专题 点圆模型 中考数学答题技巧与模板构建

专题点圆模型题型解读｜模型构建｜通关试练动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力.该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点.掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径.本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型01定义型点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆.模型02直径所对的角为直角（直角模型）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧.模型03等弦对等角模型一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧.模型01定义型考｜向｜预｜测点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题.答｜题｜技｜巧第一步：根据题意判定动点的变化特性第二步：找准定点和定长（圆心和半径）第三步：结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题例1．（2022·广西）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（

）A． B． C．2 D．例2．（2022·北京）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为．模型02直角模型考｜向｜预｜测点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解.实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键.许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题.答｜题｜技｜巧第一步：观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；第二步：利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；第三步：涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等相关知识点；第四步：数形结合进行分析、解答例1．（2021·山东）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________．例2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是第一象限内的一个动点并且使，点，则的最小值为．模型03等弦对等角考｜向｜预｜测点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度.该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解.解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．答｜题｜技｜巧第一步：观察图形特点，确定定弦和定角；第二步：根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；第三步：利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；例1．（2022·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为．例2．（2023·重庆）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为．1.（2023·广东）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（

）A． B． C． D．2.（2023·湖南）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．33．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A． B． C． D．4．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为．5．（2023·云南）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是．6．（2023·贵州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为．7．（2022•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为．8．（2023·贵阳）如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为．9．（2023·安徽）等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当填度数度时，可以取最大值，最大值等于．10．（2023·广西）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC边上的点，且AC＝CD＝3，连接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．（1）当∠B＝22.5°时，求证：CD平分∠ACB；（2）当CD＝BD时，求的值；（3）如图②，若点F是线段AC上一点，且AF＝1，连接DF，EF，EF交CD于点G，求△DEF面积的最大值．1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2 B． C．3 D．2．如图，正方形的边长是4，点是边上一动点，连接，过点作于点，点是边上另一动点，则的最小值为A．5 B． C．6 D．3．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（

）．A．6 B． C．9 D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（）A．2﹣3 B． C．﹣2 D．5．如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．6．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为．7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝，CF的最小值是．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是．9．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．10.如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为．11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为．12．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，连接，则线段长的最小值为．13．（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到．（2）【问题解决】如图2，在四边形中，，，求的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以的中点为圆心，长为半径的圆；的外接圆也是以的中点为圆心，长为半径的圆．这样、、、四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在中，，是边上的高，且，，求的长．专题点圆模型解析题型解读｜模型构建｜通关试练动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力.该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点.掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径.本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型01定义型点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆.模型02直径所对的角为直角（直角模型）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧.模型03等弦对等角模型一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧.模型01定义型考｜向｜预｜测点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题.答｜题｜技｜巧第一步：根据题意判定动点的变化特性第二步：找准定点和定长（圆心和半径）第三步：结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题例1．（2022·广西）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．∴，DQ=DC=1．∴．∴．∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，∴DE=DC=DN．∴点E在上移动．∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．∴△AEB面积的最小值为．故选：A．例2．（2022·北京）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为．【答案】/【详解】解：，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边的中点，，，点在以为圆心，为半径的圆上，如图，当点，点，点共线，且时，长度最小，，，最小值为．当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，则最大值为长度的最大值与最小值的差为故答案为：．模型02直角模型考｜向｜预｜测点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解.实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键.许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题.答｜题｜技｜巧第一步：观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；第二步：利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；第三步：涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等相关知识点；第四步：数形结合进行分析、解答例1．（2021·山东）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________．【答案】．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=∵∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．∴BG的最小值为：．例2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是第一象限内的一个动点并且使，点，则的最小值为．【答案】【详解】解：如图，以为直径作，连接，交于，此时长最小，，，，，，，，故答案为：．模型03等弦对等角考｜向｜预｜测点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度.该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解.解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．答｜题｜技｜巧第一步：观察图形特点，确定定弦和定角；第二步：根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；第三步：利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；例1．（2022·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为．【答案】【详解】解：，∴点E在以为直径的圆上，如图所示，的最大值为，∵正方形的边长为2，，的最大值为，当点E在的下方时，的最大值也是，故答案为：．例2．（2023·重庆）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为．【答案】【详解】解：是等边三角形，，，在和中，，，，，，如图，过点，点，点作，连接，，点在上运动，，，，，，，，，，垂直平分，，，，，，在中，，当点在上时，有最小值，的最小值，故答案为．1.（2023·广东）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆∵四边形为矩形∴∵∴∴∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短∵，∴∴∵故选：D．2.（2023·湖南）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3【答案】C【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．过点M作MH⊥DC于点H，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=MD=1，∴HM==，CH=CD+DH=5，∴，∴A′C=MC-MA′=2-2；故选：C．3．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵AQ⊥BQ，∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴CO＝OA＝1，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴的长为，故选：D．4．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为．【答案】【详解】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，∵△ADE绕点A旋转，∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，∵AM+AN≥MN，∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，在Rt△ABN中，由勾股定理得，在Rt△ADM中，由勾股定理得，根据旋转的性质得，AM′＝AM＝，∴M′N＝AN+AM′＝，即MN的最大值为．故答案为：．5．（2023·云南）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是．【答案】3【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD＝2，∴．由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，CE的最大值即C到BA中点的距离加上长．∵，，BC＝2，∴C到BA中点的距离即，又∵，∴CE的最大值即．故答案为3．6．（2023·贵州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为．【答案】5【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．7．（2022•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为．【答案】5﹣2．【详解】解：如图，作△EMC的外接圆⊙O，连接AO，CO，EO，作OF⊥AB，ON⊥BC，∵BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，∴BE＝1，EC＝4，∵∠CME＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE＝OC＝2，ON＝EN＝CN＝2，∴BN＝OF＝3，AF＝6﹣2＝4，在Rt△AFO中，AO＝，当点M是OA与⊙O的交点时，AM最小，∴AM的最小值＝OA﹣OE＝5﹣2．故答案为：5﹣2．8．（2023·贵阳）如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为．【答案】45【详解】解：由已知，点在以圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以5为半径的圆于由两点之间线段最短，此时的值最小最小值为，则的最小值，故答案为：45．9．（2023·安徽）等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当填度数度时，可以取最大值，最大值等于．【答案】【详解】解：如图一，连接、．是等腰直角三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，，，，，，．，如图二，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上最长，，故答案为：；10．（2023·广西）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC边上的点，且AC＝CD＝3，连接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．（1）当∠B＝22.5°时，求证：CD平分∠ACB；（2）当CD＝BD时，求的值；（3）如图②，若点F是线段AC上一点，且AF＝1，连接DF，EF，EF交CD于点G，求△DEF面积的最大值．【答案】（1）证明过程见详解；（2）+1；（3）﹣3．【详解】（1）证明：∵∠CAE+∠AEB＝180°，∠CEA+∠AEB＝180°，∴∠CAE＝∠CEA，∴AC＝CE，∵AC＝CD，∴AC＝CD＝CE，∵∠B＝22.5°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CDA＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ACD＝180°﹣2×67.5°＝45°，∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACD＝∠BCD，∴CD平分∠ACB；（2）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，如图①，以点C为圆心，CA长为半径作圆，过点E作EP⊥AB于P，∵CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠CAD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠CAD，∴CD＝AD，∵AC＝CD，∴AC＝CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，CD＝AD＝BD＝3，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣×90°＝135°，∴∠EDP＝180°﹣135°＝45°，∴△DPE是等腰直角三角形，∴DP＝EP，设DP＝EP＝x，则BP＝3﹣x，在Rt△BEP中，tanB＝＝＝，解得：x＝，∵∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠CAE＝45°，∴∠CAE＝∠PDE，∵∠ACE＝∠DPE＝90°，∴△ACE∽△DPE，∴＝＝＝+1；（3）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，如图②，以点C为圆心，CA长为半径作圆，∵CE＝CD＝3，CF＝AC﹣AF＝3﹣1＝2，∠ACB＝90°，∴EF＝＝＝，为定值，∵CD为定值，∴当CD⊥EF时，CG取得最小值，此时，点D到EF的距离取得最大值，即△DEF的面积取得最大值，∵S△CEF＝CF•CE＝EF•CG最小，即×2×3＝××CG最小，解得：CG最小＝，∴DG最大＝CD﹣CG最小＝3﹣，∴S△DEF最大＝EF•G最大＝××（3﹣）＝﹣3．1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【详解】解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．2．如图，正方形的边长是4，点是边上一动点，连接，过点作于点，点是边上另一动点，则的最小值为A．5 B． C．6 D．【答案】B【详解】解：如图：取点关于直线的对称点．以中点为圆心，为半径画半圆．连接交于点，交半圆于点，连．连并延长交于点．由以上作图可知，于．由两点之间线段最短可知，此时最小．，，，的最小值为，故选：B．3．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（

