人教版八年级数学下册必刷题第一次月考检测试卷(测试范围：第十六章和第十七章)(原卷版+解析)

八年级数学下册第一次月考检测试卷

（测试范围：第十六章和第十七章）

测试时间：120分钟满分：120分钟

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2023•鼓楼区校级二模）若尤为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（）

A.V%2—1B.Vx2+1C.V3xD.V%+1

2.（2023春•东平县校级月考）已知y=VI=1+77=1+3,那么黄的值是（）

A.-6B.-9C.9D.6

3.（2023秋•桓台县期中）下列四组数中，不是勾股数的是（）

A.〃=15,Z?=8,c=17B.4=6,b=8,c=10

C.a=6,b=5,c=8D.4=9,b=12,c=15

4.（2023秋•市北区校级期末）下列计算正确的是（）

A.1Vz^|=3B.V64=±8

C.J（-7）2=-7D..（一》3=/

5.（2023秋•莲池区校级期末）在△ABC中，ZA,/B,NC的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确

的是（）

A.如果O2=b2-C2,那么△ABC是直角三角形且/B=90°

B.如果NA：ZB：NC=3：4：5,那么△ABC是直角三角形

C.如果。2：历：a=9：16：25,那么△ABC是直角三角形

D.如果那么△ABC是直角三角形

6.（2023秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5,12,则斜边上的高（）

1860

A.6B.8C.—D.—

1313

7.（2023•叙永县模拟）如图，在长方形ABC。中无重叠放入面积分别为和120层的两张正方形纸片，

则图中空白部分的面积为（）cm2.

AD

1216

BC

A.16-8V3B.-12+8百C.8-4V3D.4-2V3

8.（2023•青羊区校级模拟）如图，在4X4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点

上，BD_LAC于点£>,则2。的长为（）

9.（2023秋•渝中区校级期末）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a+c+b|—J（c-a）2的化简结果是

（）

caob

A.b-2cB.b-2aC.-2a-bD.2c-b

10.（2023•南京模拟）如图，尸是等边△ABC形内一点，连接以、PB、PC,B4：PB：PC=3：4：5,以AC

为边在形外作△AP'C咨AAPB,连接PP',则以下结论错误的是（）

A.ZkAPP是等边三角形B.是直角三角形

C.ZAPB=150°D.ZAPC=135°

二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

11.（2023秋•衡南县期中）若代数式"7^有意义，则尤必须满足条件是_______

V3X-6

12.（2023春•江都区校级期末）把、焦化为最简二次根式得.

13.（2023秋•德惠市期末）等腰三角形的腰长为5,底边上的中线长为4,它的面积为.

14.（2023秋•仁寿县校级月考）计算：（或一次）2°2i.（V2+V3）2022=.

15.（2023秋•诏安县期中）如图所示的一块地，己知/A£>C=90。，AD=12m,CD=9m,AB=25m,BC=

20m,则这块地的面积为.

16.（2023秋•嘉定区校级月考）最简二次根式44a+3b与"V2a-b+6能合并,贝U°+6=.

17.（2023秋•泗县期末）在一棵树的5米高8处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处

（离树10米）的池塘边.另一只爬到树顶。后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过

的距离相等，则这棵树高米.

18.（2023春•宁津县期中）在△ABC中，AB=15,AC=13,高4。=12,则△ABC的周长为

三、解答题（共8小题，共66分）

19.（每小题4分，共8分）（2023秋•桐柏县期中）计算:

(1)V48-V3-5X712+V24.(2)—"x/s(V3—V6)+V8；

乙V2—1

20.（6分）（2。23秋•启东市期末）⑴先化简,再求值：（器-若占）+子,其中”=2+夜；

21.（8分）（2023秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水

点A,B,其中AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河

边新建一个取水点8（A，H,2在一条直线上），并新修一条路C8,测得BC=6千米，C8=4.8千米，

BH=3.6千米.

