2024届陕西省商洛市高三年级下册四模文数试题及答案

商洛市2024届高三第四次模拟检测9.已知函数f（%）=eH+er,g（%）=sin］,给出的图像对应的函数解析式可能是（）

A./(x)+g(x)—2

数学试卷（文科）B./(X)—g(x)+2

C./(x)•g(x)

考生注意：

1,本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。10.已知函数/(2)=51(37+手)(加＞0)与函数g(x)=cos(2x+^)

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

中的囹像的对称轴相同，给出下列结论:

抑

①3的值可以为4；

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是②夕的值可以为警；

符合题目要求的.

回

1.已知复数工二色,复数W是复数z的共舸复数，则（）③函数八幻的单调递增区间为［一学+标4+无用&―）;

④函数/（工）的所有零点的集合为{Z|工=若+竽,％CZ}.其中正确的为（）

炖A2B.V2C.1D.272

2.已知集合「={］€川1&力48},集合Q={z£R|z2--240}/iJPp|Q=（）

:cA.①②B.②③

出A.{2}B,{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}

2C.③④D.①④

叔3.命题“对任意的炉一/+i>o”的否定是（）

11.已知P是双曲线G£T=1右支上的动点出,F是双曲线C的左、右焦点，则InIPB|+

KA.不存在xGR»x3—xz+1^0B.存在xER,x3-x2+1^02

C.存在xGR»x3—x2H-l<C0D.对任意的XER»J：3~"X24-1>>0

ln|PFz|的最小值为（）

区4.已知S.是等差数列{七}的前〃项和，且满足Q2=4,S4=22,则S5=（）

A.65B.55C.45D.35A.12B.In4

5.近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污C.In12D.In32

郑

染物数量N（mg/L）与时间寅小时）的关系为N=N『（N。为最初的污染物数量）.如果前12.已知;l>0,对任意的工>1,不等式e纵一臂》0恒成立，则人的取值范围为（）

3小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）

褊A2.6小时B.6小时C.3小时D.4小时A.［2e,+8）B.［会,+8）

岩6.已知非零向量a,b,c满足Q_l_（b+c）,|b|=VJ|c|,〈a,b〉=60°,贝1l〈a,c〉=（）

甑A45°B.60°C.120°D.150°C.［e,+8）D.

7.已知点M在抛物线C：V=4z上,抛物线C的准线与z轴交于点K,线段MK的中点N也

在抛物线C上,抛物线C的焦点为F,则线段MF的长为第n卷

A1B.2C.3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.

8.已知一棱锥的三视图如图所示,其中侧视图和俯视图都是等13.在区间［-2,1］上随机取一个实数为若事件A：0的概率为"I，则实数m的值为▲.

腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为

（）14.曲线在点P（0,f（0））处的切线I的方程为▲.

A815.在矩形ABCQ中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-ACQ,则四面

B.16体ABCO的外接球的体积为▲.

C.3216.已知函数“外满足/（力+或）=女/（了），"6）=1,则满足/（l）+/（2）+-+/（n）>

辂D.48

料

f（Df（2）…f5）的最大正整数n的值为▲.

【高三数学第1页（共4页）文科】【高三数学第2页（共4页）文科］•24-422C«

三、解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17〜21题为必考题,20.（本小题满分12分）

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.已知椭圆C：4+g=l（a>b>0）的长轴长是短轴长的3倍,且椭圆C经过点（1,零）.

（一）必考题:共60分.aOo

17.（本小题满分12分）（1）求椭圆C的方程.

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为且满足一星万=舟.（2）设A是椭圆C的右顶点,P,Q是椭圆C上不同的两点，直线AP,AQ的斜率分别为M,

slnC

2cos29品，且为也•.过A作AB_LPQ,垂足为B,试问是否存在定点M,使得线段BM的长

（1）求角A的大小；度为定值？若存在，求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

（2）若,,一方=痣萨，求AABC的面积.

21.（本小题满分12分）

已知函数/（x）=2a2Inx—~1-x2—ax（aGR）.

18.（本小题满分12分）（1）求函数/（%）的单调区间；

现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm⑵当£>0时,若函数g（%）=今+。和无（幻=2々2・乎的图像在（l,e）上有交点,求实数a

和184cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组［160,164），第2组［164,168）,…，第6沁

的取值范围.

