2024-2025年河南专升本高数真题及答案

2024年河南省一般高等学校

选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

《高等数学》试卷

题号一二三四五六总分核分人

分数

单项选择题(每题2分，共计50分)

在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后

面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.

1.集合{3,4,5}的全部子集共有

()

A.5B.6C.7D.8

解：子集个数2"=23=8n。。

2.函数/(x)=arcsin(尤-1)+J3-X的定义域为

()

A.[0,3]B.[0,2]C.[2,3]D.[1,3]

解：4=>0<x<2=>fio

3—xN0

3.当时，与x不等价的无穷小量是

)

A.2xB.sinxC.ex-1D.ln(l+x)

解：依据常用等价关系知，只有2x与x比较不是等价的。应选A。

4.当x=0是函数f(x)=arctan—的()

x

A.连续点B.可去间断点C.跳动间断点D.其次类间断点

]兀171

解：limarctan—=—；limarctan—=——nC。

10+X2x2

5.设/(x)在x=l处可导，且(⑴=1,则lim迎二网二土刃的值为

h-Mh

()

A.-1B.-2C.-3D.-4

解：limJ(I—24)—/(1+m=Um[—2/'(l—2h)—/'(I+h)=-3"⑴=一3nC。

A->0h/?->0

6.若函数f(x)在区间(a,b)内有尸(x)>0J"(x)<0,则在区间(a/)内，/(x)图

()

A.单调递减且为凸的B.单调递增且为凸的

C.单调递减且为凹的D.单调递增且为凹的

解：/(x)>On单调增加；/"(x)<0n凸的。应选B。

7.曲线y=l+d的拐点是()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)

解：/=6x=0=>x=0=>(0,l),应选Ao

x2-2

8.曲线外幻=餐芦的水平渐近线是)

2

A.yB.y=--C.y=-D.y

3333

x~—22ny=1=>C

解：lim

,2

*7执3x33

2

Itantdt

9.lim^~~--

I。X4

A.0B-IC.2D.1

[tanxdx

「2xtanx2

解：吧lim--------—=>Bo

—o4x2

10.若函数/(x)是g(x)的原函数，则下列等式正确的是()

A.J/(x)<ix=g(x)+CB.jg(.x)dx=/(x)+C

C.g'(x)dx=f(x)+CD.Jf\x)dx=g(x)+C

解：依据不定积分与原函数的关系知，Jg(x)#c=/(x)+C。应选B。

11.Jcos(l-3x)dr=()

A.-gsin(l-3x)+C

B.-sin(l-3x)+C

C.-sin(l-3x)+CD.3sin(l-3x)+C

12.设丁=「«-1)。一3)力，则y'(0)=(

JO

A.-3B.-1C.1D.3

解：y'=(x—l)(x—3)=y'(0)=3n。。

13.下列广义积分收敛的是()

7,严五dxc产dx

1

「।•包公npdx

志J。志

解：由p积分和4积分的收敛性知，「°子收敛，应选Co

14.对不定积分f,1,公，下列计算结果错误是

Jsinxcosx

()

A.tanx-cotx+CB.tanx-------+C

tanx

C.cotx-tanx+CD.-cot2x+C

解：分析结果，就能知道选择c。

15.函数y=/在区间口,3]的平均值为()

A.—B.—C.»D.4

33

33

解：一--ff{x)dx=—fX1dx=—=-=>Bo

J|

b-a)"26]3

16.过Oz轴及点(3,-2,4)的平面方程为()

A.3x+2y=0B.2y+z=0

C.2x+3y=0D.2x+z-0

解:经过Oz轴的平面可设为Ax+By=0,把点(3,-2,4)代入得2x+3y=0应选Co

也可以把点(3,-2,4)代入所给的方程验证，且不含zo

_______—1

17.双曲线134一绕z轴旋转所成的曲面方程为)

y=0

222

x+yzx2y2+z2_

A.

4~34~

(x+y)2z2X2(y+z)?

D.

