圆的方程（六大题型）

2．4圆的方程【题型归纳目录】题型一：圆的标准方程题型二：圆的一般方程题型三：点与圆的位置关系题型四：二元二次曲线与圆的关系题型五：圆过定点问题题型六：轨迹问题【知识点梳理】知识点一：圆的标准方程，其中为圆心，为半径．知识点诠释：（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．知识点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内知识点三：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．知识点诠释：由方程得（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3、求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．【典型例题】题型一：圆的标准方程例1．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.故选：A.例2．（2023·高二课时练习）已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（

）A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5【答案】B【解析】设圆心，因为，所以，解得，则半径为，圆心.即圆C的标准方程为.故选：B例3．（2023·湖南邵阳·高二湖南省隆回县第二中学校考期中）设圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，若，则圆C的标准方程为（

）A． B．C． D．或【答案】D【解析】因为圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，，所以圆心坐标为，半径，所以圆C的方程为，故选：D.变式1．（2023·高二课时练习）关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于的奇数都是三个素数之和，如，.若从中任取个不同的素数组成点，其中，且组成的所有点都在圆上，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知：所有可能的结果为：，，，，，，则，圆的圆心为中点，半径，圆的标准方程为：.故选：D.变式2．（2023·高二课时练习）已知圆的圆心为，且圆与轴的交点分别为，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为圆与轴的交点分别为，所以圆心在直线上，即有，圆心，，所以圆的标准方程为．故选：B．变式3．（2023·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，则圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设圆心的坐标为，由于圆与轴相切于点，则轴，可得，所以，圆心的坐标为，则圆的半径为，因此，圆的标准方程为.故选：B.变式4．（2023·高二课前预习）已知圆的圆心在直线上，且与轴正半轴相切，点与坐标原点的距离为，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知设圆心，半径r，再根据已知得，从而求出圆心和半径，进而得到圆的标准方程.因为圆心在上，设圆心，半径r又点与坐标原点的距离为，，解得：又圆与轴正半轴相切，可知：，所以圆的标准方程为.故选：C.变式5．（2023·全国·高二期中）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，结合的斜率为1，得直线的斜率为，所以，化简得①再由的中点在直线上，，化简得②联立①②，可得，所以圆心的坐标为，所以半径为3的圆的标准方程为.故选：C【方法技巧与总结】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．题型二：圆的一般方程例4．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则过A，B，C三点圆的一般方程．【答案】【解析】设圆的一般方程为，由题意得，解得，，．圆的一般方程是．故答案为：．例5．（2023·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过四点的圆的方程为.【答案】【解析】设圆的方程为，将点的坐标分别代入可得，，解得则可得圆的方程为故答案为:例6．（2023·全国·高二专题练习）经过点以及圆与交点的圆的方程为．【答案】【解析】联立，整理得，代入，得，解得或，则圆与交点坐标为，设经过点以及的圆的方程为,则，解得，故经过点以及圆与交点的圆的方程为，故答案为：变式6．（2023·全国·高二专题练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是.【答案】【解析】依题意，设所求圆的方程为，由于所求圆过点，所以，解得.所以所求圆的方程为．故答案为:.变式7．（2023·四川成都·高二期中）在平面直角坐标系中，有，，，四点，若它们在同一个圆周上，则．【答案】或/4或2【解析】设过三点的圆的一般方程为.将三点代入得：.所以圆的一般方程为.将点代入得：，解得或.故答案为：或变式8．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）若圆的方程为，且圆的面积为，则圆心坐标为．【答案】【解析】因为圆的面积为，所以圆的半径为1，即，所以，所以圆的方程为，得圆心坐标为．故答案为：【方法技巧与总结】（1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件．（2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．题型三：点与圆的位置关系例7．（2023·高二课时练习）点与圆的位置关系是（）A．在圆外 B．在圆上C．在圆内 D．与a的值有关【答案】A【解析】圆的圆心，半径，因为，所以点在圆外，故选：A例8．（2023·高二课时练习）点与圆的位置关系是（

）A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定【答案】B【解析】圆的圆心为，半径，，故点在圆内.故选：B例9．（2023·全国·高二专题练习）对于圆：，下列说法正确的为（

