2024届高三高考模拟综合测试数学试题（一）（含答案解析）

2024届高三高考模拟综合测试数学试题（一）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=｛刈工一3k2｝,8=卜2x-l<lj,则Au3=()

x—2

A.(1,2]B.(1,2)C.[-1,5]D.[-1,5)

2.已知复数z+2i=二，贝1]"（1+玉）|值为

()

1—1

A.V10B.10C.3亚D.5

3.平面向量|a|=五,|b|=2,(a-b)_La,贝必与6的夹角是（）

.5兀一兀c兀

A.—B.—c.-D.-

12346

4.在递增等比数列｛%｝中，4=4,且3%是4和%的等差中项，贝IjIo=()

A.256B.512C.1024D.2048

Q

31

5.已知尤=4+22-2,-y=6+-ln2,z=2，则（）

A.z>y>xB.>>x>zC.x>z>yD.z>x>y

6.在如图所示的圆台中，四边形A5CD为其轴截面，AB=2CD=4,母线长为百，P

7T

为底面圆周上一点，异面直线4）与OP（0为底面圆心）所成的角为则C尸的

A.7-2出B.7-2出或7+2省

C.19-45/3D.19-46或19+46

7.已知圆心均在y轴的两圆外切，半径分别为小公五=2,则两圆外公切线的斜率为

（）

A.+2V2B.土包C.土逑D.±-

_7433

8.己知不等式2Xe2x+ln421n元在xe（O,y）上恒成立，则实数力的取值范围是（）

C.D.

2e4e

二、多选题

9.下列化简正确的是（）

A.cos82°sin520+sin82°cos128°=-—B.sin15°sin30°sin75°=-

28

—tan480+tan72°r-

C.cos215°-sin215°=—D.---------------=<3

21-tan48°tan72°

10.从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（）

A.若4人中男生女生各选2人，则有18种选法

B.若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法

C.若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法

D.若4人中既有男生又有女生，则有34种选法

11.下列结论正确的是（）

A.^■^tlVxeR,x2-x+l>0"^;g^^"3xeR,x2-x+l<0

B.已知回归模型为y=f+2x+l,则样本点（1,3）的残差为t

C.若样本数据网,工2,…，网0的方差为2,则数据2%-1,2元2T,…,2尤］0-1的方差为8

D.若的展开式中各项的二项式系数之和为32,则展开式中V项的系数

为-80

12.如图，正方体ABCD-AgGA的棱长为1,线段用2上有两个动点及产，且所=；,

则下列结论中正确的是（）

A.ACLBEB.EFHABCD

C.三棱锥A-3EF的体积为定值D.aAEF的面积与△3EF的面积相等

三、填空题

试卷第2页，共4页

13.命题“HreR,ox?+%+i<o”为假命题，则实数。的取值范围为.

14.(2+x)5(x-y)3的展开式中，工与2的系数是.

77

15.已知向量。，6的夹角为w，且|。|=4,|6|=2,则向量4+2b在向量4上的投影向

量为.(用a表示)

16.已知圆C：f+y2=4,点A(3,o),点3(-2,0).点P为圆C上一点，作线段AP的

垂直平分线/.则点8到直线/距离最小值为.

四、解答题

17.在ABC中，bsin2,A=>/3asinB.

⑴求一A；

(2)若ASC的面积为36,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已

知，使二ABC存在且唯一确定，求a的值.

条件①：s加(?=2以；条件②：2=3/；条件③：cosC=

7c47

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

18.已知数列｛风｝满足4+%=2%，%+i数，数列匕｝满足。"=。2"一一

⑴求数列｛%｝和｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛%｝的前“项和S".

19.四棱锥尸-4BCD的底面ABCD是边长为2的菱形，上4,平面A3C£),/3AD=120,

过点A且与平行的平面«与CD,PC分别交于E,歹两点.

⑴证明：PD//EF

(2)E为C。中点，且PC与平面ABCD所成的角为45,求二面角A-£F-。的正弦值.

20.我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规

划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.该企

业为了了解研发资金的投入额单位：百万元)对年收入的附加额y(单位：百万元)

的影响，对往年研发资金投入额七和年收入的附加额%进行研究，得到相关数据如下：

投入额七234568911

年收入的附加额以3.64.14.85.46.27.57.99.1

(1)求年收入的附加额y与投入额尤的经验回归方程；

(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于1,则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从

上面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X的

分布列及数学期望.