34

22222

解：把上-三"=1中/换成/+y2得三止一£1=],应选A。

3434

,o3-7^9

18.lim---------=

&孙

]_

A.B.--C.0D.极限不存在

66

3-y]xy+9-xy..11D

解：lim---------=lim-------1=-lim----/=——=>B。

孙二孙(3+标不为；*+J盯+96

19.若z=x，，贝1」丝=()

办

A.-B.1C.eD.0

e

解：—=xyInx|=elne=e=>C。

Qyl(e,D

)(e,l)

20.方程22、-疝3=1所确定的隐函数为2=/(乂打，则上=()

OX

22

A.--——B.--——C.--—D.--—

2y-3xz3xz-2y2y-3xz3xz-2y

1

a7F'7

解：令尸=z2y-xz3-1=>FJ=-Z3;F/=2zy-3xz2=>—=----=——-----应

AdxF[2y-3xz

选Ao

21.设C为抛物线丁=/上从(OQ)到Qi)的一段弧，则12%必+工2办=

A.-lB.0C.1D.2

X=X

解：C：«“X从0变到1,L2xydx+x1dy=£=1=>C。

y=x

22.下列正项级数收敛的是()

oo181

A.zB.y——

n=23n+l

00181

C.zD.

〃=2〃(ln占nyln

001co1

解:对级数z、z须要利用积分判别法，超出大纲范围。级数

2

〃=2nInnn=2n(lnn)

8I

y—;有结论：当P>1时收敛，当pwi时发散。级数£」一、£—!厂与级

“2”(In〃)Py3〃+1£“后

数之■利用比较判别法的极限形式来确定--发散的，应选Co

念〃

0C1

23.累级数ZW(x+l)”的收敛区间为()

〃=o3

A.(-1,1)B.(-3,3)C.(-2,4)D.I,2)

8118/,、n

解：令X+1”级数化为2击〃二E(=>收敛区间为(-3,3),即

，?=033n=0\D)

x+1£(—3,3)=>xG(—4,2)D°

24.微分y"+3y'+2y=e-Xcosx特解形式应设为y*()

xx

A.CecosxB.e~(C,cosx+C2sinx)

xD.x2e-x(Ccosx+Csinx)

C.xe~(Cxcosx+C2sinx)t2

解：-1+z不是特征方程的特征根，特解应设为/*(。1(：0$8+。2$皿》)。应选民

25.设函数y=/(x)是微分方程y〃+V=e2*的解，且广(%)=0,则/(x)在/处

(

)

A.取微小值B.取极大值C.不取极值D.取最大值

解:有/"(Xo)+/'(Xo)=e2*。=/"(x())=e2">0=A。

得评卷人

分二、填空题(每题2分，共30分)

26.设/(x)=2x+5,则/[/(x)-l]=.

解：/[/(%)-1]=2(/(%)-1)+5=2/(%)+3=2(2%+5)+3=4x+13。

2"

27.lim一=____________.

〃T8MJ

解：构造级数£丝，利用比值判别法知它是收敛的，依据收敛级数的必要条

M〃！

2"

件lim—=0。

”->8〃！

3e4x<0

28.若函数/(x)=1a在x=0处连续，则。=

2x+~,x>0

I2

解：lim/(x)=—;lim/(x)=3=>tz=6o

,s(r2x->o+

29.已知曲线y=x?+x-2上点M处的切线平行于直线y=5x-l,则点M的

坐标为________

解：y'=2x+l=5=x=2ny=4nM(2,4)。

30.设/(X)=e2*T,则—2007)(0)=

解：f(n\x)=Te2x-'=>-2007)(0)=22。。7--I

卜=3「l则当

31.设

y=2广一，+1dx

dy4f-1

解:n包=1o

dx3dxt=\

32.若函数/(x)=ax?+〃x在x=1处取得极值2,贝ljo=_______,b-

解:/'(%)=2ax+/?=0=>2a+b=0；a+b=2=>a=-2;力=4。

33.

JfM

ln|/U)|+Co

解:J/(X)J/(X)

j：&-x2dx=

34.

小=%圆:n

解:

4

35.向量方=31+4j—G的模|初=

解：13F+4；-1=V9+16+1=V26o

36.已知平面再：x+2y-5z+7=0与平面/：4x+3y+/nz+13=0垂直，则

m=_______

解：4={1,2,—5};亢2={4,3,〃?}=>4+6—5m=0nm=2。

37.设f(x+y,xy)=x2+y2,则f(x,y)=

2222

解：f(x+y,xy)=x+y=(x+y)-2xy=>f(x,y)=x-2yo

38.已知/=pf(x,y)dx,交换积分次序后，则/=

.x/2

解：D^<(x,y)|0<y<—,y<x<

=<(X,j)|0<X<,0<^<Xj+1(X,I-y1<X<1,0<Jl-J?所

42]

