中考数学试题分类菱形考点总结

中考数学试题分类汇编：考点26菱形

一.选择题（共4小题）

1.（2018•十堰）菱形不具备的性质是（）

A.四条边都相等B.对角线一定相等

C.是轴对称图形D.是中心对称图形

【分析】根据菱形的性质即可判断；

【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂

直不一定相等，

故选：B.

2.（2018•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BD=8,

【分析】根据菱形的性质得出ACLBD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角

形求出A0,根据勾股定理求出AB即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是菱形，

.\AC±BD,AO=CO,OB=OD,

/.ZAOB=90°,

VBD=8,

/.0B=4,

•.•tanNABD春籍,

.\A0=3,

在RtAAOB中，由勾股定理得：AB=^^Q24，Qg2=^32+42=5,

故选：C.

3.（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这

个菱形的周长是（）

【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相

等即可得出周长.

【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=*C=3,BO=^BD=4,且AOLBO,

则AB=7AO2+BO2=5>

故这个菱形的周长L=4AB=20.

故选：A.

4.（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF〃CB,交AB于点

F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解.

【解答】解：是AC中点，

VEF//BC,交AB于点F,

；.EF是4ABC的中位线，

/.EF=—BC,

2

BC=6,

，菱形ABCD的周长是4X6=24.

故选：A.

二.填空题（共6小题）

5.（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6,点E在

对角线BD上且tanNEAC==,则BE的长为3或5.

【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可.

【解答】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：

♦菱形ABCD中，边长为5,对角线AC长为6,

.\ACXBD,BO=7AB2-A02=752-32=

+_10E0E

tanN/CEAAC=—=——=-r-

30A3

解得：OE=1,

/.BE=BO-OE=4-1=3,

当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：

•.♦菱形ABCD中，边长为5,对角线AC长为6,

AACXBD,BO=7AB2-A02=V52-32=4-

+1OEOE

tanZ/CEACr=—

3OA3

解得：OE=1,

/.BE=BO-OE=4+1=5,

故答案为：3或5；

6.（2018•湖州）如图，已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tanN

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AUBD,OA=|AC=3,BD=20B.再

解Rt^OAB,根据tanNBAC=*=；,求出OB=1,那么BD=2.

UA3

【解答】解：•.•四边形ABCD是菱形，AC=6,

.\AC±BD,OA=%C=3,BD=2OB.

在RtAOAB中，NAOD=90°,

•+/DA「_OB_1

・・tanNBAC=,

OA3

.\OB=1,

ABD=2.

故答案为2.

7.（2018•宁波）如图，在菱形ABCD中,AB=2,NB是锐角，AELBC于点E,

M是AB的中点，连结

MD,ME.若NEMD=90。，则cosB的值为

BE

【分析】延长DM交CB的延长线于点H.首先证明DE=EH,设利用勾股

定理构建方程求出x即可解决问题.

【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H.

•四边形ABCD是菱形，

.AB=BC=AD=2,AD/7CH,

.NADM=NH,

，AM=BM,ZAMD=ZHMB,

.AD=HB=2,

*EM±DH,

.EH=ED,设BE=x,

•AE±BC,

.AE±AD,

.ZAEB=ZEAD=90°

'AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,

.22-x2=(2+x)2-22,

1或-«-1（舍弃）,

,8SB型=旦，

AB2

故答案为咛L

8.（2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（3,0）,（-

2,0）,点D在y轴上，则点C的坐标是（-5,4）.

Vj

Xk

【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标.

【解答】解：•••菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（3,0）,（-2,0）,

点D在y轴上，

；.AB=5,

，AD=5,

...由勾股定理知：二7二4,

•••点C的坐标是：（-5,4）.

9.（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2,点

A在第一象限，点C在x轴正半轴上，NAOC=60。，若将菱形OABC绕点。顺时

针旋转75°,得到四边形0ABU,则点B的对应点B，的坐标为（灰,-加）.