888

【参考数据】=334.1,2y,=48.6,2＞；=356.

Z=14=11=1

【附】在经验回归方程§=乐+》中，b=J————=号------,舍=亍一打.

£卜厂可2＞；一“募

1=11=1

22

21.已知过点(l,e)的椭圆E：A+的焦距为2,其中e为椭圆E的离心

率.

(1)求E的标准方程；

⑵设。为坐标原点，直线/与E交于AC两点，以Q4,OC为邻边作平行四边形OABC,

且点3恰好在E上，试问：平行四边形Q4BC的面积是否为定值？若是定值，求出此定

值；若不是，说明理由.

22.已知函数〃x)=e*-l,g(x)=ln(x+a),aeR.

⑴若a=l,求证：/(x)＞g(x)；

⑵若函数〃x)与函数g(x)存在两条公切线，求实数。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】求出集合A、B,利用并集的定义可求得集合AuB.

【详解】因为4={无卜_3|<2}=卜卜2<尤_3<2}=词1<尤<5},

由可得一1=37—"-2)=三go,解得一us,贝”={+lWx<2},

因此，AB=[-l,5).

故选：D.

2.D

【分析】根据复数的四则运算，然后根据求模公式，即可得答案.

【详解】由z+2i=工，得2=工-2i=W-2i=:i,

所以7-(l+3i)=]；+gi：(l+3i)=^1^=_4+3i,

所以上.(]+3i)|=J(_4『+32=5.

故选：D.

3.C

【分析】根据数量积的运算律以及定义式，结合向量夹角的计算方法，可得答案.

【详解】向量|a|=b|=2,(〃—Z?)_L〃，贝!J(a—Z?).♦=a—a-b=0,即

因此85〈4,6〉=出包='^=第匚=立，而OW〈a,b〉V兀，则〈。涉〉=£,

|a||b|\a\\b\V2x224

所以“与6的夹角是:.

4

故选：C.

4.B

【分析】运用等差中项及等比数列通项公式计算即可.

【详解】设等比数列{%}的公比为分

2

因为3a5是。6和。7的等差中项，所以6%=4+%，BP6a5=a5q+a5q.

又因为a5H0，所以q2+g_6=0,解得q=2或g=_3.

又因为等比数列{4}是递增数列，所以4=2.

答案第1页，共17页

又因为。3=4,所以％0=4夕7=4x27=512.

故选：B.

5.C

【分析】先把x，y，z变形，%=4（l+20-2）,Z=8x2°」，利用三和1比较大小；由于z>8,证

明y<8,即可得出结果.

【详解】X=4+22,2=4+22义2°2=4（1+2°2）,

z=23-1=4x21J=8x2°,，

z=8x2°」>8,

因为y=6+[ln2,gin2—2=g（ln2—a[<。，

QO

所以《ln2<2,y=6+-ln2<8,

所以z>y,综上，x>z>y.

故选：C.

6.B

【分析】建立如图所示坐标系，根据异面直线AD与0P（。为底面圆心）所成的角为三,

求得CP?=7±26

【详解】以。为原点，0B为y轴，过点。作X轴rOB,圆台的轴为Z轴，

建立如图所示坐标系：

^DE±AB,DE交AB于点E,\AE\=^\AB\-^\CD\=1,

RtAADE中，

\DE\=ylAD2-AE2=V2JiJ可0,-1,⑹,A（O,-2,O）,C（O』,0）,AO=（0,1，⑹

答案第2页，共17页

P（2cos夕,2sin6,0）,0W夕<2兀，。尸=（2cos，,2sin。,0）,

由于异面直线AO与OP（。为底面圆心）所成的角为安

7i_OP-AD_|2sin0|_|sin0|_1

笔下尸|.|叫=甚正=,

sin0=±^,CP=（2cos6,2sind-1,一忘），

CP2=4cos2,+4sin26»-4sin6>+l+2=7-4sin，=7±2g

故选:B.

7.A

【分析】画出两圆公切线的交点，结合相似三角形的性质即可求解.

