河南省郑州市中原区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

河南省郑州市中原区2023-2024学年九年级上学期期末数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.2024的相反数是（）

2.小聪把“爱学习，勤思考”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的展

3.原子的质量如此小，无论书写、记忆、还是使用都极不方便.为方便应用，以一种

碳原子质量的《（即1.66x100kg）为标准，其他原子的质量跟它相比较所得到的比

值，称为相对原子质量.若一个碳原子的质量是L992xl0&kg,则该碳的相对原子质

量为（）

1n1.992x10-26

A.12B.—C.12gD.---------------kg

1212

4.如图，水面48与水杯下沿CQ平行，光线后厂从水中射向空气时发生折射，光线变

成点G在射线E厂上，已知NHFB=20。,/FED=45。，则NGFH的度数是（）

C.45°D.20°

5.小军同学将相同体积的水分别倒入底面半径不同的圆柱形量筒中，并记录数据如下

表（其中S表示量筒底面积，力表示水面高度），当/?=6时，对应的量筒底面积为（）

试卷第1页，共6页

A.35B.40C.45D.50

C在。。上，若N4O8=80。，则/C的度数为（）

B.60°C.40°D.160°

7.关于x的一元二次方程f+2方-1=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等

的实数根D.实数根的个数与。的取值有关

8.如图，小强自制了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为15cm,他准备了一支长

为20cm的蜡烛，想要得到高度为4cm的像，蜡烛应放在距离纸筒点。处（）的地方.

C.90cmD.150cm

9.己知抛物线y=2/+6x+",对称轴是直线x=l,若点/（-2,“），8（3,6）,C（5,c）都

在该抛物线的图象上，则。，b,c的大小关系为（）

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<hD.b<a<c

10.如图①，在正方形/BCD中，点E为。C边的中点，点P为线段8E上的一个动点.设

BP=x,”=y,图②是点尸运动时J随x变化的关系图象，则正方形的周长为（）

D.10

二、填空题

II.写出一个开口向上的二次函数表达式：

12.上体育课立定时，身高1.8米的小强落在地上的影子，与身高1.5米的小丽落在地

上的影子的比值为.

13.河南省第14届运动会于2023年8月18日至8月28日在洛阳成功举办.大会共设

试卷第2页，共6页

青少年竞技组、学生组和社会组三个组.小亮和小明都是志愿者，他们被随机分配到这

三个组的可能性相同.则小亮和小明被分配到同一组做志愿者的概率为.

14.如图，为了测量一元硬币的半径，小明把一元硬币与直尺相切于点儿水平移动一

个含60。角的三角尺与硬币相切时停止,三角尺与直尺交于点8.小明测量出N8=7mm,

则这枚一元硬币的半径约是mm.（结果保留整数，6*1.73）.

AB

15.矩形中，AB=\,。是8。的中点，点E在直线4D上，且£»E=3,若△BOE

与力OE关于直线0E对称，则AD的长为.

三、解答题

16.（1）计算：（-1严24+4一2sin30。

（2）解方程:X2+8X-9=0

17.11月9日是我国的全国消防日，某中学为了解学生对消防安全知识的掌握情况，

在2024年寒假前举办了以“119消防安全教育”为主题的知识竞赛，从全校1800名学生

中随机抽取了部分学生进行测试，并将测试结果整理如下：

分组成绩X（分）等次频数

A40<x<503

不合格

B50<x<606

C60<x<70合格15

D70<x<80良好9

E80<x<9015

优秀

F90<x<100a

某中学学生对消防安全知识的掌握情况统计图

试卷第3页，共6页

5%

其中，成绩在70sx<80这一组的是(单位：分)70,78,72,79,71,74,75,72,

79

(1)请根据以上信息，完成下列问题：

表中的。=,这个样本的中位数是分.