）A．点圆的内部 B．圆的圆心为C．圆的半径为 D．圆与直线相切【答案】A【解析】对于A，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确；对于B，C，由，得，所以圆的圆心为，半径为，故B，C错误；对于D，由圆心到直线的距离为，所以，即，所以圆与直线相离，故D错误.故选：A.变式9．（2023·高二课前预习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，则，解得：①，又∵点在圆的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故选：B．变式10．（2023·安徽淮南·高二校考阶段练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D【方法技巧与总结】如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内题型四：二元二次曲线与圆的关系例10．（2023·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题可知：所以故答案为：例11．（2023·四川成都·高二校联考期末）曲线所围成平面区域的面积为．【答案】【解析】由得，则曲线表示的是以为圆心，为半径的圆，所以曲线所围成平面区域的面积为：，故答案为：．例12．（2023·高二课时练习）若表示圆，则实数的值为.【答案】【解析】因为表示圆，所以，解得或，当时方程，即，不表示任何图形，故舍去；当时方程，即，表示以为圆心，为半径的圆，符合题意；故答案为：变式11．（2023·高二课时练习）若方程表示圆，则的取值范围是．【答案】【解析】由方程表示圆，则满足，整理得，解得或，即实数的取值范围是.故答案为：.变式12．（2023·全国·高二专题练习）已知关于x，y的二元二次方程，当t为时，方程表示的圆的半径最大．【答案】【解析】即，，解得，设圆的半径为r，则，所以当时，，所以．故答案为：．变式13．（2023·江苏·高二专题练习）若方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为方程表示的曲线是一个圆，所以有，解得，所以实数的取值范围为．故答案为：．【方法技巧与总结】待定系数法题型五：圆过定点问题例13．（2023·全国·高二随堂练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为.【答案】、【解析】由由得，故，解得或.故填：、.例14．（2023·全国·高二专题练习）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是.【答案】【解析】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆.由，解得即定点坐标为.故答案为例15．（2023·江苏·高二专题练习）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或.变式14．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.【解析】（1）令得抛物线与轴交点是；令，由题意，且，解得，且．即实数的取值范围，且．（2）设所求圆的一般方程为，由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点，令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，．令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出，∴圆的方程为（，且）．（3）把圆的方程改写为，令，解得或，故圆过定点和．变式15．（2023·陕西西安·高二校考期中）已知曲线方程为，过的直线与曲线交于两点，用反证法证明：以为直径的圆不经过原点.【解析】假设以为直径的圆经过原点，则，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，消去并整理可得，，则，即且，设，则，则，又，则，这与假设矛盾，即假设不成立，所以以为直径的圆不经过原点．变式16．（2023·高二课前预习）已知圆经过，两点.(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.【解析】（1）当，，故，，所以此时圆的标准方程为.（2）设点是圆上任意一点，因为是圆的直径，所以，即，所以圆的方程为：，则，，等式恒成立，定点为，所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为.变式17．（2023·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点为椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以.又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.又，即，所以.所以椭圆的标准方程为.（2）证明：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，将直线代入椭圆的方程得：，由韦达定理得：，直线的方程为，直线的方程为，所以，所以以为直径的圆为，整理得：①因为，令（1）中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.【方法技巧与总结】合并参数，另参数的系数为零解方程即可．题型六：轨迹问题例16．（2023·广西·高二桂林中学校联考阶段练习）已知圆，直线过点.(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【解析】（1）已知的圆心是，半径是，设直线斜率为则直线方程是，即，则圆心到直线距离为，解得直线的斜率.（2）设点则，由点是的中点得，所以①因为在圆上运动，所以②①代入②得，化简得点的轨迹方程是.例17．（2023·全国·高二随堂练习）由动点P向圆引两条切线，，切点分别为A，B，，求动点P的轨迹方程.【解析】设点的坐标为，则，，，即.所以动点P的轨迹方程为.例18．（2023·全国·高二随堂练习）已知两定点和，求到点和的距离的平方和是16的点的轨迹方程.【解析】设点到点和的距离的平方和等于16，则，整理得：.所以到点和的距离的平方和是16的点的轨迹方程为.变式18．（2023·全国·高二随堂练习）从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程.【解析】设所求轨迹上任一点，圆C的方程可化为则圆心坐标为，，因为，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆（在圆C内部的部分），因为AC的中点坐标为，所以点M的轨迹方程为（在圆C内部的部分）．变式19．（2023·高二课时练习）已知一曲线是与两个定点，的距离之比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出该曲线.【解析】设点为曲线上任意一点，因为曲线是与两个定点，的距离之比为的点的轨迹，所以，所以，化简得，即所求曲线方程为，变式20．（2023·江苏·高二专题练习）已知、两定点．若动点满足，求动点的轨迹方程．【解析】设，则，由，得，即，所以动点的轨迹方程为．变式21．（2023·江苏·高二专题练习）的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程.【解析】设的重心G的坐标是，点A的坐标是.已知点B，C的坐标分别是，，则的重心G的坐标满足，.因此有，.①因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足方程，即满足方程.②将①代入②，得.即所求轨迹方程为.变式22．（2023·高二课时练习）已知直线与圆交于A，B两点，.(1)求实数a的值；(2)若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足，求动点M的轨迹方程.【解析】（1）圆，即，，则圆心，半径，记为圆心到直线的距离，由，得，而，因此，所以.（2）设，，由，得，解得，由点在圆上，得，于是，所以动点的轨迹方程为.变式23．（2023·江苏·高二专题练习）已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点．(1)求线段AP的中点的轨迹方程．(2)若，求线段中点的轨迹方程．【解析】（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为∵点在圆上，∴．故线段中点的轨迹方程为．（2）设的中点为，在中，，设为坐标原点，则，所以，所以．故线段中点的轨迹方程为．变式24．（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知点A(1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x01，2y0)，由重心坐标公式得，则代入，整理得故所求轨迹方程为.变式25．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.【解析】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；（2）设，，由，得，所以，又点在圆上，故，所以，化简得的轨迹方程为【方法技巧与总结】用直接法求曲线方程的步骤如下：（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为；（2）几何点集：写出满足题设的点的集合；（3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程；（4）化简方程：通过同解变形化简方程；（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．求轨迹时常用的方法：代入法对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．【过关测试】一、单选题1．（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知圆C的方程为，则圆C的半径为（