（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与A8是否垂直）?请通过计算加以说明.

（2）求原来的路线AC的长.

22.（8分）（2023春•隆安县期中）已知〃=77+而，&=V7-V5,求下列各式的值.

ab

(1)a2-ab+b2；(2)-+

ba

23.（8分）（2023秋•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,AC及BC的延长线于

点。，E,F,MCB2=AE2-CE1.

（1）求证：ZACB=90°；

（2）若AC=12,BC=9,求CE的长.

24.（8分）（2023秋•峰城区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式

子的平方，如3+2或=（1+V2）2,善于思考的小明进行了以下探索:

设a+6&=(«i+nV2)2(其中a,b,m,w均为正整数)>则有a+by[2=n?'+2r?+2mnyl2..".a=m2+2n2,

b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b/的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a,b,m,n均为正整数时，若a+by/3=(m+ny[3)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得a

—,b—；

(2)若。+4百=(m+ny[3)2,且a,"均为正整数，求a的值.

25.(10分)(2023•渠县校级开学)如图，在△ABC中，AB=AC,AO_L8C于点。，点E在AC边上，且

NCBE=45°,BE分别交AC,于点E、F.

(1)如图1,若AB=13,BC=10,求A尸的长；

(2)如图2,^AF=BC,求证：BF2+EF2=AE1.

26.(10分)(2023秋•秦淮区月考)如图，ZkABC中，CZ)_LAB于。，且8。：AD：CD=2：3：4；已知S

△ABC=4(k7"2,如图，动点M从点B出发以每秒1C7W的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A

出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M运动的时间为

t（秒）.

（1）若△。跖V的边与8C平行，求f的值；

（2）在点N运动的过程中，△ADN能否成为等腰三角形？若能，求出r的值；若不能，请说明理由.

八年级数学下册第一次月考检测试卷

（测试范围：第十六章和第十七章）

测试时间：120分钟满分：120分钟

四、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2023•鼓楼区校级二模）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（）

A.Vx2-1B.Vx2+1C.V3xD.VxTI

【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如迎"20）的式子叫做二次根式判断

即可.

【解答】解：A选项，当尤=0.5时，x2-1<0,故该选项不符合题意；

3选项，「%22。，

.'.x2+l>0,故该选项符合题意；

C选项，当尤<0时，原式<0,故该选项不符合题意；

。选项，当x=-2时，x+l<0,故该选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如迎（aNO）的式子叫做二

次根式是解题的关键.

2.（2023春•东平县校级月考）已知+=^+3,那么,的值是（）

A.-6B.-9C.9D.6

【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的值，进而可得出y的

值，代入代数式进行计算即可.

【解答】解：由题意得，2-x>0,x-2^0,

，y=3,

.\y=32=9.

故选：c.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中被开方数是非负数是解题

的关键.

3.（2023秋•桓台县期中）下列四组数中，不是勾股数的是（）

A.。=15,b=8,c=17B.。=6,6=8,c=10

C.a=6,b=5,c=8D.4=9,b=12,c=15

【分析】根据勾股数的概念判断即可.

【解答］解：V82+52=172,

：.a=15,6=8,c=17是一组勾股数，本选项不符合题意；

B、V62+82=102,

.'.a=6,b=S,c=10是一组勾股数，本选项不符合题意;

C、,.,52+6M2，

；.a=6,b=5,c=8不是一组勾股数，本选项符合题意；

D、V92+122=152,

：.a=9,6=12,c=15是一组勾股数，本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查的是勾股数，满足/+62=02的三个正整数，称为勾股数.

4.（2023秋•市北区校级期末）下列计算正确的是（）

A.1Vz^1=3B.V64=±8

C-4^^=-7D..（一聂=V

【分析】根据二次根式的性质求解.

【解答】解：|芸豆|=遮，V64=8,7）2=7,j（_33=—'!，

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是解题的关键.