以次序交换后为「但[：/(羽y)dy+花'f(x.y)dyo

818(11A

39.若级数Z，收敛，则级数£-——匚的和为_____

〃=1Un+\)

f111(11)11而r1

解：Sc“=---------+-----------+---+-------------|=------------,而hm-----=0n,

(%u2){u2u.)1%,un+]Jw,u„+1'"MN

所以S=limS“=-L

"T8M|

40.微分方程y"-2了+y=0的通解为一

解：有二重特征根1,故通解为丁=60*+。2%/(4，。2为随意常数)。

得评卷人

分三、推断题(每小题2分，共10分)

你认为正确的在题后括号内划“J”，反之划“X”.

41.若数列｛X„｝单调，则｛居｝必收敛.

()

解：如数列｛〃｝单调，但发散，应为X。

42.若函数/(幻在区间卜,可上连续，在3。)内可导，且/(a)7/(。)，则肯定

/'⑹=0.

)

解：如在[-1,3]满意上述条件,但存在自=0e[-1,3],使得/化)=0,应

为义。

%-sin%由洛比达法则1-cosx「sinx।

43.lirm----------======lim-----------lim--------=-1.)

入ex+sinx“81+cosxfo-sinx

Isinx

解：其次步不满意?或艺，是错误的，事实上所士华=所一三_

=1o

0oo30%+sinxis]+sinx

x

应为义。

44.0<['n2^\-e-2xdx<—In2.

J。2

()

解：因0<Jl-e-2*<1,由定积分保序性知：04丁巩比41n24且In2,

Jo2

应为VO

45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条

件.()

解：/(x,y)在点P(x,y)处可微可得/(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立，

应为应为V。

得评卷人

分四、计算题(每小题5分，共40分)

46.求lim/nj

XT0+

.vlimsinxInxsin"mxlnx

解:lim3”=lira=丁=l

.v^0+

47.求函数y=/y上三的导数生：.

V1+xdx

解：两边取自然对数得ln|y|=21n|x|+|[ln|l-x|-ln|l+x|],——(1分)

两边对x求导得：-y'=-+-————（3分）

yx3|_1—x1+x

日口，211

即y=y—I----------------，（4分）

.x3(x-1)3(%+1)

故包=上叵己+」______!_

---（5分）

dxVl+xx3(x-l)3(x+1)

48.求不定积分^[e2x+ln(l+x)]dx.

解：j[e2x+ln(l+x)]dx=jelxd(2x)+jln(l4-x)dx——(1分)

+xln(l+元)一/广-6^（3分）

=—e2x+xln(l+x)-f1---—dx―(4分)

2J1+x

=/+xln(l+x)-x+ln(l+x)+C0(5分)

49.计算定积分[J2+2cos2xt&.

解：[32+2cos2x=2(1+cos2x)=4cos2x,所以

£V2+2cos2xdx=£A/4COS2xdx=J：21cosx|dx-----(2分)

元_

=2pcosxdv-2j^cosxdr------(4分)

2

K

=2sin电一2sin'；=2+2=4。----(5分)

2

50.设z=/(e*siny,3x[y),且/(〃,u)为可微函数，求dz.

解：令e*siny=〃，3x2y=u,有z=./1(〃#),利用微分的不变性得

dz=f：(u,v)du+/；(«,v)dv=f,'d(exsiny)+f',d(3x2y)----(3分)

=f：(exsinydx+excosydy)+f'.ffixydx+3x2dy)------(4分)

2

=(e*sinyf^+6xyf：)dx+(e'cosyfu'+3xf')dy--(5分)

51.计算JJx?小ody,其中。为圆环区域：14/+V«4.

D

解:积分区域。如图07-1所示：。的边界一+尸=1、炉+)2=4用极坐标

表示分别为r=l,r=2；故积分区域。在极坐标系系下为

y

{（r,0）|0<0<2n,l<r<2},（2分）

故0尤2斓），=『呵：r~cos2Qrdr----（3分）

D

42

=r'cos2QdQCr3dr=cos20J0

JoJiJo4

I5广2兀e15f2nr/八、

=Tfocos。相=工工2COS-M0—（4分）图OR

15八、八15/八1.分八、157T/l/1、

=一I（l+cos20）J0=一（0+—sin20）=---o---（5分）

8。82c4

2¥

52.将上T绽开为X的基级数，并写出收敛区间.