组［180,184］如图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）试评估该校高三年级男生的平均身高；

（2）求这50名男生中身高在176cm以上（含176cm）的人数；

⑶从这50名男生身高在176cm以上（含176cm）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰

（二）选考题:共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题

有1人在180cm（含180cm）以上的概率.

目计分.

斓

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

已知曲线C的参数方程为为参数），直线2：。=。（。£［0,冗）邛£1<）与曲线口片

13=1+2sm0

C相交于M,N两点，以极点O为原点.轴的负半轴为极轴建立平面直角坐标系.

曜

（D求曲线C的极坐标方程；

19.（本小题满分12分）

⑵记线段MN的中点为Q；若IOQI41恒成立，求实数入的取值范围.

在等腰梯形ABCD中,BC〃AD,BC=•1AD=2,NA=60°,E,O,F分别为AD,BE,DE的

中点（如图1）,将AABE沿BE折起到AAiBE的位置，使得AQ_LBC（如图2）.

（1）证明:ECJ_平面AOF.23.［选修4一5：不等式选讲］（本小题满分10分）

（2）求B到平面AiED的距离.已知函数/（x）=|2x-4|+|x+4|的最小值是m.

（1）求rn;

⑵若正数a,b,c满足a+6+c=m,求证:石+/+笈&3虑\

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商洛市2024届高三第四次模拟检测故选:D.

7.C.【详解】由已知ON是AKMF"的中位线，可知心=2ON,过WN向准线做

数学试题(文科)参考答案及评分意见

垂线，垂足分别为M，M,同理则是-KM陷的中位线，MM、=2NN\,有抛物线定义

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.知.=陆,叫=7VF,因此，N点横坐标是该彳，所以M'=；,MF=3,故选：C.

123456789101112方法二：设点则田，由已知

ABCDCDCBDBCB

靖二4%

LA.【详解】根据复数的运算性质，可得=W=|吉/|1+，[=2.故选A.

-ry,Y^,-1,解得玉=2,所以MF=3,故选：C.

2.B.【详解】?-x-2=(x+l)(x-2)<0,解得TVxV2,所以。={x|TVxV2},所以

8.B.【详解】观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱锥的真正

产例={1,2}.故选：B

底面体现在正视图(梯形)中，所以“=[(4+2).4=12,而棱锥的高为侧视

3.C.【详解】“对任意的xeR,/-/+120”的否定是:存在xeR,x3-4*56x2+l<0

图的左右间距，即〃=4,所以％=；染.访=16答案：B

选C.

4.D.【详解】设数列的公差为"，则S4=(4-d)+4+(4+d)+(4+2d)=22,.•."=3,9.D【详解】对于/(x)=e，+eT,定义域为R,满足/(-*)=b+^=/(工),为偶函

5(5)

a3=a2+d=7,S5=0'^0=5a,=35.故选：D数.同理可得：g(%)=sinx为奇函数.

记〃(力=/(%)+(贝"〃(—%)=〃

5.C.【详解】8%)-2,r)+g(r)—2=/(%)—g(x)—2

2所以且力(t)w-力(x),所以/(%)+g(%)-2为非奇非偶函数；

由题意可得N/"=1或，可得/*=|,设此"，=0.64N。=(1)2VO,

...e，=(e-3*?=婕上,解得f=6同理可证：〃x)-g(x)+2为非奇非偶函数；〃x>g(x)和渭为奇函数.

因此，污染物消除至最初的64%还需要3小时.故选：C.由图可知，图像对应函数为奇函数，且.显然选项A,B对应的函数

6.D.【详解】•.♦石_L(B+3),:.a-^b+c)=a-b+a-c=0,都不是奇函数，故排除；

所以同Wcos(zB)+同4cos(瓦今=0,又小网W,<a,b>=60°,对C：>=/(%)・g(%)=(eX+e-[sin],为奇函数.

当％=1时，(，+]而1>卜+3%咛〉[〈卜ex^|炭>,故错误；

二百同同x；+同同cos(a,可=。，由"，b,e均为非零向量，

则cos@,=-当,且伍2在0。到180。之间，故色砂=150。,(\sinl

对D,>=制=老卜，为奇函数.当AI时，m故正确.故选：D.