(2)这次测试成绩的平均分是79分，甲的成绩是78分，乙说：“甲的成绩低于平均分，

所以甲的成绩低于一半同学的成绩你认为乙的说法正确吗？请说明理由.

(3)请根据以上信息，估计全校学生测试成绩不合格的人数，并提出一条合理化的建议.

18.如图，在矩形488中，AB=6cm,BC=8cm,连接ZC.

I)

BC

(1)请用无刻度的直尺和圆规作线段4c的垂直平分线，使其分别与z。，AC,8c交于

点、E,O,F(保留作图痕迹，不写作法)

(2)小明想用九年级三角形相似或三角函数的知识求线段E尸的长，请你帮他完成求解过

程.

19.如图，反比例函数y="(x>0)的图象经过点月(2,,〃)，以点。为圆心，04长为半径

X

画弧，交X轴正半轴于点5,以。、A8为顶点作菱形0，4c8,且408=60。.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求图中阴影部分的面积.

20.郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索面钢混结合梁斜拉桥，是国内

同类型桥中桥面最宽的结合梁斜拉桥.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大

试卷第4页，共6页

桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下:

【方案设计】如图，分别在8两点放置测角仪，测得NCDE和NCEO的度数，并量

出的距离，即可解决问题：

【数据收集】ZCDE=37°,NCED=45。,48=347米，测角仪4)和5E的高度为1.5

米；

【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离.(结果保留整数.参

考数据：sin370»0.6,cos37°=0.8,tan37°«0.75)

21.河南胡辣汤制作技艺入选国家级非物质文化遗产代表性项目.得益于发达的网络销

售模式，这种特色美食逐渐走出河南，畅销全国.某淘宝批发网店通过市场调研发现(整

箱售卖)：若每箱胡辣汤料的利润为50元时，则平均每月可卖600箱：不考虑其他因素,

每箱降价1元，平均每月就可以多卖20箱.为了尽快清库存，该网店决定采取适当的

降价措施.

(1)若该淘宝店销售胡辣汤料的一个月总利润是31500元,则该网店每箱降价多少元？设

每箱降价x元，那么每箱的销售利润为元，则每月销售量为箱.请

你列出方程求解.

(2)该淘宝店想一个月的销售总利润达到33000元，请你通过计算说明是否能够达到；若

不能达到，则一个月可达到的最大总利润为多少？

22.如图①，排球场长为18m,宽为9m,网高为2.24m.某校排球队员站在底线O点

处向正前方发球，球从点。的正上方2.38m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分

(如图②)，当球运动到最高点/处时，高度为2.88m,即B/=2.88m,这时水平距离

08=5m.以直线08为x轴，直线OC为夕轴，建立平面直角坐标系.

图①图②

(1)求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出X的取值范围)

(2)根据比赛规则，发球过网，使其落在对方区域的地面上且不出界即为有效发球.请判

断这次发球是否为有效发球(即能否过网？是否出界？)，并说明理由.

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23.在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：“如图1,在等腰直角三角形/8C中，

=90。，。是边8c上一动点(不与8重合)，NEDB=；NC,BEVDE,DE交AB

于点E猜想线段BE,。尸之间的数量关系并说明理由.“小聪和同桌小明讨论后，仍

不得其解.张老师给出提示：数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路.两个人

茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务.

图1

小聪：己知点。是动点，因此可以将点。移动到一个特殊的位置.当点。与点C重合

时，如图2所示.此时可以分别延长BE,C/交于点”，如图3所示，可证明

△ABH出/\ACF,进而得出线段8E,。尸之间的数量关系.

图2图3图4

小明：对于图2,过点尸分别作BE,NC的平行线，交边BC于点M,N,如图4所示,

可证明ABEFSACFM,进而得出线段8E,。尸之间的数量关系.

(1)任务一：

如图2,判断线段8E,。尸之间的数量关系：并在小聪与小明的方法中选择一种，写出

详细的证明过程.

(2)任务二：

如图1,请直接猜想8E,。F之间的数量关系为.