【详解】圆心均在y轴的两圆外切，画出两圆公切线，有两条分别为，BC，JE，

公切线与圆的切点分别为8C,D,E,公切线与〉轴的交点为4

两圆圆心分别为a,。2,圆a与y轴的上交点为F,

则a『，ac=G，殳="=也/尸+2/2=2,

12

人」124OBA。AF+rx

AF=,则sinZO{AB==—--=—=—

OXAAF-rx3'3

,20,0

/.cosO.yAB------jtanNO^AB=-----,

sin-+ZQAB

:

则kBC=tang+ZQAB=—3------------cos/QA3=_2/

（2Jcosjl+ZOjAB-sinZOjAB

同理可得的E=2及，所以两圆公切线的斜率为±2亚.

故选：A.

答案第3页，共17页

【分析】将不等式变形为2xe2,2：ln?,根据/«)=赵的单调性得2彳2111£,再用常数分

/IA4

离法求出入的取值范围.

【详解】由2府工+In日NInX得2将Nlnx-ng,

A

即2小2,23In二，

XA

令/(t)=fe'，fe(0,+co),则/'(f)=(f+l)e'>0,

所以/⑺=赵在(0,+“)上单调递增，

而2xe2,23n土=In土e呜等价于/(2x)2/(in父，

XX

：.2x>ln-,gpA>^-

4e

令g(x)=W，xe(O,y),则g'(x)=^^，

所以g(x)在xe(0,1•1时g，(x)>0,为增函数；在在xe[；,+co)时g[x)<0,为减函数，

所以g(x)最大值为=；,：.A>^-.

故选：C

【点睛】方法点睛：同构法解不等式恒成立求参数范围问题时先将原不等式化成

/(g(X))>/(/!(%))后再利用函数了⑺单调性得到g(X)与/l(X)的大小关系，由此得到参数

范围.

9.ABC

答案第4页，共17页

【分析】通过两角和差弦切公式的逆用，以及降幕公式，即可化简求值.

【详解】cos82°sin520+sin82°cos128°=cos82°sin52°-sin82°cos52°

=sin(52°-82°)=sin(-30°)=,故A选项正确；

sin15°sin30°sin75°=sin15°cosl50sin30°

=L5皿30。$皿30。=工*!*4=工,故8选项正确；

22228

cos215°-sin215°=cos30°=立，故c选项正确；

2

tan480+tan72°_/-

----------------------=tan(48°+72°)=tan120°n=—43,

I-tan48°tan72°v7

故D选项错误;

故选：ABC.

10.AD

【分析】选项A、B根据组合及分步计数原理的知识可列出表达式，进行计算可得结果；选

项C、D可采用间接的方法，先计算出反面一共有多少种，然后用总的种数减去反面的种数

即可得到结果.

【详解】对选项A,依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有GU=6x3=18种.所以

该选项正确；

对选项B,依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必须在内，则相当于从5名同学中选

取2人，一共有C；=10种.所以该选项不正确;

对选项C,依题意，要从7名同学中选取4人，一共有C：=35种，而甲乙都不在内一共有

C：=5种，

...甲与乙至少要有1人在内有C；-C；=35-5=30种.所以该选项错误；

对选项D,依题意，假设全是男生一共有C：=l种，全是女生的情况没有，

既有男生又有女生一共有C：-C：=35-1=34种.所以该选项正确.

故选：AD

11.ABC

【分析】根据命题的否定可判断A,根据残差的计算即可判断B,根据方差的性质即可求解

C,根据二项式系数和可求〃，再根据通项即可求解.

【详解1对于A,命题“WxeR,d-x+120"的否定是"eR,*-x+1<0",故正确；

答案第5页，共17页

对于B,当x=l时，y=4,故残差为3-4=-1,故正确,

对于C,由方差的性质可知：2%一1,2々一1,…,2W0-1的方差为2?x2=8,故正确，

n

2x—7=)的通

对于D,2x-的展开式中各项的二项式系数之和为2"=32n〃=5,故

3Q

项为4+125Tx寸，令5-/r=2=＞，=2,故f项的系数为C；(-x23=80,故错

误，

故选：ABC

12.ABC

【分析】选项A,用线面垂直的判定定理得出：AC,平面B5QO,进而得出ACL3E；

选项B,应用面面平行的性质，得出：平面平面ABCD,进而得到所〃平面ABCD；

选项C,线面平行的判定定理，不难得出相〃平面2£/，从大的三棱锥A-242中观察,

A到ABEF的距离始终是定值；

选项D,设ACBD=O,取4A的中点运用平面几何性质：

22

AM-ylAO+OM＞DD,=BB,,所以S3=g所•AM＞；所出4=5谶七5，D选项错误.

