2022-2023学年江西省吉安市双校联盟高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3江西省吉安市双校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，，那么等于（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意．故选：A．2.设复数z满足（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗复数z满足，，.故选：C.3.已知曲线，曲线，则下列结论正确的是（）A.将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线B.将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C.将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线D.将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线〖答案〗D〖解析〗A.得到曲线：，所以该选项错误；B.得到曲线：，所以该选项错误；C.得到曲线：，所以该选项错误；D.得到曲线：，所以该选项正确.故选：D4.要为5名游客和2位导游拍照留念，要求排成一排，且2位导游相邻，不同排法共有（）种A.1440 B.960 C.720 D.240〖答案〗A〖解析〗因为两位导游要相邻，因此将两位导游看作一个人，内部排列有种排法，将两位导游看作一个人和其他人全排列有种排法，因此根据乘法原理共有种排法，故选：A5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形．若该几何体的体积为，并且可以用个这样的几何体拼成一个棱长为2的正方体，则，的值是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗由三视图还原原几何体的直观图如图所示：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，，边长为2的正方体的体积为，∴，故选：B．6.在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）A.2 B.2 C.4 D.4〖答案〗B〖解析〗如图，连接CM，因为PC⊥平面ABC，平面ABC，所以PC⊥CM，因为PC＝4，所以，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有，所以PM的最小值为.故选：B.7.已知数列满足，，则的最小值为（）A.2-1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，所以，，，，，，累加上述式子得：，所以，，检验已知时，满足.故，，由于函数在区间上单调递减，在上单调递增，又因为，当时，，当时，，所以的最小值为.故选：C.8.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026〖答案〗B〖解析〗由得，因此数列为公比为4，首项为的等比数列，故，进而根据累加法得，，，又，，令，，，代入得，故选：B.二、多选题（每题5分，共20分）9.某同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数的（）A.众数为2和3 B.平均数为3C.标准差为 D.第85百分位数为4.5〖答案〗AB〖解析〗对于A，因为2和3出现的次数最多，均为3次，所以众数为2和3，所以A正确，对于B，平均数为，所以B正确，对于C，标准差为，所以C错误，对于D，因为这组数从小到大排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，且，所以第85百分位数为第9个数5，所以D错误，故选：AB10.若函数是偶函数，定义域为，则（）A.a=3 B.b=0C.函数的定义域为 D.函数的最小值为1〖答案〗BCD〖解析〗由函数是偶函数，定义域为[a－1，2a]得，解得，故，故A错误，BC正确，由于，故当时，的最小值为1，故D正确，故选：BCD11.如图，为圆锥底面直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为C.的取值范围是D.若，为线段上的动点，则的最小值为〖答案〗AB〖解析〗在中，，则圆锥的母线长，半径，对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A正确；对于选项B：当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为，故选项B正确；对于选项C：当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，，达到最大值，又因为与A，不重合，则，又，所以，故选项C错误；对于选项D：由，，，得，又，则为等边三角形，则，将以为轴旋转到与共面，得到△，则△为等边三角形，，如图：则，因为，，则，故选项D错误；故选：AB．12.在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（）A. B.x＋y的取值范围为C.若，则的取值范围为 D.的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗对A，，，又因为，即，解得，故A正确，对B，因为，，则，解得，则，则，当且仅当时等号成立，根据对勾函数的图象与性质可知当或1时，，则，故B错误，对C，因为，，所以，因为点三点共线，则存在，使得则有，则，，故C正确；对D，，，则，因为，则，则，故D正确.故选：ACD.三、填空题（共20分）13.在等差数列中，，则数列的前项和__________.〖答案〗〖解析〗设等差数列的首项与公差，则有，解得，故.故〖答案〗为：14.已知圆内接四边形ABCD中，，，，，则_________．〖答案〗〖解析〗如图，在圆内接四边形中，，所以，，因为，所以，又，所以，连接BD，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，又因为，所以，则，由，解得.故〖答案〗为：.15.已知随机事件A，B，，，，则________.〖答案〗〖解析〗依题意得，所以故，所以.故〖答案〗为：.16.如图，已知抛物线及两点和，其中.过、分别作轴的垂线，交抛物线于、两点，直线与轴交于点，此时就称、确定了.依此类推，可由、确定、.记，、、、.给出下列三个结论：①数列是递减数列；②对任意，；③若，，则.其中，所有正确结论的序号是_____．〖答案〗①②③.〖解析〗由题意知，，，直线斜率为，则直线的方程为，令，则，，即，在等式两边取倒数得.，，由此可得出，，，命题②正确；，则，由②知，对任意的，，，即数列是单调递减数列，命题①正确；若，，则，，，命题③正确.故〖答案〗为：①②③.四、解答题（共70分）17.