(3)任务三：

如图1,若加a,当厂是直角三角形时，直接写出8。的长(用含“的代数式表

示).

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.B

【分析】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键.根据相

反数的定义求解即可.

【详解】解：2024的相反数是-2024,

故选B.

2.D

【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对的面的中间要

相隔一个面，据此作答.

【详解】解：正方体的平面展开图中，相对的面的中间要相隔一个面，

所以“勤''所在面的对面上的字是“考

故选D.

3.A

【分析】本题考查的是负正是指数次幕及科学记数法，熟知运算法则是解题的关键.

【详解】解：Mx］。：

1.66x1027

故选：A.

4.A

【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键.根据水面48与水杯

下沿平行，则有NG尸8=/庄力=45。，结合ZW咕=20。即可解答.

【详解】解：••・水面Z8与水杯下沿C。平行，

NGFB=NFED=45。,

1/NHFB=20°,

4GFH=25°.

故选：A

5.B

【分析】本题考查了一次函数的应用以及圆柱体的体积公式的应用，根据圆柱体的体积公式

V=Sh,其中S是底面积，〃是高，由于水的体积是不变的，故可通过已知数据求出水的体

积，再将人=6代入即可求出底面积.

【详解】解：由题可知，当5=2001?时，A=12cm,

•圆柱体的体积公式卜=Sh,

答案第1页，共15页

/.r=20x12=240cm3,

,••水的体积/是不变的，

.•.当人=6时，S=-=—=40cm2,

h6

故选：B.

6.C

【分析】本题考查了圆周角定理，应用圆周角定理即可得出结论.

【详解】解：：=80。，

/.ZC=-ZAOB=lx8CP=40P,

22

故选：C

7.C

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据“A=62-4ac>0,方程有两个不等的

实数根：△=〃-4"=0,方程有两个相等的实数根；△=〃-4℃<0,方程没有实数根：”

结合原方程列出判别式即可解题.

【详解】解：由题可得：

A=(2a)2-4x(-l)=4+4tz2>0,

所以方程有两个不相等的实数根，

故选：C.

8.B

【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关

键.先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质

计算.

【详解】解：如图，

AB=20cm,OF-15cm,CD=4cm,

VABHCD,EFLAB,

:.EF1CD,

答案第2页，共15页

:.AOABSAODC,

.CD_OF阳

ABOE20OE

解得。E=75cm.

故选：B.

9.D

【分析】本题考查了二次函数的性质，由a=2>0得到抛物线开口向上，图象上的点距离对

称轴的水平距离越大，对应的函数值越大，进而由5-1>1-(-2)>3-1即可求解，掌握二次

函数的性质是解题的关键.

【详解】解：；“=2>0,

二抛物线开口向上，图象上的点距离对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大，

•••抛物线的对称轴为直线x=l,且5-1>1-(-2)>3-1,

b<a<c,

故选：D.

10.A

【分析】本题考查的是正方形中的动点问题，解题的关键是找到图中的关键点及对应的关键

数.由点P的运动可知，当点NP15E时，/P的值最小；再根据题可证得“SPSABEC,进

而可得力8的长，进而可得正方形的周长.

【详解】解：由点P的运动可知，当点时，N尸的值最小，如图；

点E是C。的中点，

CE:CD=l:2,

CE:BC=\:2,

ZC=90°,

CE:BC-.BE=\:2：y[i，

NABC=ZC=ZAPB=90°,

NABP+NCBE=乙CBE+NBEC=90°,

答案第3页，共15页

/.ABP=NBEC,

:.4ABPs&BEC,

r.AP:AB=BC:BE=2:>/5，

AB=>/?，

正方形的周长为：4^5,

故选：A

11.y-x2（答案不唯一）

【分析】本题考查了二次函数的图象，熟记二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是

解答本题的关键，”对于二次函数》=62+云+4。中0）,当“>0时，其图象开口向上，当”。

时，其图象开口向下”，本题是一道开放性题，所以只要写一个二次项系数大于零的二次函

数即可.