【分析】作B，H，x轴于H点，连结OB,OBS根据菱形的性质得到NAOB=30。,

再根据旋转的性质得/BOB，=75。，OB，=OB=2j5,贝1」/人。8，=/8。8'-/人。8=45。,

所以AOBH为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B，H=退,

然后根据第四象限内点的坐标特征写出B，点的坐标.

【解答】解：作B，H，x轴于H点，连结OB,0B\如图，

：四边形OABC为菱形，

:.ZAOC=180--ZC=60",OB平分NAOC,

/.ZAOB=30°,

•••菱形OABC绕原点0顺时针旋转75。至第四象限OAEC的位置,

ZBOB，=75。，OB，=OB=2后

NAOB'=NBOB'-ZAOB=45°,

/.△OBH为等腰直角三角形，

/.OH=B,H=^OB,=V6>

...点B，的坐标为（加，-A/6）.

故答案为：（-.

10.（2018•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件AB=BC或

ACLBD使平行四边形ABCD是菱形.

【分析】根据菱形的判定方法即可判断.

【解答】解：当AB=BC或ACLBD时，四边形ABCD是菱形.

故答案为AB=BC或ACXBD.

三.解答题（共10小题）

11.（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点0,且

AB=2.

（1）求菱形ABCD的周长;

(2)若AC=2,求BD的长.

【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；

（2）利用勾股定理可求出B0的长，进而解答即可.

【解答】解：（1）：四边形ABCD是菱形，AB=2,

・•.菱形ABCD的周长=2X4=8；

（2）,四边形ABCD是菱形，AC=2,AB=2

Z.ACXBD,AO=1,

二B0=VAB2-AO2=V22-1

BD=2V3

12.（2018•遂宁）如图，在口ABCD中，E,F分别是AD,BC上的点，且DE=BF,

AC±EF.求证：四边形AECF是菱形.

【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明;

【解答】证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

.*.AD=BC,AD〃BC,

VDE=BF,

.♦.AE=CF,VAE/7CF,

四边形AECF是平行四边形，

VACXEF,

・••四边形AECF是菱形.

13.(2018•郴州)如图，在口ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为

O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证：四边形BFDE是菱形.

BF\C

【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOEZA

BOF,得到OE=OF,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD

是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE

为菱形.

【解答】证明：•在口ABCD中，。为对角线BD的中点，

.\BO=DO,ZEDB=ZFBO,

在aEOD^HAFOB中，

fZEDO=ZFBO

(OD=OB，

LZEOD=ZFOB

.♦.△DOE2△BOF(ASA)；

.\OE=OF,

又：OB=OD,

四边形EBFD是平行四边形，

VEFXBD,

...四边形BFDE为菱形.

14.(2018•南京)如图，在四边形ABCD中，BC=CD,ZC=2ZBAD.0是四边

形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：

(1)ZBOD=ZC；

(2)四边形OBCD是菱形.

BD

C

【分析】（1）延长AO到E,利用等边对等角和角之间关系解答即可；

（2）连接OC,根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可.

延长OA到E,

VOA=OB,

/.ZABO=ZBAO,

又NBOE=NABO+NBAO,

/.ZBOE=2ZBAO,

同理NDOE=2NDAO,

/.ZBOE+ZDOE=2ZBAO+2ZDAO=2(NBAO+NDAO)

IPZBOD=2ZBAD,

又NC=2NBAD,

AZBOD=ZC；

(2)连接OC,

VOB=OD,CB=CD,OC=OC,

AAOBC^AODC,

AZBOC=ZDOC,ZBCO=ZDCO,

ZBOD=ZBOC+ZDOC,ZBCD=ZBCO+ZDCO,

NBOC=*BOD,ZBCO=-1-ZBCD,

又NBOD=NBCD,

/.ZBOC=ZBCO,

，BO=BC,

又OB=OD,BC=CD,

.*.OB=BC=CD=DO,

・••四边形OBCD是菱形.

15.(2018•呼和浩特)如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD,

AB〃DE,且AB=DE.

(1)求证：△ABC^^DEF；

(2)若EF=3,DE=4,ZDEF=90",请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长

度.