【详解】对于A选项，连接AC、BD,因为四边形ABC。为正方形，则AC13D,

_L平面ABCD,ACu平面ABCD,：.AC1BB],

BD=a8。,8月u平面叫Dp,所以AC_L平面BBQ。，

因为3Eu平面BBQjD,因此ACLBE,A选项正确；

对于B选项，因为平面A瓦GR〃平面ABC。，EFu平面A4G2，

所以EP〃平面ABCD,B选项正确；

对于C选项，因为44//BB,A41a平面u平面BBQA，

所以9〃平面A4,BB},故A4,〃平面BEF,

故点A到平面BEF的距离为定值.

因为ABEF的面积为S^EF=^EF-BBX=^,

点A到平面BEF的距离为定值，

故三棱锥A-5EF的体积为定值，C选项正确；

答案第6页，共17页

对于D选项，设ACBD=O,取4A的中点M,连接OA/、AM,

由A选项可知，AC_L平面88QD,即AO_L平面BBQD,

QBRu平面BBQQ,则AO±BR,因为HDD、且BB{=DDX,

故四边形B4QD为平行四边形，则8。//耳。且8。=AR,

因为M、。分别为BQ、的中点，

故DO//QM且£＞。=£»幽，所以四边形。2”。为平行四边形，

QD2J_平面ABCD,DOu平面ABCD,

所以。2，。。，故四边形。2M。为矩形，所以AOOM=O,AO,OMu平

面AOA/,所以BQ_L平面AOA/,

22

期匚平面4加，"加，42，AM=ylAO+OM>DD[=BB{,

所以S^EF=^EFAM>^EFBBX=S^BEF,D选项错误.

【分析】分析可知命题“VxeR,依2+x+lZO”为真命题，对实数。的取值进行分类讨论，

在。=0时，直接验证即可；当。力0时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数。的不等式

组，综合可得出实数。的取值范围.

【详解】由题意可知，命题“VxcR,奴?+%+12o”为真命题.

当〃=0时，由％+120可得工之一1,不合乎题意；

伉＞01

当时，由题意可得A1/八，解得az：.

A=l-464Z＜04

因此,实数°的取值范围是a4

答案第7页，共17页

故答案为：a

4

14.120

【分析】先找出(x-y)3中含丁的项C#(-y)2,再在(2+叶中找出含/的项，相乘即可得到

含丁丁的系数.

【详解】(尤-»中含丁的项为C"(-y)2,(2+x)s中含V的项为C?无3,

(2+x)5(x-y)3的展开式中含x4y2的项为C；x(-y)2C；2晨3=120x4y2,其系数为120.

故答案为：120.

3

15.—d/1.5a

2

【分析】先计算向量G+2力与向量〃的数量积，再代入投影向量公式中，即可得答案.

【详解】a,6夹角为T，忖=4,网=2

JT1

(a+2b).〃=|a『+2|o||Z?|cosy=42+2x4x2x-=24,

所以向量4+26在向量a方向上的投影向量为丝望"工•工=竺*4=』..

\a\\a\442

3

故答案为：-a.

16.述/上立

33

【分析】根据题意假设AP的中点。(。点)，先利用代入法求得。的取值范围，再利用点斜式

29—8〃

求得直线/的方程，从而利用点线距离公式求得△=2j3i—二a，进而利用换元法与基本不

等式求得点B到直线/距离的最小值.

【详解】依题意，设AP的中点。(附)，则尸伽-3,2b),(24-3)2+4加=4,

以。〜+=3a—,—2V2n一3V2,则一＜aM—,

422

因为4(3,0),所以鼬=々，故左=一二，

a-3b

所以线段AP的垂直平分线/为＞一。=——(x-a),即(。-3)尤+勿一(。2+62)+3。=0,贝।

(a-3)x+hy+~—0,

答案第8页，共17页

2(〃-3)+|

所以点B（-2,0）到直线/的距离为d=29-8a

J(4-3)2+/2,31—12〃

_______31-/2

令t=j3\-\2a,贝!J1W/K5,a=^—^,

12

31-r2____

所以d一2"8X4一25J“卢7-5夜,

2t6t3-V6/33

当且仅当字=5，即r="l时，等号成立，

6t32

所以公逑，即点2到直线/距离最小值为述.