4-x2

因浮1I1________

解:---（2分）

2-x2+x2（与）2（1+9

18

-——=y^'（-1,1）o

1-xM=o

所以,x€（—2,2）o―（3分）

1--

2

2x

故x£（-2,2）―（4分）

4-x2

001

=£许/向xe（-2,2）。一（5分）

〃=0乙

53.求微分方程/dy+（y一29一12）公=0的通解.

解：方程可化为y'+上学y=l,这是一阶线性非齐次微分方程，一-（1分）

X

它对应的齐次方程V+f1一-2丫y=0的通解为丁=22,*-,一一（2分）

x

设原方程有通解y=C（x）x2e1,代入方程得Cf（x）x2e7=1,

1--

即Cr（x）=—ex一一（3分）

x9

所以C（x）='公=e'+C,---（4分）

故所求方程的通解为y=C//+冗2。—（5分）

得评卷人

分五、应用题（每题7分，共计14分）

54.某工厂欲建立一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容

积为V立方米，底面造价每平方米。元，侧面造价每平方米匕元,

问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？

解：设长方体的长、宽分别为，则高为上，又设造价为z,-一（1分）

孙

由题意可得

V2hV2hV

z-axy+2b（x+y）—=axy+----1-----（x>0,y>0）；（3分）

&xyyx

而dz2hV

豕字；浮=〃元一学;在定义域内都有意义.

X2dyy2

⑤

-2bV

&=缈-=0n

令2bV

得唯一驻点x=y（5分）

1a一z

。

丝就是使造价最小的取

由题可知造价肯定在内部存在最小值，故x=y=*

a

aV-

值，此时高为:

所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为J呼、j2bV若时，工

-M

程造价最低。--（7分）

55.设平面图形D由曲线y=e*,直线）=6及y轴所围成.求：

（1）平面图形D的面积；y="

（2）平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体炼.

解：平面图形D如图07-2所示：--（1分）P/

取x为积分变量，且xe[0,l]

（1）平面图形D的面积为

S=「（e-——（3分）

Jo

=3_/）（=1。---（4分）

图07-2

（2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成

旋转体的体积为

x

=2Tlexdx-2n^xedx

Jo

xpl.11pl

=2ne--2Kxdex=ne-2jixeA+2汽exdx

7JoIoJo

o

=兀6—2兀e+2兀e'b=兀(6—2)。----(7分)

或匕,=兀[(Iny)2dy=兀(Iny)2y1-可2Inydy

=Tie-2KJInydy=ne-2兀yIny[}+2冗，dy

=ne-2Tle+2兀(e-1)=兀(e-2)。

得评卷人

分

六、证明题(6分)

56.若((x)在［a,b］上连续，则存在两个常数切与M,对于满意a<x,<x2<b

的随意两点Xi，马,证明恒有

m(x2-%1)<f(x2)-f(xt)<M(x2-x,).

证明：因/'(x)在值,马］有意义，从而/(x)在国,/］上连续且可导，即/(X)在

凡々］上满意拉格朗日中植定理的条件，——(2分)

故存在自€(和々)，使得/区)=/㈤=/化),——(3分)

X2一项

又因f'(x)在［a,切上连续，依据连续函数在闭区间上最值定理知，尸(x)在［a,b］

上既有最大值又有最小值，不妨设分别是最小值和最大值，从而xe(a,b)时,

m<f'(x)<M«-----(5分)

即〃［</(々)-/(斗)<M,

x2一2

故m(x2-x))<f(x2)-f(x［)<M(x2-x^)o--(6分)

2024年河南省一般高等学校

选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

高等数学试卷

题号一二三四五总分核分人

分数

一.单项选择题（每题2分，共计60分）

得分评卷人

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写

在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.

1.函数/（X）=ln（l-x）+Jx+2的定义域为)

A.[—2,—1]B.[—2,1]C.[-2,1)D.(-2,1)

1—x>0

解：V=>-2<x<l=>C.

x+2>0

八一1-2cosx

2.lim——7--------X()

Tsin]x71

A.1B.0C.D.百

o

2x

1—2cosro2sinJC

解：Um=lim

一.nx->兀-

3sinx——3

l3

3X-1

3.点x=0是函数y=1—的)

3;+1

A.连续点B.跳动间断点C.可去间断点D.其次类间断点

io।

3v-1-13*一1。3'In3

解：lim}—=—二_l,Hm}—=lrim--------In8.

z(r11XTO+1A->0+1

3,+131+13、In3

4.下列极限存在的为()

sin2x..x2+2

A.limexB.limC.limcos—D.lim----------

A->-K0A->0x10+xIEx—3

sin2x

解:明显只有lim---------=2,其他三个都不存在,应选B.

x->0X

5.当x->0时，ln(l+x2)是比l-cosx的()

A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等阶无穷小D.同阶但不等价无穷小

x光2

解：ln(l+x2)-x2,l-cosx=2sin2------=>D.

