青海省2024届高三年级上册协作联考数学（理科）试题（含答案解析）

青海省2024届高三上学期协作联考数学(理科)试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设复数Z=/r，贝5=()

4-1

4i14i

A.-----------B.-----------

17171717

CD----

・1515•1515

x+4

2.,B=x<0>，则AB=()

x-5

A.(3,5)B.(-3,4)C.(-3,0)D.(-3,5)

3.在，ABC中，角43所对的边分别为〃也若石加1山1=2$1113,则〃二()

A.—B.好C.—D.

5255

4.已知函数/")=x+2的图象在x=2处的切线与直线/：4x+5y+l=。垂直，贝|"=(

A.-1B.1C.-2D.2

5.下列区间中，函数/(x)=3sin[x+"单调递增的区间是()

6.已知函数/'(x)+l为定义在R上的奇函数,命题p:3Ao，F(%o)=T,命题4：VwteR,

〃")+〃一㈤=一2,则下歹!!命题中为真命题的是()

A.P八qB.(可)人4

C.p/\(F)D.

7.古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.

黄金分割率的值也可以用2sinl8表示，即避二l=2sinl8,设。为正五边形的一个内角，

2

-——=()

sin36

A.@±1布一1Q非+]口非一、

24•4•2

8.用2个0,2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有()

A.8个B.12个C.18个D.24个

9.某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆

柱的侧面积的最大值为（）

A.2兀B.C.2A/37tD.4兀

10.已知贵州某果园中刺梨单果的质量M（单位：g）服从正态分布N（30,b2）,且

P（M<28）=0.2f若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g〜32g的单

果的个数的期望为（）

A.20B.60C.40D.80

11.已知。（3,3）,"为抛物线。］：、2=8%上一动点，N是圆。2：一+/—4%+3=0上一

点,贝的最小值是（）

A.5B.4C.3D.2

12.已知函数/(%)=|log2|x||,XG(-1,0)1（0,4］,若关于x的方程〃力=］有3个实数

1611

解/“，且％<%<三则五一蒜一高的最小值是（)

A.8B.11C.13D.16

二、填空题

22

13.已知双曲线C?-}=1（“>。，。>。）的一条渐近线方程为底+了=。，左焦点为

F（-730,0）,则C的实轴长为.

x-y-l>0

14.若实数％y满足约束条件<3x+y-2Z0,贝|z=x-3y的最小值是.

x<5

15.如图，直径45=10的半圆，。为圆心，点C在半圆弧上，sin/A£>C=Q8,P为a?

的中点，相与3C相交于点E,贝Ijcos/PEC=.

16.在正四棱台ABCQ-A4G。中，AB=2A4=4g，M=回，点P在底面ABCD内,

试卷第2页，共4页

且4尸=4,则P的轨迹长度是.

三、解答题

17.从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量(单位：g)都在区间

[90,10]内,将这200个脐橙的质量数据分成[90,95),[95,100),[100,105),[105,110]这4

(1)试问这200个脐橙中质量不低于100g的个数是多少？

(2)若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数.

18.已知数列｛%｝满足q+?+§+.+-^-=n2.

352n—1

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵设bn=-%)27，求数列出｝的前〃项和黑.

19.如图，在三棱柱ASC-A此Ci中，相，平面ABC,ASC是等边三角形，且。为

棱A3的中点.

⑴证明：A3,平面CC。；

(2)若2AA=3AB,求平面4CD与平面ABG所成锐二面角的余弦值.

22

20.已知椭圆C:?+A=l(〃〉"0)的上、下顶点分别是A5,点尸(异于A1两点)

ab

4

在椭圆C上，直线以与PB的斜率之积为-1,椭圆C的长轴长为6.

(1)求C的标准方程;

⑵已知7（0,1）,直线PT与椭圆C的另一个交点为Q,且直线AP与8Q相交于点。，证

明：点O在定直线上.

21.已知函数/（x）=eX+cosx-；尤3-x.

⑴当X«3,+8）时,证明:/（%）＜/（%）.

⑵试问x=0是否为/（X）的极值点?说明你的理由.

22.在直角坐标系xOy中，直线4的参数方程为[=今_1。为参数），直线4的参数方

1

尤=-s

2

程为（S为参数）.

V3

y=——s

[-2

（1）求这两条直线的普通方程（结果用直线的一般式方程表示）；

⑵若这两条直线与圆C：（无-3）2+（丫-4）2=疗都相离，求加的取值范围.

23.已知函数〃x）=|x—a|+|x+b|,其中“力为常数.

⑴求〃元）的最小值；

⑵若“＞0,6=0,求不等式〃x）＜2a的解集.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据复数的除法运算求解出Z,然后可得共轨复数)

i（4+i）

【详解】因为"士-l-+--4i=--1-1-4-i

（4-i）（4+i）171717

-14i

所以z=-------

1717

故选：B.

2.D

【分析】先求解出一元一次不等式、分式不等式的解集为AB,然后根据交集运算求解出结

果.

【详解】因为x+3>0,所以x>-3,所以A=(—3,y),

因为乜<0,所以(x+4)(x—5)<。，所以3=(T,5),

X-J

所以AB=(-3,5),

故选：D.

3.A

【分析】根据正弦定理，即可求解.

【详解】根据正弦定理可知，sinA=IsinB-——

2R

贝|］其上=2上,得

2R2R5

故选：A

4.A

【分析】先求解出了'(2),然后根据垂直关系列出关于。的方程，由此可求。的值.