5.（2023秋•莲池区校级期末）在△ABC中，ZA,ZB,NC的对边分别记为a,b,c,下

列结论中不正确的是（）

A.如果及=历~€2,那么△A8C是直角三角形且/8=90°

B.如果/A：ZB：/C=3：4：5,那么△ABC是直角三角形

C.如果及：to：C2=9：16：25,那么△ABC是直角三角形

D.如果那么△ABC是直角三角形

【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可.

【解答】解：如果/=/-02,那么AABC是直角三角形且NB=90°,A不合题意；

如果NA：NB：/C=3：4：5,

设NA=3尤，则NB=4无，/C=5x,

则3x+4x+5x=180°,

解得，尤=15°,

则3x=45°,4x=60°,5尤=75°,

那么△ABC不是直角三角形，2符合题意；

1

如果/：b.02=9：i6:25,

则如果/+b2=c2,

那么△ABC是直角三角形，C不合题意；

如果NA-NB=/C,那么△ABC是直角三角形，。不合题意.

故选：B.

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a,b,c满足/+必

=。2,那么这个三角形就是直角三角形.

6.（2023秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5,12,则斜边上的高（）

1860

A.6B.8C.—D.—

1313

【分析】首先根据勾股定理，得：斜边=452+122=13.再根据直角三角形的面积公式,

求出斜边上的高.

【解答】解：由题意得，斜边为452+122=13.所以斜边上的高=12x5+13=||.

故选：D.

【点评】运用了勾股定理.注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边.

7.（2023•叙永县模拟）如图，在长方形ABC。中无重叠放入面积分别为16c7层和12c:偿的

两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2.

AD

1216

BC

A.16-8/B.-12+8V3C.8-45/3D.4-2V3

【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的

面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.

【解答】解：•••两张正方形纸片的面积分别为16"?和12。层,

它们的边长分别为亚叵=4cm,

V12=2V3cm,

.'.AB=4cm,BC=（2V3+4）cm,

空白部分的面积=（2V3+4）X4-12-16,

=8V3+16-12-16,

=（-12+8V3）cm2.

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的

面积求出两个正方形的边长.

8.（2023•青羊区校级模拟）如图，在4义4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,

B,C都在格点上，于点。，则BD的长为（）

189

C.D.

55

【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出AABC的面积和AC的长，然后即可计算

出8D的长，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

119

--

△ABC的面积是：3X4-2X3X122

■:BD是aABC的高，AC=V32+42=5,

19

xBDx5=一,

22

解得，加＞=|,

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合

的思想解答.

9.(2023秋•渝中区校级期末)已知。、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a+c+b|—J(c—a)2

的化简结果是()

____।111A

cQ0b

A.b-2cB.b-2aC.-2a-bD.2c-b

【分析】直接利用数轴结合绝对值、二次根式的性质化简得出答案.

【解答】解：由数轴可得：a+Z?+cV0,c-〃V0,

\a+c+b\—yj{c—a)2

=-(tz+c+Z?)-(a-c)

=-a-c-b-a+c

=-2a-b.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键.

10.(2023•南京模拟)如图，尸是等边△A3C形内一点，连接B4、PB、PC,B4：PB：PC

=3：4：5,以AC为边在形外作C^AAPB,连接尸尸,，则以下结论错误的是

()

P'

A.是等边三角形B.是直角三角形

C.150°D.ZAPC=135°

【分析】先运用全等得出AP=AP,ZCAP'=NBAP,从而/B4p=N2AC=60°,

得出△出P是等边三角形，ZAP'P=60°,PP'=AP,再运用勾股定理逆定理得出/

PP'C=90°,由此得解.

