2022-2023学年江西省萍乡市高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3江西省萍乡市2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号.座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册第一章，第二章前四节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列中，，，则（）A.5 B.6 C.14 D.15〖答案〗C〖解析〗由题意可得，，．故选：C.2.某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体的平均速度为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由位移与时间之间的关系为，根据平均变化率的计算公式，可得在这段时间内，该物体的平均速度为：故选：B.3.在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：①当由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在100个易怒的人中有90人患心脏病；②由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误；③由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是（）A.3 B.2 C.1 D.0〖答案〗B〖解析〗由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与易怒有关，则①错误，③正确．由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误，则②正确．故选：B4.已知变量关于的回归直线方程为，相关系数为，则下列选项正确的是（）A.若，则与是正相关B.若接近，则表示与的相关性很强C.若，则D.若变量增大一个单位，则变量就一定增加个单位〖答案〗C〖解析〗对于A：若，则与是正相关，故A错误；对于B：若接近，则表示与的相关性很强，故B错误；对于C：若，则与是正相关，则，故C正确；对于D：线性回归方程为估计值，不知准确值，故D错误．故选：C．5.在正项等比数列中，若，是方程．的两个不同的实根，则（）A.10 B.5 C.9 D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，所以，则．故选：D6.鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的形状以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如下表所示：脚长222222.52323.52424.52525.52626.527欧码3535.53636537.53838.5394040.54142某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为．已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为（）A.36码 B.36.5码C.38码 D.39码〖答案〗C〖解析〗由题意可估计该女学生的脚长为，则她穿的鞋子为38码．故选：C.7.小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（）A.19903元 B.19913元 C.20103元 D.20113元〖答案〗C〖解析〗设小方第天存钱元，则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，所以小方存钱203天的储蓄总额为元．故选：C8.如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为3，正四棱柱的高为1，则该几何体的体积的最大值为（）A.15 B.16 C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，连接与交于点，连接，因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，又因为平面，所以，由题意知，正四棱锥的侧棱长为，且正四棱柱的侧棱长为，设正四棱柱的底面边长为，在正方形中，可得，所以，则几何体的体积为，令，可得且，可得，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以几何体的体积的最大值为.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某机构为了调查某地中学生是否喜欢数学课与性别之间的关系，通过抽样调查的方式收集数据，经过计算得到，由，可知下列结论正确的是（）A.有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关B.有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关C.在犯错误概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关〖答案〗BD〖解析〗因为，所以有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关，即在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关．故选：BD.10.已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（）A.在上单调递增B.曲线在处的切线的斜率为0C.D.有1个极大值点〖答案〗ABD〖解析〗根据定义在区间上的函数的导函数的图象，对于A中，当时，，且仅当时，，所以在上单调递增，所以A正确；对于B中，当时，可得，所以曲线在处的切线的斜率为，所以B正确；对于C中，因为在上单调递增，所以不是函数的最大值，所以C不正确；对于D中，由的图象，可得时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以只有当时，函数取得极大值，所以有1个极大值点，所以D正确.故选：ABD.11.将正整数排成如图所示的数阵，则（）A.第10行第1个数为46 B.第10行第10个数为56C.前10行所有数的和为1540 D.第10行所有数的和为505〖答案〗ACD〖解析〗设每一行的第一个数字构成数列，由题图，则，…，，且n＞1，累加得，所以，显然n=1也成立，，A正确.第10行第10个数为55，B错误.前10行所有数字的和为，C正确.第10行所有数字的和为，D正确.故选：ACD12.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗设，，则恒成立，则在单调递减，可得，即.令，则，且，即，故；因为，则，又因为，则，所以，即.因为，则，即，即.综上所述：故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知函数，则________.〖答案〗〖解析〗由〖解析〗式知：，即，解得.故〖答案〗为：.14.已知等比数列的前项和为，若，则___________.