22

l+(x+l)sin---,x<-1

x+1

6.设函数/(x)=<1,-l<x<0,则/(x))

arctanx,x>0

A.在x=—1处连续，在％=0处不连续B.在x=0处连续，在x=—1处不连续

C.在工=一1,0,处均连续D.在工=一1,0,处均不连续

解：lim/(x)=1,lim/(x)=l,/(-l)=l=>/(幻在x=-l处连续；

lim/(x)=1,lim/(x)=0,/(0)=1=>/(x)在x=0处不连续;应选A.

7.过曲线y=arctanx+"上的点(0,1)处的法线方程为()

A.2x—y+1=0B.x-2y+2=0

C.2x—y—1=0D.x+2y—2=0

解：y'=—+ex=>/z(0)=2=>k法=——=>D.

1+x2法2

8.设函数/(x)在x=()处可导，/*)=/(0)-3%+(1(%)且1汕史包=0,则/(0)=

x->0x

()

A.-1B.1C.-3D.3

解：/'(O)=lim=lim-3、+a(x)=-3+勒2=-3,应选C.

x->0x—010X1°X

9.若函数/(x)=(lnx)、(x>l),则广(x)()

A.（In犬产B.(Inx)x"1+(Inx)xln(lnx)

C.(Inx)xln(lnx)D.x(lnx)x

解：f(x)=(Inx)x=exln(,nx)nV=(Inx)x[xln(lnx)]r=(In尤产+(Inx)xln(lnx),应选

B.

,x=cos31d2V

10.设函数y=y(x)由参数方程《'确定，则―=()

y=sin31dx~

A-4

C-#D.2

A.-2B.-l

dysinrd2y11d2y

解：==------=-f=------=>-f=—J5,应选D.

axcostdxcost3costsintdx兀3

X--4

H.下列函数中，在区间[-1,1]上满意罗尔中值定理条件的是)

K.y-exB.y二In|x|C.y=\-x2D,y=—

解：验证罗尔中值定理的条件,只有y=1--满意,应选c.

12.曲线y=/+5x—2的拐点是（）

A.x=0B.(0-2)C.无拐点D.x=0,>=—2

解：y"=6x=0=>x=0=>(0,-2),应选B.

1

13.曲线y=)

u-n

A.只有水平渐进线B.既有水平渐进线又有垂直渐进线

C.只有垂直渐进线D.既无水平渐进线又无垂直渐进线

解：lim——=0,lim——8=B,

XT8|X_1|7|X一1|

14.假如/(幻的一个原函数是xlnx那么卜2/〃(幻公=()

A.Inx+CB.x2+C

C.x3\nx+CD.C-x

解：/(x)=(xlnx)r=1+Inx=>fn(x)---v=>公=一，公=_尤+。，应选

D.

dx

15.)

元2—4%+3

+C

C.ln(x—3)—ln(x—1)+0D.ln(x—1)—ln(x—3)+C

dx_rdxx—3

解:x2-4x+3」(x-3)(x-1)Jx=-ln+C,应选A.

2x—1

16.设/=「一^,则/的取值范围为

)

Jol+x4

TT

A.O<Z<1B.-</<1c.0</<-D.-</<1

242

解：此题有问题，定积分是一个常数，有KI,依据定积分的估值性质，有

21+x4

-</41,但这个常数也在其它三个区间，都应当正确，但真题中答案是B.

17.下列广义积分收敛的是()

产37n产1nX,

A.JxdxB.J----dxC.jylxdxD.J。e~xdx

解：明显应选D.

18.jJl-x\dx=()

A.\\-x\dxB.f§(九一1)公+£(1-x)dx

*o

C.J(1—x)dx—£(x—V)dxD.j3(1-x)公+1(x—Y)dx

解：J^|l——x|6&+Jjlx\dx=^(l-x)6fc+J应选D.

19.若/(x)可导函数，/(x)>0,且满意/2。)=11122-2「理应U力，则/(x)=