【解答】解：△ABC是等边三角形，则NBAC=60°,又△APC也△APB,贝！］AP=AP',

ZPAP'=ZBAC=60°,

.♦.△APP是等边三角形，又B4：PB：PC=3：4：5,

.,.设E4=3x,贝i|：PP'=B4=3x,P'C=PB=4x,PC=5x,

根据勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且/PPC=90°,

又是等边三角形，

AZAP'P=60°,

AZAPB=150°错误的结论只能是/APC=135°.

故选：D.

【点评】解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖

掘题目中的结论是解题的关键.

五、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

2

11.（2023秋•衡南县期中）若代数式序写有意义，则x必须满足条件是.

【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.

【解答】解：代数式小与有意义，则尤必须满足条件是：3x-6>0,

V3X-6

解得：x>2.

故答案为：尤>2.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键.

12.（2023春•江都区校级期末）把居化为最简二次根式得.

【分析】利用二次根式的性质和最简二次根式的定义解答即可.

【解答】解:[T_I3叵—西

AJ27-AJ27X3—A/81-'

故答案为：—.

【点评】本题主要考查了二次根式的性质和最简二次根式的定义，正确利用二次根式的性

质进行化简是解题的关键.

13.（2023秋•德惠市期末）等腰三角形的腰长为5,底边上的中线长为4,它的面积

为.

【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案.

【解答】解：•••等腰三角形的腰长为5,底边上的中线长为4,

底边为2x、52—42=2义3=6,

1

.,.它的面积为一x6x4=12,

2

故答案为：12.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰三角形

的性质是解题的关键.

14.（2023秋•仁寿县校级月考）计算：（&一於）2021•（V2+V3）2022=.

【分析】先根据积的乘方进行变形，再算乘方，最后求出答案即可.

【解答】解：原式=[（V2-V3）x（V2+V3）]2021x（V2+V3）

=（-1）2021x（V2+V3）

=-lx（V2+V3）

=­V2—V3,

故答案为：—&-V3.

【点评】本题考查了积的乘方与幕的乘方和二次根式的混合运算，能正确根据积的乘方进

行计算是解此题的关键，注意运算顺序.

15.（2023秋•诏安县期中）如图所示的一块地，已知/AZ）C=90。，AD=12m,CD=9m,

AB=25m,BC=20m,则这块地的面积为.

【分析】连接AC,先由勾股定理求出AC,再由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角

形，然后由三角形面积即可得出结论.

【解答】解：如图，连接4c.

.,.AC=yjAD2+CD2—V122+92=15（m）,

又：4B=25M，BC=20m,

J.Ad+BC2^152+202=252=AB2,

.♦.△ABC是直角三角形，ZACB=90°,

这块地的面积=AABC的面积-△ACD的面积=*X15X20-3X9X12=96.

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌

握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键.

16.（2023秋•嘉定区校级月考）最简二次根式U4a+3b与"切2a-6+6能合并,则a+b

【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出。和b的值，代入可

得出答案.

【解答】解：•.•最简二次根式，4a+3b与fJ2a-b+6能合并,

.0+1=2

（4a+3b=2a-b+6

解得:

S=1

则a+b=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了同类二次根式及的知识，属于基础题，要熟练掌握最简同类二次根式

的根指数相同，且被开方数相同.

17.（2023秋•泗县期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子

爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边.另一只爬到树顶。后直接跃到A处，距离以

直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米.

D

B,

【分析】首先设树的高度为尤米，用尤表示BO=x-5,AD=20-x,再利用勾股定理就可

求出树的高度.

【解答】解：设树的高度为x米.

•••两只猴子所经过的距离相等，BC+AC=15,

.,.BD=x-5,AD=2Q-x,

在RtAACD中根据勾股定理得，

CD1+AC2=AD1,

f+100=(20-尤)2,

x=1.5,

故答案为：7.5.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用，设出未知数方用尤表示

有关的线段是解题关键.

18.(2023春•宁津县期中)在△ABC中，AB=15,AC=13,高AZ)=12,则△A8C的周长

为.