33

故答案为：迫

3

17.⑴£

6

⑵选②或③，不

【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；

（2）条件①，由si”C=羽，角C可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；

7

条件②，利用条件建立，边匕与。的方程组，求出b与。，再利用余弦定理，即可求出结果;

条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边人与。的方程组，求出6与J

再利用余弦定理，即可求出结果；

【详解】（1）因为Z?sin2A=J^asin3,由正弦定理得，sinBsin2A=y/3sinAsinB,

又3W（0,TI）,所以sinBwO,得到sin2A=JWsinA,

又sin2A=2sinAcosA,所以2sinAcosA=y/3sinA，

又Ae（O,7i）,所以sinAHO,得到cosA=?,

答案第9页，共17页

jr

所以A

o

(2)选条件①：sinC=亚

7

277

由(1)知，A=2,根据正弦定理知，-=—=—>1,即c>。，

6〃sinA7

2

所以角c有锐角或钝角两种情况，ASC存在，但不唯一，故不选此条件.

选条件②：2=巫

c4

因为SABC=；AsinA=；bcsin《=：Z?c=36,所以反=126，

又2=地，得到b=Me，代入6c=12A/3，得至IJ巫d=12币，解得c=4,所以6=36,

c444

由余弦定理得，a2+C2-2/?CCOSA=(3A/3)2+42-2X3A/3X4X^=27+16-36=7,

所以〃=币.

选条件③：cosC=

7

因为SABC=-besmA=-besin—=-be=373,所以反二126,

2264

由cosC=，得到sinC=Jl—cos2c=Jl-Z=,

7V497

兀

又sin5=sin(7i-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,由(1)知A=—,

6

所以sinB」x叵+独乂3=通

277214

3匹

又由正弦定理得，2=华=谷二孚，得到八班C,

csinC2,744

代入。C=12G，得至、304)=126，解得。=4,所以6=36,

4

由余弦定理得，tz2=/72+c2-2Z7ccosA=(3V3)2+42-2x3^x4x^=27+16-36=7,

所以Q=布.

n-\

2-3三-1,〃为奇数

18.(1)C〃=2-3〃T_1,

2.33-3/为偶数

答案第10页，共17页

4•3、2〃-4,”为偶数

⑵S“=n+\

2・3斤一2"-3,〃为奇数

【分析】⑴由题意先求出生，再根据c„=*，得。=4，*=%,+i，从而可得==3c.+2,

再利用构造法求出｛1｝的通项，从而可得｛%｝的通项公式;

（2）分”为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解.

3a为奇数

【详解】（1）aC班/申物，得。2=3q,q=4+2=34+2,

n+1q+2,”为偶数

因为4+%=2a2，即。1+3%+2=6%,解得%=1,

由C“=0-211-1>得G=%=1，C“+]=。2"+1'

又“2/=3a21,02*+1=+2,启eN,

a

故2t+i=3a2i+2,所以/+i=3/+2,即c„+1=3c„+2,

所以c“+i+l=3（c“+l）,

又q+l=2,所以数列｛g+1｝是以2为首项，3为公比的等比数歹!J,

所以C,+1=2-3"T,所以C“=2-3"T-1,

则=2•3"T-1,故a2n=3%T=2•3"-3,

n-1

2・3万-1,"为奇数

所以=

2.3^-3,w为偶数

（2）当”为偶数时,

s〃=(q+g++%一1)+(。2+/++〃九)

=4(4+/++)=4q+02++

I2

答案第11页，共17页

/nA-

2I-32

n

rj—

=4x-------乙——=4-32-2n-4,

1-32

当〃为奇数时,

n+1(〃+1、n+1

5“=50+1一凡+1=4-3工一2(九+1)—4一2-3^-3=2-3三一2九一3,

\7

4・3^-2…，〃为偶数

综上所述,n+1

2・3〒一2〃一3,〃为奇数

19.(1)证明见解析;

⑵巫.