〖答案〗〖解析〗设等比数列公比为，则，即等比数列的前项和要满足，又因为，所以.故〖答案〗为：15.已知直线与函数，的图象分别交于点，，则的最小值为___________.〖答案〗12〖解析〗显然，当时，，，令函数，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，即的最小值为12.故〖答案〗为：1216.已知数列和满足，则________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，整理得．因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．因为，所以，则，所以，所以．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）由题设且，则，，令公差为，所以，可得，所以.（2）由，则，所以.18.近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时出现了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：选择甲公司购物平台选择乙公司购物平台合计用户年龄段为岁302050用户年龄段为岁203050合计5050100（1）能否有的把握认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？（2）为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物的原因，用频率近似概率，从观看过这两家短视频的年龄段为1924岁和2534岁的用户中各抽取2名用户进行回访，求抽出的4人中选择甲公司购物的人数恰好为2的概率.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）根据列联表中的数据，则，所以有的把握认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关联.（2）设从观看过这两家短视频的年龄段为19~24岁的用户中抽取的2名用户中选择甲公司购物的人数为，则.设从观看过这两家短视频的年龄段为25~34岁的用户中抽取的2名用户中选择甲公司购物的人数为，则.设“抽出的4人中选择甲公司购物的人数恰好为2”为事件A，则.因为，，，所以.19.已知函数.（1）若在处取得极值，求a的值；（2）若有两个零点，求a的取值范围.解：（1）由函数，可得函数的定义域为，且，因为函数在处取得极值，所以，解得，当时，可得，当时，，单调递减当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，符合题意.（2）由，其中，当时，可得，单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；当时，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，函数极小值，也是最小值，最小值为，当时，，且，要使得函数有两个零点，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.20.某研发小组为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近10年的年研发资金投入量和年销售额的数据（），建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.设，，经过计算得如下数据.2066770200144604.2031250000.30821500（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型.（2）根据（1）中选择的模型及表中数据，建立关于的线性回归方程（系数精确到0.01），根据线性回归方程，若当年的销售额大致为亿元，则估计当年的研发资金投入量为多少亿元.参考公式：相关系数，线性回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为，.解：（1）由题意可知因为，所以从相关系数的角度，模型的拟合程度更好.（2）因为，所以，即.由题中数据可得，则，从而关于的线性回归方程为，故，即.将年销售额亿元，代入，得，解得，故估计当年的研发资金投入量为亿元.21.在数列中，，.（1）证明：为等比数列.（2）设，若是递增数列，求的取值范围.解：（1）因为，所以，因为，所以，则，则是以1为首项，4为公比的等比数列.（2）由（1）可得，，即.，则，故，因为是递增数列，所以，即.当为奇数时，，即，由于，易知单调递减，所以；当为偶数时，，即，由于，易知单调递增，所以.综上，的取值范围为.22.定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若在上存在1级“平移点”，求的取值范围.解：（1）当时，，.，.故曲线在处的切线方程为（2）因为在上存在1级“平移点”，所以存在，使.由，得，即，即与图象有公共点，令，则，所以在上单调递增，所以，因为，所以，，所以，所以，所以.江西省萍乡市2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号.座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册第一章，第二章前四节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列中，，，则（）A.5 B.6 C.14 D.15〖答案〗C〖解析〗由题意可得，，．故选：C.2.某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体的平均速度为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由位移与时间之间的关系为，根据平均变化率的计算公式，可得在这段时间内，该物体的平均速度为：故选：B.3.在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：①当由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在100个易怒的人中有90人患心脏病；②由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误；③由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是（）A.3 B.2 C.1 D.0〖答案〗B〖解析〗由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与易怒有关，则①错误，③正确．由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误，则②正确．故选：B4.已知变量关于的回归直线方程为，相关系数为，则下列选项正确的是（）A.若，则与是正相关B.若接近，则表示与的相关性很强C.若，则D.若变量增大一个单位，则变量就一定增加个单位〖答案〗C〖解析〗对于A：若，则与是正相关，故A错误；对于B：若接近，则表示与的相关性很强，故B错误；对于C：若，则与是正相关，则，故C正确；对于D：线性回归方程为估计值，不知准确值，故D错误．故选：C．5.