【分析】本题应分两种情况进行讨论：

(1)当△ABC为锐角三角形时，在RtAABD和RtAACD中，运用勾股定理可将BD和

C。的长求出，两者相加即为8c的长，从而可将△A8C的周长求出；

(2)当AABC为钝角三角形时，在RtAABD和RtAACD中，运用勾股定理可将BD和

CZ)的长求出，两者相减即为的长，从而可将△ABC的周长求出.

【解答】解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC为锐角三角形时，在中，

BD=7AB?-AD2=V152-122=9,

在RtAACD中，

CD=y/AC2-AD2=V132-122=5

.,.BC=5+9=14

.♦.△ABC的周长为：15+13+14=42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，

在RtAABD中，BD=y/AB2-AD2=V152-122=9,

在RtAACD中，CD=yjAC2-AD2=V132-122=5,

：.BC=9-5=4.

.•.△ABC的周长为：15+13+4=32

故答案是：42或32.

A

A

【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论,

易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度.

六、解答题（共8小题，共66分）

19.（每小题4分，共8分）（2023秋•桐柏县期中）计算:

(1)V48-V3-1xV12+V24.(2)-V3(V3-V6)+V8；

乙V2—1

【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案.

（2）直接分母有理化以及结合二次根式的乘法运算法则计算，进而合并同类二次根式得出

答案；

【解答】解：（1）原式=4-

=4+V6.

（2）原式=鱼+1-（3-3V2）+2V2

-A/2+1-3+3V2+2A/2

=6V2-2；

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键.

20.（6分）（2023秋•启东市期末）（1）先化简，再求值：（芸——2其

2xxz—4x+4%

中x=2+&；

【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求

值；

【解答】解：（1）原式=[7--T=卜25

=（第+2）（%-2）_%（%-1）.

x（x-2）2x（x-2）2

_%2—4—/+7.

%（%-2）2%-4

1

r

=02）2

当％=2+鱼时，

原式=--------2=

（2+V2-2）z2

【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，分母有理化计算，理解二次根

式的性质，掌握完全平方公式（。土b）2=/±2他+必和平方差公式（a+6）gb）=a2-

户是解题关键.

21.（8分）（2023秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河

边原有两个取水点A,B,其中4B=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，

该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A,H,B在一条直线上）,并新

修一条路CH，测得2C=6千米，CW=4.8千米，28=3.6千米.

（1）问C”是否为从村庄C到河边的最近路线（即C”与AB是否垂直）?请通过计算加

以说明.

（2）求原来的路线AC的长.

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；

（2）根据勾股定理解答即可.

【解答】解：（1）是，

理由是：在△CHB中，

•：CH2+BH2=（4.8）2+（3.6）2=36,

BC2=36,

CH2+BH2=BC2,

：.CH1AB,

所以S是从村庄C到河边的最近路；

（2）设AC=x千米，

在RtZXAC/f中，由已知得AC=尤，AH=x-3.6,CH=6,

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2

；./=（x-3.6）2+62,

解这个方程，得x=6.8,

答：原来的路线AC的长为6.8米.

【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答.

22.（8分）（2023春•隆安县期中）已知°=b+近，b=yH-小,求下列各式的值.

0cab

(1)a2-ab-^-b2；(2)—+—・

ba

【分析】(1)根据完全平方公式把原式变形，把〃-6和。。的值代入计算即可；

(2)先根据分式的加法法则计算，再根据完全平方式变形即可.

【解答】解：・・・。=近+«，Z?=V7-V5,

..a+b'='2'y<f^,=2V^,ab'=~2,

(1)“2-ab+b2

=a2-2ab+序+ab

=(a-b)2+ab

=(2V5)2+2

=22；

ab

(2)-+-

ba

_a2+b2

ab

_(a+b)2—2ab

ab

_28-4

=~2-

=12.

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和分式的计算是解题的关

键.