【详解】因为开口向上的二次函数的二次项系数是正数，所以满足题意的二次函数表达式可

以为y=，，

故答案为：y=f（答案不唯一）.

12.-

5

【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是影子的比值为身高的比值.

叔小强影子小强身高1.8186

【详解】解：।一口,.=।一d—=7T=T7==•

小丽影子小丽身图1.5155

故答案为：—.

【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率等知识.设青少年竞技组、学生组和社会组分

别用2、8、C表示，列树状图得到共有9种等可能结果，其中二人被分配到同一小组的有

3种结果，根据概率公式即可求解.

【详解】解：设青少年竞技组、学生组和社会组分别用力、5、C表示，画树状图得

C

小明CXIX

ABC

由树状图得共有9种等可能结果,其中二人被分配到同一小组的有3种结果，

答案第4页，共15页

，小亮和小明被分配到同一组做志愿者的概率为P=g3=71.

93

故答案为：;

14.12

【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，锐角三角形函数.

设硬币的圆心为点。，三角尺与硬币相切于点C,连接O/,OB,OC.由切线长定理可得

ZAB0=ZCBO=-ZABC=60°,从而在RtA/80中，40="=tanN/8O,代入即可求解.

2

【详解】如图，设硬币的圆心为点。，三角尺与硬币相切于点C,连接04,OB,OC.

NCBD=60°,

ZABC=180°-Z.CBD=180°-60°=120°,

,?AB,8c是。。的切线，

/.OA1AB,N4BO=ZCBO=』48C=L120°=60°,

22

・•.在中，AO=ABAanZ.ABO=7tan60°=77347x1.73=12(mn^.

故答案为：12

15.3+20或3-20

【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，关键是要分两种情况讨论.分两

种情况，如图①，由轴对称的性质得到“=QE=3,由勾月殳定理求出力£=，8/-/炉=2近,

得至IJ/D=OE+4E=3+2jI,如图②，由轴对称的性质得至l」8E=DE=3,由勾股定理求出

AE=-JBE2-AB2=25/2>得至1J4£>=DE-/E=3-2&,即可得至UND的长为3+2应或3-2立.

【详解】解：如图①，

/\BOE与力OE关于直线OE对称,

答案第5页，共15页

:.BE=DE=3,

•.♦四边形NSC。是矩形，

ZJ=90°,

AE=\lBE2-AB2=B-E=20,

/.AD=DE+AE=3+2^2;

如图②，

ABOE与QOE关于直线OE对称,

.e.BE=DE=3,

•.♦四边形488是矩形，

QZBAD=90°f

・•.ZBJ£=90°,

••・AB=\.

AE=>JBE2-AB2=2>/2，

AD=DE—AE=3-2-J2，

贝ijZD的长为3+2JI或3一2五，

故答案为：3+2应或3-2五.

16.(1)2；(2)%=1,x2=-9

【分析】本题考查了解一元二次方程一因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程

的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法；也考查了实数的运算.

(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)利用因式分解法求解即可.

【详解】解：(1)原式=l+2-2x：

2

=1+2-1

二2；

答案第6页，共15页

(2)X2+8X-9=0.

(x-l)(x+9)=0,

.,.x-l=O或x+9=0,

*,•&=],%2=-9.

17.(1)12,76.5

(2)乙的说法不正确；理由见解析

(3)270名，建议见解析

【分析】本题考查了中位数，频数分布表，用样本估计总体等知识，掌握中位数的定义及其

意义是解决问题的关键.