已知圆，直线．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当时，求直线l被圆C截得的弦长．解：（1）依题意直线，整理得，由解得，所以恒过定点.（2）当时，直线，圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，所以直线l被圆C截得的弦长为.18.某学校高中三个年级共有名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层随机抽样获得了20名学生某周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：高一年级高二年级高三年级（1）试估计该校高三年级的学生人数；（2）从高一年级和高二年级样本学生中各随机抽取一人，高一年级抽取的人记为甲，高二年级抽取的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，10，11（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小关系.（只需写出结论）解：（1）由表格知：高一是5人，高二是7人，高三是8人，所以，在400名学生中高三的人数为（人）；（2）设从高一人数中随机抽取一人为事件：，，；从高二人数中随机抽取一人为事件：，，；则与是相互独立的事件，，高一随机抽取的人的课后学习时间大于高二随机抽取的人的课后学习时间为事件：，则，=，高一随机抽取的人的课后学习时间不大于高二随机抽取的人的课后学习时间为事件，；（3）由表格知原平均时间，加入新数据后平均时间为：，即；综上，高三的人数为160（人），甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为；.19.首项为正数的数列满足．（1）证明：若为奇数，则对，都是奇数；（2）若对，都有，求的取值范围．解：（1）因为，则，所以，又首项为正数，则利用数学归纳法证明：已知是奇数，时成立．假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数，即时也成立．由，可知对任何，都是奇数．（2）由，得，于是或．，因为所有的均大于0，因此与同号．因此，对一切都有的充要条件是或．20.在四棱锥中，四边形为平行四边形，三角形为等边三角形，已知，，，.（1）求证：（2）求直线与面所成的角的正弦值.解：（1）设的中点为，连接与，因为是等边三角形，所以，又因为，所以平面，则，，，所以是等腰直角三角形，且（2）由（1）可知平面，即平面平面，又因为，，所以以为原点，过在所在平面内作的垂线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系则点，设平面的法向量，令，则则，所以因此直线与面所成的角的正弦值21.定义：若对任意正整数，数列的前项和都是整数的完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.（1）若数列满足，判断为是否为“完全平方数列”；（2）若数列的前项和（是正整数），那么是否存在，使数列为“完全平方数列”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式.解：（1）不是“完全平方数列”.不是整数的完全平方数.（2）数列的前项和（是正整数），当时，，当时，不满足上式，所以①当，时，，所以数列与原数列相同，所以，所以当时，数列为“完全平方数列”，②当时，，不是完全平方数，所以当时，数列不是“完全平方数列”，综上，当时，数列为“完全平方数列”，（3）因为为完全平方数，故，,若，则，若对任意的，均为完全平方数，则，否则假设为的素因数，且恰好能整除，为正整数，若为奇数，则不是完全平方，矛盾；若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾，若，则，若，取，则或，当为偶数时，此时、均不是完全平方数，故为奇数，取，则，为奇数，故此时不是完全平方数，故即，故，设，故，所以即（）.22.已知椭圆为其左、右焦点，为上点..当，面积最大.（1）求椭圆C的离心率.（2）过P与椭圆C相切的切线方程为，求椭圆C的方程.（3）在（2）的前提下，若.过P的直线交C的另一点，A为C的左顶点.求面积的最大值.解：（1）由椭圆性质知：面积最大，则为椭圆的上下顶点，此时，且，所以，可得.（2）由题意，过P与椭圆C相切的切线为，代入，所以，整理得，所以，则，即，且，由（1）知，则，，故.（3）由（2）知：，则直线，如下图，要使面积最大，只需与直线距离最远即可，保证是直线的平行线与椭圆的切点，且直线与直线距离最远，令，联立椭圆并整理得：，所以，则，由图易知：当，即时，直线与直线距离最远，则，即与直线距离最远为，而，所以面积的最大值为.江西省吉安市双校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，，那么等于（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意．故选：A．2.设复数z满足（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗复数z满足，，.故选：C.3.已知曲线，曲线，则下列结论正确的是（）A.将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线B.将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C.将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线D.将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线〖答案〗D〖解析〗A.得到曲线：，所以该选项错误；B.得到曲线：，所以该选项错误；C.得到曲线：，所以该选项错误；D.得到曲线：，所以该选项正确.故选：D4.要为5名游客和2位导游拍照留念，要求排成一排，且2位导游相邻，不同排法共有（）种A.1440 B.960 C.720 D.240〖答案〗A〖解析〗因为两位导游要相邻，因此将两位导游看作一个人，内部排列有种排法，将两位导游看作一个人和其他人全排列有种排法，因此根据乘法原理共有种排法，故选：A5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形．若该几何体的体积为，并且可以用个这样的几何体拼成一个棱长为2的正方体，则，的值是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗由三视图还原原几何体的直观图如图所示：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，，边长为2的正方体的体积为，∴，故选：B．6.