）A． B．2 C． D．8【答案】C【解析】由圆C的半径得，所以圆C的半径为，故选：C2．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【解析】若乙、丙同学的结论正确，则该圆的方程为，当，时，成立，此时丁的结论正确，当，时，不成立，此时甲的结论错误.故选：A.3．（2023·全国·高二专题练习）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，则，设点，由，得，化简并整理得：，于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，所以M点的轨迹长为.故选：A.4．（2023·高二课时练习）方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】以为圆心，为半径的圆的标准方程为，即，所以.故选：D5．（2023·浙江杭州·高二校联考阶段练习）已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取，连接，则，又，所以，又，故∽，故，从而，所以，当三点共线时，取得最小值，最小值为.故选：C6．（2023·江苏·高二专题练习）已知点，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令点，则，于是，即点的轨迹是直线，圆的圆心，半径，而点在圆上，则，因此，令点关于直线对称点，，则有，解得，即，因此，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号，直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点，所以当点与重合时，，.故选：C7．（2023·江苏·高二专题练习）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设点的坐标为，因为点是线段的中点，可得，点在圆上，则，即.故选：A.8．（2023·江苏·高二专题练习）若圆与圆关于直线对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设圆的圆心关于直线y＝x－1的对称点是，则由题意可得，计算可得，由题知它是圆的圆心，所以a＝2.设点P的坐标为（x，y），则有，化简得.故选：C二、多选题9．（2023·江西宜春·高二校考期中）已知方程，则下列说法正确的是（

）A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切【答案】BCD【解析】由题意，方程，可化为，可圆的圆心坐标为，A中，当时，此时半径为，所以A错误；B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．故选：BCD.10．（2023·浙江·高二校联考期中）已知直线：，圆：，下列说法正确的是（

）A．圆的圆心为，半径B．直线与圆相交且平分圆的面积与周长C．若直线在两坐标轴上的截距相等，则D．若直线的倾斜角为，则【答案】BD【解析】，直线过定点.A：由可知，圆的圆心为，半径为，所以本选项不正确；B：因为直线过定点恰好是圆的圆心，所以直线与圆相交且平分圆的面积与周长，因此本选项正确；C：当时，直线的方程为，直线在两坐标轴上的截距都是零，显然相等，所以本选项不正确；D：因为直线的倾斜角为，所以，因此本选项正确，故选：BD11．（2023·高二课时练习）设有一组圆：，下列命题正确的是（

）A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上B．所有圆均不经过点C．经过点的圆有且只有一个D．所有圆的面积均为【答案】ABD【解析】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；C选项，将代入得：，其中，故经过点的圆有两个，故C错误；D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确.故选：ABD.12．（2023·高二课时练习）已知曲线（

）A．若，则C是圆B．若，，则C是圆C．若，，则C是直线D．若，，则C是直线【答案】BC【解析】对于A，当时，，若，则C是圆；若，则C是点；若，则C不存在.故A错误.对于B，当时，，且，则C是圆，故B正确.对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确.对于D，当，时，，若，则表示一元二次方程，若，则表示抛物线，故D错误.故选：BC三、填空题13．（2023·高二课时练习）由曲线围成的图形的面积为.【答案】【解析】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可，当，时，曲线可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，则第一象限围成的面积为，故曲线围成的图形的面积为.故答案为：.14．（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为.【答案】【解析】设过A、B、C的圆的方程为：（），则，解得，所以过A、B、C的圆的方程为：，又因为点D在此圆上，所以，解得，所以点D到坐标原点O的距离为.故答案为：.15．（2023·全国·高二期中）对平面上两点A、B，满足的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，若动点P满足，则的最小值是．【答案】【解析】由题意知：，即，（当且仅当三点按顺序共线时取等号），又，的最小值为；故答案为：.16．（2023·高二课前预习）已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为.【答案】【解析】因为方程表示圆，即表示圆,所以，解得,易知圆心坐标为，且，设圆心坐标为，则有，消去，得即为所求圆心的轨迹方程.故答案为：四、解答题17．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，．(1)求以AB为直径的圆的方程；(2)若直线经过点A，且点B到直线的距离为，求直线的一般式方程．【解析】（1）由知，故此圆以线段中点为圆心，以为半径，其标准方程可写为．（2）因为直线经过点，可设其为，由点B到直线距离为3，可知，解得或，故直线的一般式方程为或18．（2023·全国·高二课堂例题）