2022-2023学年安徽省池州市贵池区高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2安徽省池州市贵池区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.下列求导运算正确的是（

）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，故A不正确；因为，故B不正确；因为，故C正确；因为，故D不正确.故选：C.2.已知是函数的导函数，若，则（）A. B.2 C. D.8〖答案〗A〖解析〗.故选：A3.已知等差数列的前n项和为，且，则（）A.40 B.45 C.80 D.90〖答案〗B〖解析〗．故选：B．4.在等比数列中,,是方程的两个根,则等于（）A. B.C. D.以上皆不是〖答案〗C〖解析〗依题意可得，，所以，则，故选C5.、、、、等名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）.已知学生和都不是第一名也都不是最后一名，则这人最终名次的不同排列有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗B〖解析〗先从、、名同学中选名同学分配第一名和最后一名，剩余名同学的名次无限制，由分步乘法计数原理可知，这人最终名次的不同排列的种数为种.故选：B.6.曲线上的点到直线的最短距离是（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗，所以，设曲线在处的切线与直线平行，则，所以，切点，曲线上的点到直线的最短距离即为切点P到直线的距离，故选：A．7.小明的弟弟喜欢玩黏土，现在有4种颜色的黏土，小明的弟弟想要在如图所示圆盘（分为5个区域）上填入黏土，要求每个区域只能填入一种颜色的黏土，且相邻区域不得使用同一种颜色的黏土，则不同的填入方法共有（）A.24种 B.48种 C.72种 D.96种〖答案〗C〖解析〗由题意知，可分2种情况讨论：（1）选用3种颜色时，必须是区域2、4同色，区域3、5同色与区域1全排列填入方法有：种，（2）选用4种颜色时，区域2、4同色或区域3、5同色的填入方法有：种，所以不同的填入方法有种.故选：C.8.已知函数，，是函数的极值点，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，求导，令，得令，得，所以当时，单调递增，又，，故当时，函数的值域为因为，求导，令，得所以在上单调递增，在上单调递减，即是函数的极值点，又是函数的极值点，所以，得，且．因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，当时，，所以，则，解得：．故选：A．二、多选题（每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.记是数列的前n项和，且，则下列说法正确的有（）A.数列是等差数列 B.数列是递减数列C. D.当时，取得最大值〖答案〗ACD〖解析〗∵，∴数列是等差数列，故A正确；，∵，从而，可知数列不是递减数列，故B错误，C正确；∵，，∴当时，取得最大值，故D正确.故选：ACD.10.某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，选法总数为B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C.若物理和历史不能同时选，选法总数为D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20〖答案〗AB〖解析〗对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法，由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有种选法，选化学，不选物理，有种选法，物理与化学都选，不选历史，有种选法故总数为种，故D正确.故选：AB.11.设数列前项和为，且，则（）A.数列是等比数列 B.C. D.的前项和为〖答案〗ACD〖解析〗由已知，当时，可得选项A，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；选项B，由选项A可得解得，故B错误；选项C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，故C正确；选项D，因为，故D正确.故选：ACD.12.对于定义域为R的函数，若满足：①；②当，且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗经验证，，，，都满足条件①；，或；当且时，等价于，即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；A中，，，则当时，由，得，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；B中，，，当时，，，当时，，，则当时，都有，符合条件②，∴函数在上单调递减，在上单调递增，由单调性知，当时，，∴，令，，，当且仅当即时，“”成立，∴在，上是减函数，∴，即，符合条件③，故是“偏对称函数”；C中，由函数，当时，，当时，，符合条件②，∴函数上单调递减，在上单调递增，有单调性知，当时，，设，，则，在上是减函数，可得，∴，即，符合条件③，故是“偏对称函数”；D中，，则，则是偶函数，而（），则根据三角函数的性质可知，当时，的符号有正有负，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；故选：BC．第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中16小题第1空2分，第2空3分）13.已知函数的导函数为，且满足，则___．〖答案〗〖解析〗依题意，对两边求导得：，当时，，解得，所以.故〖答案〗为：－114.等差数列的前n项和为，若，则_________〖答案〗0〖解析〗设等差数列的公差为，所以.所以.故〖答案〗为：015.已知函数在时有极值为0，则______.〖答案〗11〖解析〗因为，所以，

所以，解得，或，当时，，则与题意在时有极值矛盾，舍去，故，所以.故〖答案〗为：1116.设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则___________；若，分别满足方程，则___________.〖答案〗①②2〖解析〗由题，，，由可得，的图像的对称中心为，即，，所以和关于对称，故；令，同理可求的对称中心，，，由可得，对称中心为，即，，故，由，故单调递增，即是一一对应的函数，故和关于对称，故，故〖答案〗为：；2四、解答题（17题10分，18-22每题12分）17.一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？解：（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有种；第二种，3红2白，取法有种，第三种，2红3白，取法有种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有18.设，数列满足：（1）求证：数列是等比数列（要指出首项与公比）；（2）求数列的通项公式．解：（1）因为，两边同时加2得：，∴，又，∴数列是首项为4，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知．∴．则令，则，，…，，上式相加得：所以．19.某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为的正方形纸板，如图所示，先在正方形的相邻两个角各切去一个边长为的正方形，然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．（1）求包装盒的容积V（x）关于x的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？解：（1）因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，所以包装盒的容积为，函数的定义域为．（2）由（1）得，，令，即，解得或（舍），∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，∴当时，函数取得极大值，也是函数的最大值，所以.即切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是20.已知等比数列满足，，数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求的前项和．解：（1）由题意，设等比数列的公比为，则有，解得，；；（2），；综上，.21.已知数列的前项和为，，数列满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）∵∴当时，，当时，由，得，即，数列是公差为2等差数列，由条件得，即数列是公比为2的等比数列，；（2）∵，则，，，，恒成立，则恒成立，令，则，，，，故实数的取值范围是﹒22.已知函数．（1）若a＝1，求函数的单调区间及在x＝1处的切线方程；（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，由，有，由有，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的减区间为，增区间为；又，所以切点为，切线斜率，所以切线方程，即切线方程为.（2），，设，则∵，∴，在上单调递增，，①当，即时，，在上单调递增，则，∴，故．②当，即时，，，，即，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，则，∴，∴．由，令函数，且，，在上单调递增，，∵，∴．综上，实数a的取值范围是：．安徽省池州市贵池区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.下列求导运算正确的是（