在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）A.2 B.2 C.4 D.4〖答案〗B〖解析〗如图，连接CM，因为PC⊥平面ABC，平面ABC，所以PC⊥CM，因为PC＝4，所以，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有，所以PM的最小值为.故选：B.7.已知数列满足，，则的最小值为（）A.2-1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，所以，，，，，，累加上述式子得：，所以，，检验已知时，满足.故，，由于函数在区间上单调递减，在上单调递增，又因为，当时，，当时，，所以的最小值为.故选：C.8.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026〖答案〗B〖解析〗由得，因此数列为公比为4，首项为的等比数列，故，进而根据累加法得，，，又，，令，，，代入得，故选：B.二、多选题（每题5分，共20分）9.某同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数的（）A.众数为2和3 B.平均数为3C.标准差为 D.第85百分位数为4.5〖答案〗AB〖解析〗对于A，因为2和3出现的次数最多，均为3次，所以众数为2和3，所以A正确，对于B，平均数为，所以B正确，对于C，标准差为，所以C错误，对于D，因为这组数从小到大排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，且，所以第85百分位数为第9个数5，所以D错误，故选：AB10.若函数是偶函数，定义域为，则（）A.a=3 B.b=0C.函数的定义域为 D.函数的最小值为1〖答案〗BCD〖解析〗由函数是偶函数，定义域为[a－1，2a]得，解得，故，故A错误，BC正确，由于，故当时，的最小值为1，故D正确，故选：BCD11.如图，为圆锥底面直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为C.的取值范围是D.若，为线段上的动点，则的最小值为〖答案〗AB〖解析〗在中，，则圆锥的母线长，半径，对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A正确；对于选项B：当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为，故选项B正确；对于选项C：当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，，达到最大值，又因为与A，不重合，则，又，所以，故选项C错误；对于选项D：由，，，得，又，则为等边三角形，则，将以为轴旋转到与共面，得到△，则△为等边三角形，，如图：则，因为，，则，故选项D错误；故选：AB．12.在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（）A. B.x＋y的取值范围为C.若，则的取值范围为 D.的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗对A，，，又因为，即，解得，故A正确，对B，因为，，则，解得，则，则，当且仅当时等号成立，根据对勾函数的图象与性质可知当或1时，，则，故B错误，对C，因为，，所以，因为点三点共线，则存在，使得则有，则，，故C正确；对D，，，则，因为，则，则，故D正确.故选：ACD.三、填空题（共20分）13.在等差数列中，，则数列的前项和__________.〖答案〗〖解析〗设等差数列的首项与公差，则有，解得，故.故〖答案〗为：14.已知圆内接四边形ABCD中，，，，，则_________．〖答案〗〖解析〗如图，在圆内接四边形中，，所以，，因为，所以，又，所以，连接BD，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，又因为，所以，则，由，解得.故〖答案〗为：.15.已知随机事件A，B，，，，则________.〖答案〗〖解析〗依题意得，所以故，所以.故〖答案〗为：.16.如图，已知抛物线及两点和，其中.过、分别作轴的垂线，交抛物线于、两点，直线与轴交于点，此时就称、确定了.依此类推，可由、确定、.记，、、、.给出下列三个结论：①数列是递减数列；②对任意，；③若，，则.其中，所有正确结论的序号是_____．〖答案〗①②③.〖解析〗由题意知，，，直线斜率为，则直线的方程为，令，则，，即，在等式两边取倒数得.，，由此可得出，，，命题②正确；，则，由②知，对任意的，，，即数列是单调递减数列，命题①正确；若，，则，，，命题③正确.故〖答案〗为：①②③.四、解答题（共70分）17.已知圆，直线．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当时，求直线l被圆C截得的弦长．解：（1）依题意直线，整理得，由解得，所以恒过定点.（2）当时，直线，圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，所以直线l被圆C截得的弦长为.18.某学校高中三个年级共有名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层随机抽样获得了20名学生某周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：高一年级高二年级高三年级（1）试估计该校高三年级的学生人数；（2）从高一年级和高二年级样本学生中各随机抽取一人，高一年级抽取的人记为甲，高二年级抽取的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，10，11（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小关系.（只需写出结论）解：（1）由表格知：高一是5人，高二是7人，高三是8人，所以，在400名学生中高三的人数为（人）；（2）设从高一人数中随机抽取一人为事件：，，；从高二人数中随机抽取一人为事件：，，；则与是相互独立的事件，，高一随机抽取的人的课后学习时间大于高二随机抽取的人的课后学习时间为事件：，则，=，高一随机抽取的人的课后学习时间不大于高二随机抽取的人的课后学习时间为事件，；（3）由表格知原平均时间，加入新数据后平均时间为：，即；综上，高三的人数为160（人），甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为；.19.首项为正数的数列满足．（1）证明：若为奇数，则对，都是奇数；（2）若对，都有，求的取值范围．解：（1）因为，则，所以，又首项为正数，则利用数学归纳法证明：已知是奇数，时成立．假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数，即时也成立．由，可知对任何，都是奇数．（2）由，得，于是或．，因为所有的均大于0，因此与同号．因此，对一切都有的充要条件是或．20.在四棱锥中，四边形为平行四边形，三角形为等边三角形，已知，，，.（1）求证：（2）求直线与面所成的角的正弦值.解