在正项等比数列中，若，是方程．的两个不同的实根，则（）A.10 B.5 C.9 D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，所以，则．故选：D6.鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的形状以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如下表所示：脚长222222.52323.52424.52525.52626.527欧码3535.53636537.53838.5394040.54142某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为．已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为（）A.36码 B.36.5码C.38码 D.39码〖答案〗C〖解析〗由题意可估计该女学生的脚长为，则她穿的鞋子为38码．故选：C.7.小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（）A.19903元 B.19913元 C.20103元 D.20113元〖答案〗C〖解析〗设小方第天存钱元，则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，所以小方存钱203天的储蓄总额为元．故选：C8.如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为3，正四棱柱的高为1，则该几何体的体积的最大值为（）A.15 B.16 C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，连接与交于点，连接，因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，又因为平面，所以，由题意知，正四棱锥的侧棱长为，且正四棱柱的侧棱长为，设正四棱柱的底面边长为，在正方形中，可得，所以，则几何体的体积为，令，可得且，可得，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以几何体的体积的最大值为.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某机构为了调查某地中学生是否喜欢数学课与性别之间的关系，通过抽样调查的方式收集数据，经过计算得到，由，可知下列结论正确的是（）A.有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关B.有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关C.在犯错误概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关〖答案〗BD〖解析〗因为，所以有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关，即在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关．故选：BD.10.已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（）A.在上单调递增B.曲线在处的切线的斜率为0C.D.有1个极大值点〖答案〗ABD〖解析〗根据定义在区间上的函数的导函数的图象，对于A中，当时，，且仅当时，，所以在上单调递增，所以A正确；对于B中，当时，可得，所以曲线在处的切线的斜率为，所以B正确；对于C中，因为在上单调递增，所以不是函数的最大值，所以C不正确；对于D中，由的图象，可得时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以只有当时，函数取得极大值，所以有1个极大值点，所以D正确.故选：ABD.11.将正整数排成如图所示的数阵，则（）A.第10行第1个数为46 B.第10行第10个数为56C.前10行所有数的和为1540 D.第10行所有数的和为505〖答案〗ACD〖解析〗设每一行的第一个数字构成数列，由题图，则，…，，且n＞1，累加得，所以，显然n=1也成立，，A正确.第10行第10个数为55，B错误.前10行所有数字的和为，C正确.第10行所有数字的和为，D正确.故选：ACD12.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗设，，则恒成立，则在单调递减，可得，即.令，则，且，即，故；因为，则，又因为，则，所以，即.因为，则，即，即.综上所述：故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知函数，则________.〖答案〗〖解析〗由〖解析〗式知：，即，解得.故〖答案〗为：.14.已知等比数列的前项和为，若，则___________.〖答案〗〖解析〗设等比数列公比为，则，即等比数列的前项和要满足，又因为，所以.故〖答案〗为：15.已知直线与函数，的图象分别交于点，，则的最小值为___________.〖答案〗12〖解析〗显然，当时，，，令函数，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，即的最小值为12.故〖答案〗为：1216.已知数列和满足，则________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，整理得．因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．因为，所以，则，所以，所以．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）由题设且，则，，令公差为，所以，可得，所以.（2）由，则，所以.18.近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时出现了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：选择甲公司购物平台选择乙公司购物平台合计用户年龄段为岁302050用户年龄段为岁203050合计5050100（1）能否有的把握认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？（2）为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物的原因，用频率近似概率，从观看过这两家短视频的年龄段为1924岁和2534岁的用户中各抽取2名用户进行回访，求抽出的4人中选择甲公司购物的人数恰好为2的概率.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）根据列联表中的数据，则，所以有的把握认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关联.（2）设从观看过这两家短视频的年龄段为19~24岁的用户中抽取的2名用户中选择甲公司购物的人数为，则.设从观看过这两家短视频的年龄段为25~34岁的用户中抽取的2名用户中选择甲公司购物的人数为，则.设“抽出的4人中选择甲公司购物的人数恰好为2”为事件A，则.因为，，，所以.19.已知函数.（1）若在处取