(1)用N的频数除以“所占百分比可得样本容量，再用样本容量乘尸的百分比可得〃的值;

再根据中位数的定义求解即可；

(2)根据中位数的意义解答即可；

(3)根据表格中的数据求出全校不及格人数，再写出一条合理化建议即可，本题答案不唯

【详解】(1)解：“=3+0.05x20%=12,

这次测试成绩的中位数是第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据的平均数为

78+75…八

―--=76.5分，

2

所以这组数据的中位数是76.5分，

故答案为：12,76.5；

(2)不正确，理由：

因为甲的成绩78分高于中位数76.5分，所以甲的成绩不可能低于一半学生的成绩；

(3)由题意，全校学生测试成绩不合格的人数为：1800X(5%+10%)=270,

根据表中信息有15%的测试成绩不合格,所以学校应该加大宣传力度，让学生们都能掌握“消

防安全教育”的相关知识.

18.⑴见解析

答案第7页，共15页

【分析】（1）本题考查垂直平分线作图，分别以/、C两点为圆心，大于;NC长为半径画

弧，连接弧的交点，即为线段/C的垂直平分线.

（2）本题考查相似三角形性质和判定，以及矩形的性质，根据题意证明AOCFSABOI,利

用相似三角形性质算出。尸，同理得出OE,根据即=OF+OE,即可解题.

【详解】（1）解：作线段/C的垂直平分线E尸，如下图所示：

(2)解：,••四边形/8CO为矩形，/8=6cm,SC=8cm,

:.AC=4ABTTBCT=10(cm),

-EFLAC,AO=CO,

?.CO=5cm,

NCOF=NCBA=90°,

•••NOCF=Z.BCA,

：AOCFS&BCA,

OFCOOF5回阳门口15

/.——=——,即Bn——=-,解得OF=一

ABBC684

同理可得

4

厂厂151515

EF=——+——=—.

442

1IQ9.⑴Z1Xy=---

x

(2)S阴影

【分析】本题考查的是反比例函数的性质、菱形的性质、扇形面积计算，掌握扇形面积公式、

菱形的面积公式是解题的关键.

（1）过点4作于点E,根据正切的定义求出力£,得到点力的坐标，利用待定系

数法求出反比例函数表达式；

（2）根据扇形面积公式、菱形的面积公式计算，得到答案.

答案第8页，共15页

【详解】(1)过/作于点。,

在RtA“O£>中，ZAOD=60。,8=2,

/.AD=OD-tanZAOB=2瓜OA=4,

/（2,26，

•­•反比例函数N=*>0)的图象经过点A(2,2^3),

二2必£

2

即％=46，

・••反比例函数的表达式为：y=生叵；

X

(2)在菱形XO8C中，

OB=OA=4.

/7-60°xr-8

二S阴影=S菱形/OBC-S扇物(w=4x2V3痛心~~=oy/i-•

20.150米

【分析】本题考查解直角三角形.

过点C作CGLOE于点G,并延长CG交18于点〃，由题意有=G”=E8=1.5米,

Z）E=4B=347米,设。G=x米，则EG=（347—x）（米），在RtZXCOG中,

CG=DG-tanZCDG=xtan37°,在RSCGE中，CG=EG-tanZCEG=（347-x）（米），从

而xtan37o=347-x,求解即可得到CG的长，进而C4=CG+G〃即可解答.

【详解】过点C作CG_LOE于点G,并延长CG交于点”

由题意得：4D=GH=EB=1.5米,DE=4B=347米,

答案第9页，共15页

设。G=x米，则EG=(347-x)(米)，

♦.,在RtZkCOG中，ZCDG=31°,

，CG=OG•tanZ.CDG=£>G•tan370=xtan370,

•.•在Rtz^CGE中，NCEG=45。，

:.CG=EG-tanZ.CEG=EG-tan45°=(347-x)(米),

Axtan370=347-x,即0.75x“347—x,

解得：XR198.3,

CG=347-x=148.7(米)，

07=CG+G”=148.7+1.5=150.2a150(米)，

郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面Z8的距离约为150米.

