=｜F1F2｜=，从而b==1．故所求椭圆的标准方程为－y2=1．知识点解析：暂无解析18、若｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e．标准答案：如图由椭圆的定义，｜PF1｜+｜PF2｜=2a，｜QF1｜+｜QF2｜=2a，从而由｜PF1｜=｜PQ｜=｜PF2｜+｜QF2｜，有｜QF1｜=4a一2｜PF1｜．又由PF1⊥PQ，｜PF1｜=｜PQ｜，知｜QF1｜=｜PF1｜，因此，4a－2｜PF1｜=｜PF1｜，得｜PF1｜=2(2一)a，从而｜PF2｜=2a一｜PF1｜=2a一．由PF2⊥PF1，知｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2=(2c)2，因此e=．知识点解析：暂无解析如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．19、求证：GF／／平面ADE；标准答案：如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又因为G是BE的中点，所以GH／／AB且GH=AB，又F是CD中点，所以DF=CD，由四边形ABCD是矩形得，AB／／CD，AB—CD，所以GH／／DF，且GH=DF．从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF／／DH，又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF／／平面ADE．知识点解析：暂无解析20、求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．标准答案：如图在平面BEC内，过点B作BQ／／EC，因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE，又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ．以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(2，2，1)因为AB⊥平面BEC，所以=(0，0，2)为平面BEC的法向量，设=(x，y，z)为平面AEF的法向量．又=(2，0，一2)，从而，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．知识点解析：暂无解析已知椭圆C：9x2+y2=m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．21、证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；标准答案：设直线L：y=kx+b(k≠0，b≠0)，A(x1，y)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2一m2=0，故xM=．于是直线OM的斜率kOM=，即KOM．K=一9．所以直线OM的斜率与L的斜率的乘积为定值．知识点解析：暂无解析22、若l过点(，m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形?若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．标准答案：四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点(，m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3．OM的方程为y=．设点P的横坐标为xP．由，得的坐标代入直线l的方程得b=，因此xM=．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM．于是，因为ki＞0，ki≠3，i=1，2，所以当l的斜率为时，四边形OAPB为平行四边形．知识点解析：暂无解析某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试，若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．23、求当天小王的该银行卡被锁定的概率；标准答案：设’’当天小王的该银行卡被锁定’’的事件为A，则P(A)=．知识点解析：暂无解析24、设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．标准答案：依题意得，X所有可能的取值是