【分析】(1)由尸£＞平面钻尸即可证明PD〃EF；

(2)设BC的中点为G,连接AC.建立如图所示的空间直角坐标系4-邙.先证明

ZPCA=45,再利用向量法求解.

【详解】(1)由题得尸。.平面EF=平面尸CD,平面AEF,BDu平面PCD,

所以PD〃EF.

(2)设3C的中点为G,连接AC.建立如图所示的空间直角坐标系

因为PA_L平面A3CD,所以尸C与平面ABQ)所成的角为NPC4=45,

由题得一ABC是等边三角形，所以AC=2,.〔PA=2.

因为PD//EF,CE=ED,:.CF=PF.

由题得尸(0,0,2),C(6,1,0),0(0,2,0),

所以尸C=(百,1,一2),PD=(0,2,-2),

设平面EFD的法向量为根=(%,%zj,

m-PC=Mx、+%-2=0J3

所以,,//t=(——,1,1).

m-PD=2y1-2z1=03

由题得A(0,0,0),£(¥[,0),,g,1),

答案第12页，共17页

所以AE=（#,I，0）,川=（¥，；』）

设平面E7弘的法向量为〃=（%,%，Z2），

〃•AE=――/H—%=0

所以22=(-73,1,1).

V31

Yl'AF=----%2~1--%+Z2=0

<22

m・n1A^05

设二面角A-EF-D的平面角为…8so=丽而

35

所以sinO=M0.

35

所以二面角A-EF-D的正弦值为生团.

35

20.⑴y=0.625%+2.325;

（2）分布列见解析，期望为粤.

56

【分析】（1）根据已知数据和参考公式，即可出y与投入额x的经验回归方程；

（2）求出X的所有可能取值和对应的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出

答案.

2+3+4+5+6+8+9+11-148.6,

【详解】（1）x==6,y=wZ%=k=6M075,

8&i=\o

n__

^x^-nxy

334.1—8x6x6.075

b=@n----------_----=0.625

29356-8x36

£xz-nx

i=l

又因为所以°=6.075-0.625x6=2.325，

答案第13页，共17页

所以年收入的附加额y与投入额尤的线性回归方程为y=0.625x+2.325

（2）8个投入额中，“优秀投资额”的个数为5个，故X的所有可能取值为0,1,2,3,

c31C2Cl15ClC2尸（）

P（x=o）=^-=—；p（x=l）=-^l-；P（X=2）=号C'C：2X=3=3=t

c；56\JC；

56、C；56C856

5105

5656282856

丫2

21.（l）y+/=l

⑵是定值，定值畔

【分析】（1）根据题意列式求解。力,。，即可得结果;

4km2m

（2）根据题意结合韦达定理求点C-，代入椭圆方程可得4%2=1+2标，结

1+2/'1+2/

合弦长公式求面积即可，注意讨论直线的斜率是否存在.

【详解】（1）设椭圆E的焦距为2c,则。=l,e=£=1

aa

1

1/,a2=2

由题意可得下+5=1,解得

b2=l

a2=b2+1

丫2

故E的标准方程为

（2）平行四边形Q4BC的面积为定值直，理由如下:

2

由（1）可得：a=V2,b=l,则有:

当直线/的斜率不存在时，设43，乂）（（玉,-％）,

若Q4BC为平行四边形，则点B为长轴顶点，不妨设3（亚，。卜

答案第14页，共17页

I及3

%1=T

可得,,解得

X.21

寸+y；=i,加,=6万

故平行四边形Q4BC的面积S=2x\及x1="；

222

当直线/的斜率存在时，设/:y=Ax+〃工

y=kx+m

联立方程Y2_,消去y得(1+2用炉+4协7X+2/一2=0,

^2+y~

4km2m2-2

贝！IA=16左2〃/_4(1+2/)(2/7?—2)=8(242—加2+1)〉0,%/=—-------,X.X=--------y

l+2k272-1+2左〜

2m

可得y+%=依1+机+丘2+加=左(%+x)+2m=-:［彳+2m=

2l+2k2

**16M=(jq,j1),OC=(x2,y2),

uunutruum(4km2m

若Q4BC为平行四边形，则。2=。4+。。=(占+%,%+%)=-

1+2/'1+