）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，故A不正确；因为，故B不正确；因为，故C正确；因为，故D不正确.故选：C.2.已知是函数的导函数，若，则（）A. B.2 C. D.8〖答案〗A〖解析〗.故选：A3.已知等差数列的前n项和为，且，则（）A.40 B.45 C.80 D.90〖答案〗B〖解析〗．故选：B．4.在等比数列中,,是方程的两个根,则等于（）A. B.C. D.以上皆不是〖答案〗C〖解析〗依题意可得，，所以，则，故选C5.、、、、等名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）.已知学生和都不是第一名也都不是最后一名，则这人最终名次的不同排列有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗B〖解析〗先从、、名同学中选名同学分配第一名和最后一名，剩余名同学的名次无限制，由分步乘法计数原理可知，这人最终名次的不同排列的种数为种.故选：B.6.曲线上的点到直线的最短距离是（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗，所以，设曲线在处的切线与直线平行，则，所以，切点，曲线上的点到直线的最短距离即为切点P到直线的距离，故选：A．7.小明的弟弟喜欢玩黏土，现在有4种颜色的黏土，小明的弟弟想要在如图所示圆盘（分为5个区域）上填入黏土，要求每个区域只能填入一种颜色的黏土，且相邻区域不得使用同一种颜色的黏土，则不同的填入方法共有（）A.24种 B.48种 C.72种 D.96种〖答案〗C〖解析〗由题意知，可分2种情况讨论：（1）选用3种颜色时，必须是区域2、4同色，区域3、5同色与区域1全排列填入方法有：种，（2）选用4种颜色时，区域2、4同色或区域3、5同色的填入方法有：种，所以不同的填入方法有种.故选：C.8.已知函数，，是函数的极值点，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，求导，令，得令，得，所以当时，单调递增，又，，故当时，函数的值域为因为，求导，令，得所以在上单调递增，在上单调递减，即是函数的极值点，又是函数的极值点，所以，得，且．因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，当时，，所以，则，解得：．故选：A．二、多选题（每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.记是数列的前n项和，且，则下列说法正确的有（）A.数列是等差数列 B.数列是递减数列C. D.当时，取得最大值〖答案〗ACD〖解析〗∵，∴数列是等差数列，故A正确；，∵，从而，可知数列不是递减数列，故B错误，C正确；∵，，∴当时，取得最大值，故D正确.故选：ACD.10.某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，选法总数为B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C.若物理和历史不能同时选，选法总数为D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20〖答案〗AB〖解析〗对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法，由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有种选法，选化学，不选物理，有种选法，物理与化学都选，不选历史，有种选法故总数为种，故D正确.故选：AB.11.设数列前项和为，且，则（）A.数列是等比数列 B.C. D.的前项和为〖答案〗ACD〖解析〗由已知，当时，可得选项A，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；选项B，由选项A可得解得，故B错误；选项C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，故C正确；选项D，因为，故D正确.故选：ACD.12.对于定义域为R的函数，若满足：①；②当，且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗经验证，，，，都满足条件①；，或；当且时，等价于，即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；A中，，，则当时，由，得，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；B中，，，当时，，，当时，，，则当时，都有，符合条件②，∴函数在上单调递减，在上单调递增，由单调性知，当时，，∴，令，，，当且仅当即时，“”成立，∴在，上是减函数，∴，即，符合条件③，故是“偏对称函数”；C中，由函数，当时，，当时，，符合条件②，∴函数上单调递减，在上单调递增，有单调性知，当时，，设，，则，在上是减函数，可得，∴，即，符合条件③，故是“偏对称函数”；D中，，则，则是偶函数，而（），则根据三角函数的性质可知，当时，的符号有正有负，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；故选：BC．第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中16小题第1空2分，第2空3分）13.已知函数的导函数为，且满足，则___．〖答案〗〖解析〗依题意，对两边求导得：，当时，，解得，所以.故〖答案〗为：－114.等差数列的前n项和为，若，则_________〖答案〗0〖解析〗设等差数列的公差为，所以.所以.故〖答案〗为：015.已知函数在时有极值为0，则______.〖答案〗11〖解析〗因为，所以，

所以，解得，或，当时，，则与题意在时有极值矛盾，舍去，故，所以.故〖答案〗为：1116.设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则___________；若，分别满足方程，则___________.〖答案〗①②2〖解析〗由题，，，由可得，的图像的对称中心为，即，，所以和关于对称，故；令，同理可求的对称中心，，，由可得，对称中心为，即，，故，由，故单调递增，即是一一对应的函数，故和关于对称，故，故〖答案〗为：；2四、解答题（17题10分，18-22每题12分）17.一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？解：（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有种；第二种，3红2白，取法有种，第三种，2红3白，取法有种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有18.设，数列满足：（1）求证：数列是等比数列（要指出首项与公比）；（2）求数列的通项公式．解：（1）因为，两边同时加2得：，∴，又，∴数列是首项为4，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知．∴．则令，则，，…