21.(l)(50-x),(600+20x),降价15元

(2)总利润不能达到33000兀，最大总利润为32000兀

【分析】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题意，列

出正确的一元二次方程.

(1)根据题意列出正确的一元二次方程求解即可.

(2)根据题意列出正确的一元二次方程求解即可.

【详解】(1)解：设每箱降价x元，那么每箱的销售利润为(50-x)元，则每月销售量为

(600+20x)箱，

.-.(50-x)(600+20x)=31500,

.1X=5或x=15,

♦.•为了尽快清库存，该网店决定采取适当的降价措施，

：.x=l5

答：该网店每箱降价15元.

故答案为(50-x),(600+20x).

(2)解：令(50-x)(600+20x)=33000,

x~—20x+150=0，

答案第10页，共15页

.-.(X-10)2+50=0,

此方程无解，故一个月的销售总利润不能达到33000元.

该淘宝店想一个月的销售总利润=(507乂600+20》)

=-20x2+400A-+30000

=-20(x-10)2+32000,

当x=10,该淘宝店一个月可达到的最大总利润为32000元.

22.(l)y=-0.02x2+0.2x+2.38

(2)这次发球为有效发球，见解析

【分析】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，二次函数的实

际应用，正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此

题的关键.

(1)求出抛物线表达式，设y与x的函数关系式为y=a(x-〃)2+%,根据题意可知点

4(5,2.88)为函数的顶点，将点C(0,2.38)代入求解即可；

(2)确定x=9和y=0时，对应函数的值即可求解

【详解】(1)解：设y与x的函数关系式为y=a。-/;)?+k

由题可知：点/(5,2.88)为函数夕=。。-@2+左的顶点

;.y=a(x-5)2+2.88

将点C(0,2.38)代入…-5)2+2.88,

得“=-0.02

与x的函数关系式为

y=-0.02(x-5)2+2.88=-0.02x2+0.2x+2.38

(2)解：这次发球为有效发球.

当x=9时，y=-0.02x(9-5)2+2.88=2.56>2.24

•••球可以过网.

答案第11页，共15页

令y=o,则一0.02(x-5)2+2.88=0,

解得不=-7,X2=17

由题可知玉=-7(舍)，X2=17<18

二球没有出界

故这次发球为有效发球.

23.(1)BE=；DF

(2)BE=~DF

或6a-a

【分析1(1)作交8C于点M,FN〃AC交BC于点、N,证明月8=/C,

得到4BFN=4=90。，分别证明3尸=NF=NC=MW=工CM,NE=NMFC贝lj

2

△BEFSACFM,则可证明BE=」。尸.

2

小聪的方法：

延长BE、C4交于点、H,先证明尸，再证明ACE8且ACEH,得到

BE=HE=-BH,则可证明尸.

22

(2)作交8c于点/，FN〃AC交BC于息N,分别证明NED8=；NC=22.5。，

BF=NF,NNFD=NEDB,NNFM=ZNMF,故BF=NF=ND=NM=二DM,再证明

2

BEBF1|

△BEFS^DFM>得到-----=------=—>则BE=-DF.

DFDM22

(3)分两种情况讨论，一是点。与点C重合，则△/£)/是直角三角形，44=90。，

AB=AC=a,BD=4iAB，则问题可求；

二是点。与点C不重合，△/£)/是直角三角形，证明NC£>/=NC4£>,DC=AC=a,则

问题可求；

【详解】(1)BE=^DF

小明的方法：如图4,作||8E交8c于点A/,FN//AC交BC于点、N,

是等腰直角三角形，ABAC=90°,

：.AB=AC,

答案第12页，共15页

:・/BFN=ZA=9HNNFC=ZACE,/FNB=ZACB=ZABC,

：.BF=NF,

VNECB」4ACB,

2

工NECB=/ACE,

・•・/NFC=/ECB,

VBEIDE,

：.Z£=90°,

NCFM=NE=90。,

•:/NFM+/N