）．A．6 B． C．9 D．【答案】A【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，过C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此时三角形ACE的面积==6，故选：A．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（）A．2﹣3 B． C．﹣2 D．【答案】C【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC＝4，如图，取AC的中点O，连接OE，OB，∵∠DAC＝∠DCE，∠DCE+∠ACE＝90°，∴∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AD，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O，E，B三点在同一直线上时，BE最短，可得此时OE＝OC＝OA＝2，在Rt△OCB中，OB＝，故BE的最小值为：OB﹣OE＝﹣2，故选：C．5．如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．【答案】B【详解】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆弧上，如图，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，∵点O为AB的中点，∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，∵正六边形的每个内角为180°×（6﹣2）÷6＝120°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，∴BD＝，在Rt△OBD中，OD＝＝，∴PD的最小值为OD﹣OP＝．故选：B．6．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为．【答案】7【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠ADP＝∠PAB，∴∠ADP+∠PAD＝∠PAB+∠PAD＝∠BAD＝90°，∴点P的运动路线为以AD为直径的圆，作以AD为直径的⊙O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，连接M′N，OP，则OP＝OP′＝3，M′N＝MN，∴PN+MN＝PN+M′N＝PN+M′N+OP﹣OP′≥OM′﹣OP′＝OM′﹣3，∴PN+MN的最小值为OM′﹣3；连接OM，∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，点M为BC的中点，∴OD＝AD＝BC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°，∴四边形OMCD是矩形，∴OM＝DC＝AB＝8，∵点M关于直线DC的对称点M′，∴M′M＝2MC＝6，在Rt△M′OM中，由勾股定理，得OM′＝，∴PN+MN的最小值为OM′﹣3＝10﹣3＝7，故答案为：7．7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝，CF的最小值是．【答案】120°，2．【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案为：120°，2．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是．【答案】4+【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，∴AC＝＝＝，如图，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′，此时BD的长度最小，∵将△AEF沿EF对折得到△DEF，且点E是AC的中点，∴AF＝D′F，AE＝A′E＝，∵C△BD′F＝D′F+FB+BD′＝AF+FB+BD′＝AB+BD′，∴此时△BDF的周长最小，过E作EM⊥AB于点M，∴EM＝＝，由勾股定理可得AM＝＝＝，∴BM＝AB﹣AM＝，由勾股定理可得BE＝＝＝，∴BD′＝BE﹣ED′＝，∴△BD