10.B.【详解】对于①，因为两函数图像的对称轴相同，且两相邻对称轴之故选：B

间的距离等于周期的一半，所以两函数的周期也相同，二、填空题：本题共4小题.

因此至=万，解得。故①错误；125

=2,13.014.》=%15.,乃16.12

CO6

对于②，因为0=2,所以/(x)=sin(2x+f,当。咛时，13.0【详解】依题意冽«-2』，故事件/：%<加表示％句-2,间，故事件A概率为

m—(-2)2

—,:.m=0

g(x)=cos(2x+.=_sin(2x+小此时f(x)与g(x)的图像关于x轴对称，则1-(-2)3

14.答案：y=x【详解】f'(x)=(x+l)e\斜率为左=1,切线为

它们的对称轴相同，故②正确；

学乃【详解】因为的中点是球心，

15.答案：AC

对于③,令一工+2左乃«2%+工《工+2左乃(左£Z)得,-—+k7T<X<—+k7u[kE：Z),故0

26236

所以该球的半径*,所以外接球的体积为旨.

f(x)的单调递增区间为3+丘eZ),故③正确；

12【详解】•••/"扑⑸(x)”(x+l)=⑸(x+g)=2/(x),

16.答案：

对于④，/(X)的所有零点满足2'+?=左万,左ez,解得所有零点的集合为

O

所以数列｛/(〃)｝是公比为2的等比数列，

上一春+容匕]故④错误.

则有♦."(6)=1./〃)=2"6

11.C.【详解】由双曲线c定义，归周-C/=4，|P旦©2,.)/⑴+〃2)+…+/(")=白2"-1)

ln|P£|+ln|*|=ln(|M|M)=MP^(41P4=地尸邛+”闻，当且仅当归号=2取得最

n(n-ll)

/⑴/(2)…/⑺=2一"㈠…(/)=22

小值lnl2.故选：C

[n2-lln

12.B.【详解】由题意2>0,不等式即2介〃>Inx,进而转化为2设.>lnxe'ax所以所解不等式为：:(2"-1)>2""2"-1>2丁“

%(工)=泥”,贝射(%)=(%+1)洛当>00寸，或%)>0,所典■(%)在(o,+8)上单调递增

n2—11«+102-a-a.1f\

?.2>22----------------=〃2-13〃+10<0

贝怀等式等价于g(2Ax)2g(lnx)恒成立•因为4>0,%>1,所以2Ax>0,In%〉0,所以2

2Ax>Inx对任意%>1恒成立，即24>史卫恒成立可解得：0<〃<13+回

x2

飒)=%>1),可得=与"，当1«欣)>0,砥)单调递增

,：neN*”的最大值为12

当/>e,h'(t)<0,恤)单调递减所以f=e,砥)有最大值"(e)=-，于是2/>-，解得4>工.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必

ee2e

考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（3）由（2）50人中176cm以上的有6人，180cm以上的有2人.

（一）必考题：设6人为人为44,综180cm以上的有2人为人与,..........8分

17.答案：⑴T⑵苧任取2人的取法为

（4,4），（4,4），（4,4），（4，耳）,（4，&）

r：主解】⑴在AABC中，由正弦定理―：=一，得:.一'^>a=-^—-（4国）,（4也）

L件用牛」sin4sinC八AsinC（4,4）,（4,4），（4，EJ,（4,鸟）

2cos—（4闻,（4也）

2（&4），（4,4），（4也）恰有1人180cm以上的取法为

（4,4）,（4也）

（4再）,（4也）

所以，37=号？................2分（4出）,（4，4）

1+cosZsmZ（4也）

所以，V3sin^4=1+cosA,BP5/3sinA-cosA=\,即

所以所求概率为，P=^.............12分

=.............4分19.（1）证明见解析；（2）半.