【分析】(1)根据SAS即可证明.

(2)解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题;

【解答】(1)证明：VAB//DE,

AZA=ZD,

VAF=CD,

，AF+FC=CD+FC,

即AC=DF,

VAB=DE,

AAABC^ADEF.

(2)如图，连接AB交AD于0.

在Rt^EFD中，VZDEF=90°,EF=3,DE=4,

DF={32+4J5,

•.•四边形EFBC是菱形,

DE・EF=12

ABEXCF,'AE0=

5"

OF=OC=GEF2_E0，，

.,©=玲

5

/.AF=CD=DF-FC=5--.

55

16.（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E,F分别是AB,

BC上的点，AE=CF,并且NAED=NCFD.

求证：（1）AAED^ACFD；

（2）四边形ABCD是菱形.

【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论;

（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

/.ZA=ZC.

在^AED与4CFD中，

'/A=NC

,AE=CF

LZAED=ZCFD

/.△AED^ACFD（ASA）；

(2)由(1)矢口，△AED/ZICFD,则AD=CD.

又•••四边形ABCD是平行四边形，

•••四边形ABCD是菱形.

17.(2018•泰安)如图，AABC中，D是AB上一点，DELAC于点E,F是AD

的中点，FGLBC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分NCAB,连接GE,

CD.

(1)求证：4ECG咨AGHD；

(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.

(3)若NB=30。，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.

【分析】(1)依据条件得出NC=NDHG=90。，ZCGE=ZGED,依据F是AD的中

点，FG〃AE,即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD,ZCGE=

ZGDE,利用AAS即可判定4ECG之△GHD；

(2)过点G作GPLAB于P,判定4CAG咨Z\PAG,可得AC=AP,由(1)可得

EG=DG,即可得到RtAECG^RtAGPD,依据EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

(3)依据NB=30°,可得NADE=30°,进而得到AE=”AD,故AE=AF=FG,再根据

四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形.

【解答】解：(1)VAF=FG,

AZFAG=ZFGA,

VAG平分NCAB,

AZCAG=ZFGA,

NCAG=NFGA,

，AC〃FG,

VDEXAC,

FG±DE,

VFG±BC,

：.DE//BC,

.\AC±BC,

AZC=ZDHG=90",ZCGE=ZGED,

IF是AD的中点,FG〃AE,

••.H是ED的中点，

/.FG是线段ED的垂直平分线，

，GE=GD,ZGDE=ZGED,

AZCGE=ZGDE,

AAECG^AGHD；

(2)证明：过点G作GPLAB于P,

/.GC=GP,而AG=AG,

/.△CAG^APAG,

.•.AC=AP,

由(1)可得EG=DG,

/.RtAECG^RtAGPD,

/.EC=PD,

.*.AD=AP+PD=AC+EC；

(3)四边形AEGF是菱形，

证明：VZB=30°,

AZADE=30°,

.•.AE==AD,

2

，AE=AF=FG,

由(1)得AE〃FG,

...四边形AECF是平行四边形，

・••四边形AEGF是菱形.

18.（2018•广西）如图，在口ABCD中，AE±BC,AF±CD,垂足分别为E,F,且

BE=DF.

（1）求证：口ABCD是菱形；

（2）若AB=5,AC=6,求口ABCD的面积.

BEC

【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；

（2）连接BD交AC于O,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；

【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

AZB=ZD,

VAEXBC,AF±CD,

/.ZAEB=ZAFD=90°,

VBE=DF,

/.△AEB^AAFD

，AB=AD,

・••四边形ABCD是平行四边形.

（2）连接BD交AC于O.

,四边形ABCD是菱形，AC=6,

.\AC±BD,

AO=OC=&AC=/X6=3,

VAB=5,AO=3,

•••BO^AB^AO^VB^S^4'

，BD=2BO=8,

19.（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA,点F是AB的中点,

连接DF并延长，交CB的延长线于点E,连接AE.

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）若DC=Ji$tanZDCB=3,求菱形AEBD的面积.

【分析】（1）由4AFD之△B