23.(8分)(2023秋•建湖县期中)如图，在△ABC中，A3的垂直平分线分别交AB,AC

及BC的延长线于点D,E,F,且CB2=AE2-CEr.

(1)求证：ZACB=90°；

(2)若AC=12,BC=9,求CE的长.

【分析】(1)根据垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理可以判断ABEC的形状，从而可

以得到NACB=90。；

(2)根据(1)中的结果和勾股定理，可以计算出CE的长.

【解答】(1)证明：连接BE,如图所示，

：ED垂直平分AB,

；.AE=BE,

•：CB1=AE1-C戌,

J.CE^^BE1-CE1,

：.CB1+CE1=BE1,

...△BEC是直角三角形，

/.ZACB=90°；

(2)解：设CE=x,则AE=12-x,

；BE=AE,

•\BE=12-x,

'：ZECB=90°,BC=9,

:.CB2+CE2=BE1,

92+J?=(12-x)2,

解得x=奈

即CE=余

【点评】本题考查勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、勾股定理，解答本题的关键是

明确题意，利用数形结合的思想解答.

24.(8分)(2023秋•峰城区校级月考)小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可

以写成另一个式子的平方，如3+2&=(1+V2)2,善于思考的小明进行了以下探索：

设a+by[2=(m+ny/2)?(其中a,b,m,n均为正整数)，则有a+by/2=trr+2tr+2mnV2..".a

=»?+2层，b=2nm.这样小明就找到了一种把部分a+从反的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a,b,m,”均为正整数时，若a+以怎=(m+«V3)2,用含相，”的式子分别表示

〃，b,，Z?=；

(2)若=(m+nV3)2,且〃，m,〃均为正整数，求〃的值.

【分析】(1)根据小明的方法，将Qm+nW)2按完全平方公式展开，和〃+小月的系数进

行对比，即可求出〃和。的值；

(2)欲求出〃，m,〃的值，需要先求出相，几的值，根据题意可知。=2根〃=4,进而得

到mn=2,结合m,n均为正整数即可求出m,n的值；再根据a=m2+3n2即可求出a的

值.

【解答】解：(1)仿照小明的方法，将(加+小巧)2展开，得：

m2+3n2+2mnV3,

将m2+3n2+2mnV3^a+力b的系数进行对比，可得：

a=m2+3n2>b=2mn.

故答案为：m2+3n2,2mn.

(2)观察〃+48=(m+ny/3)?可知，

b=4,

由(1)中的规律可知，

2nm—4,

则〃z"=2,

由于根、〃均为正整数，则有：

将优=1、"=2代入。=加2+3力2,得：

a=13,

将根=2、〃=1代入。=m2+3/2,得：

。=7,

综上可知，a的值为13或7.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，并对相应的运

算法则的掌握.

25.(10分)(2023•渠县校级开学)如图，在△ABC中，AB=AC,AO_L8C于点。，点E

在AC边上，且/CBE=45°,BE分别交AC,AD于点E、F.

(1)如图1,若AB=13,BC=10,求AP的长；

(2)如图2,若AF=BC,求证：BF2+EF2=AEL.

【分析】(1)先根据等腰三角形三线合一的性质得BD=5,由勾股定理计算可得AD的长，

由等腰直角三角形性质得。尸=5,最后由线段的差可得结论；

(2)如图2,作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB0ZXAEP(SAS),得AE=CH,Z

AEF=ZBHC,由等腰三角形三线合一的性质得跖=FH,最后由勾股定理和等量代换可得

结论.

【解答】(1)解：如图1,ADLBC,

VBC=10,

：.BD=5,

RtZ\A8。中，'：AB=13,

：.AD=7AB2-BD2=V132-52=12,

在尸中，VZCBE=45°,

ABDF是等腰直角三角形，

：.DF=BD=5,

：.AF=AD-DF=12-5=1；

(2)证明：如图2,在BF上取一点“，使BH=EF,连接CACH