又八（o㈤，所以""（吟R，所以“W，即

6V66y66【详解】（1）连接BD,。。，如图，

A=l.............6分如图1,在等腰梯形/腿中,BC//AD,BC=^AD=2,

4=60。，后为皿中点，.•・△/BE为等边三角形，•”

（2）绘ABC中,a=A—b=6：6,A=1

为庞的中点-.AO±BE）即4。_LEE,

由余弦定理得。2=/+C2-2Z）CCOSZ,即3=（c-6）2+加...............8分

如图2,•■-4O1BC,又BCCBE=B,BE,BCu平■面BCDE,

分

:.bc=\+-^~,.............10：4O_L平面BCDE,

所以刈48。=-bcsmA=28+3,又ECu平面BCDE,■■.AOIEC............2分

12分

28

VEDHBC,ED=BC,EB=BC,所以四边形EBCD为菱形，：.ECLBD,

18【详解】（1）由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为

■­-0,尸分别为庞、龙中点，

57X2）

162x一+164x一+170x一+174x一+178x—+182x

100100100100100OFHBD,.-.ECLOF,.............4分

.•.平均值为168.72,高于全市平均值168..............3分；4ono尸=0,4。,。尸u平面40尸，:EC_L平面4OF.......................5分

（2）由频率分布直方图知，后2组频率为（0.02+0.01）X4=0.12,人数为0.12⑵在AOED中，OE=1,DE=2,/OEO=120。，

X50=6,即这50名男生身高在176cm以上（含176cm）的人数为OD=Vl2+22-2xlx2cosl20°=y/l,.............7分

6..............6分40-LiPl]BCDE,OD^^^BCDE,:.AO1OD,

在Rt/\AOD中，4。=^AO2+OD2=J（后+（V7）2=Vio,所以必+，2;^^，

XX8分

S2MED=；X而X*_（乎y=乎................9分

又因为印2=；,所以居.广T；，整理得3yM=（』-3心「3）,

・•・Afl1平面BCDE,4至U平面BCDE的距离为40二百,即3yM=（町+”3）（刃％+”3）,

x

设B到平面AED的距禺为d,由—B-AIED='A「BED可得5sxd=gS.D6，化简得（病-3）乂%+加（〃-3）（必+%）+（〃-3）2=0.

所以（苏-3）（/-9）_2/：（"3）、0,

—=—x—x2x2sin120xV5,....................11分

3232

."=孚..•.点8到平面4E。的距离为半................12分化简得3-36=0,解得〃=6,即直线PQ恒过点N（6,0）...................10分

因为3P0,所以点B在以线段3为直径的圆上，取线段3的中点〃与0）,

20.【详解】（1）因为椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，所以a=3b,

则椭圆C的方程为1+/=1.则I"叫何=|,所以存在定点〃（|,。］,使得线段期的长度为定值.…12分

又椭圆C经过点卜半j,所以豪+奈=1，21.【详解】（I）函数/（X）的定义域为（0,+8）,

ax+2a2

解得6=1,"3,所以椭圆C的方程为方+「=1...................4分

则令/'(x)=0,得x=a,x=-2a

(1)当a=o时，rw<o............................3分

(2)当a>0时，

（0,4）®+00)

设尸（再M,。（%2,%）,若直线尸。斜率为0,不妨设尸。:丁=力（*0,-1<"1）,Xa

此时玉，马是方程=1的两根，所以芭+/=。，再%2=9（/-1）,但/"（%）+0一

/（£）/极小值\

桃L抬,乔=平「3（；+工”9=9（产二）-0+9=Js'，不满足题意；.......6分

............................4分

若直线P。斜率不为0,直线PQ的方程为'=啊+",且"3,（3）当。<0时，

x=my+n(0,-2a)(-2«,+oo)

联立方程组*,,,消去x得（毋+9行+2吵V+"2-9=0,X—2a

---Hy=1

，(x)+0一

由A〉0,得加2-刃2+9>0,

/极小值所求方程为(%T)2+(yT>=22....................2分

............................5.(x=pcosOc

分p-2pcos6-2Psin6=2

[y=psinU

综上当〃=0时，/(%)在(0,+00)上递减;当。>0时，/(%)在(0,。)上递增，/(x)

二曲线。的极坐标方程为炉-20cos/-....................4分

在(生+8)上递减;当。<0时，/(x)在(。,-2。)上递增,/(%)在(-2a,+8)上递减

(2)联立6=a和22—2夕cosg_2PsinJ—2=0,得夕之一2p(cosa+sina)—2=0,....6分

..........6分

(II)函数g(x)=]+a和