【详解】因为:(x)=l-号(户0),所以解(2)=1-%

又因为切线与/垂直，

所以=,所以q=_i,

故选：A.

5.C

【分析】首先求函数的单调递增区间，再根据选项判断.

答案第1页，共14页

[i^Wl<x+—<2far+—,keZ,得2fal———<x<2kji+—,左eZ,

24244

当％=0时，增区间是-397r5Jr,当％=1时，增区间是一57r,?OTT，

L44J144」

其中只有洋是增区间的子集.

故选：C

6.A

【分析】令g(x)=〃x)+l,然后根据g(0)以及8(-")=-8(m)可判断出命题。，4的真假,

由此可判断出复合命题的真假.

【详解】令g(x)=〃x)+l,所以g(x)为定义在R上的奇函数,

所以g(0)=〃0)+i=0,所以〃0)=-1,所以P为真命题，

又因为VmeR,g(-m)=-g(m),即/(一间=+,即/(m)+〃一加)=-2,所

以4为真命题，

所以。人〃为真命题，

故选：A.

7.A

【分析】先计算出。，然后利用诱导公式以及二倍角的余弦公式求解出结果.

■、辛立刀«r-j-.y,(5—2)x180o

【详解】因为6=^---1------=108，

5

所以*=回竺=$皿180；72。)=电卫=2336=2(1-2siri8)

sin36sin36sin36sin36''

故选：A.

8.C

【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可.

A4

【详解】当首位为2时，这样的五位数有•7yfT=6个；

当首位为1时，这样的五位数有冬=12个.

综上，这样的五位数共有6+12=18个.

答案第2页，共14页

故选：c.

9.C

【分析】由题意作图，根据圆锥与圆柱的几何性质，可得到答案.

【详解】由题意作图如下：

由题设可知该圆锥的高1Poi=%=20.设在该圆锥中内接一个高为的圆柱，

该圆柱的底面半径为位=乙由VPDC:VB4B,贝=点，即三=会『，所以

11AB\PO\426

r=2------x，

3

故该圆柱的侧面积S=2?rrx=2无2——xx=2n——x~+2x,

<J\?

当工=/时，侧面积S取得最大值267r.

故选：C.

10.B

【分析】由正态分布对称性及已知得P(28<M<32)=0.6,又质量在28g~32g的单果的个

数乂~8(100,0.6),应用二项分布的期望公式求期望.

【详解】因为M(单位g)服从正态分布N(30,4),且尸(“<28)=02,

所以尸(28<M<32)=2x(0.5—0.2)=0.6,

若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，

则质量在28g~32g的单果的个数X~5(100,0.6),

所以颜X)=100x0.6=60.

故选：B

11.B

【分析】将转化为|改以-「，再根据抛物线的定义考虑M，T，Q三点共线时的情况，由

答案第3页，共14页

此求解出的最小值.

【详解】C：V=8x的焦点为（2,0）,准线为x=-2,

G:/+;/—4x+3=0即为C2：（x-2y+y2=l,

所以圆心为C2（2,0）即为C1焦点，半径r=1,显然。（3,3）在抛物线内部,

过点M作准线，交准线于T点，记点如下图所示：

所以\MQ\+\MN\>|M<2|+|MC2|-r=\MQ\+\MT\-1,

当且仅当MQ，T三点共线时取最小值，止匕时|颜+悭时=|0刀-1=3+2—1=4,

所以的最小值为4,

故选：B.

12.C

【分析】作出〃x）的大致图象，结合图象，得到玉%当=再，化简得到

1611.?16/、,16z、

7--------；一=1+X3+—,设g（无）=1+尤-+—（1<》44）,利用导数求得函数的单调性和

•^3B^3

最小值，即可求解.

【详解】由函数/（力=题2同，%€（-1,0）"（0,4],作出函数的大致图象，如图所示，

由图可知W«1,4"七=1,玉=-々，则王Z工3=玉，

因为1+]=%+%=%+电=x2+x3=_1_^3_=_1_x2

Jx{x3XxX2x1x2x3再x2x2

16111216

所以-------------=l+%3+—,

设函数g（x）=l+Y+电（1〈尤44）,则8，（耳“_1*3；16,

%XX

答案第4页，共14页

当1<%<2时，g'(x)<0；当2V%K4时，g'(x)>0,

,\1611

所以g(x)min=g(2)=l+4+8=13,即-------------的最小值是13.

13.2出

【分析】根据渐近线方程以及焦点坐标列出关于。，4c的方程组，由此求解出”的值，则实

轴长可知.

【详解】因为一条渐近线方程为瓜+y=0,即丫=-6^,

所以2=行，

a

又因为左焦点为尸卜病,0),

C=A/30

所以？=若，解得a=&,所以实轴长为2a=26，

a

c2=a2+b2

故答案为：2君.

14.-7

【分析】首先画出可行域，再根据目标函数表示的几何意义，即可求解.

【详解】如图，画出约束条件表示的可行域，

答案第5页，共14页

当目标函数平移至点A,目标函数取得最小值，

联立二，得x=5,y=4,即A（5,4）,

所以目标函数的最大值2.=5-3乂4=-7.

故答案为：-7

15.一叵

10

【分析】连接AC。尸，根据条件先求解出sin/C4P的值，然后再根据圆的几何性质结合诱

导公式以及二倍角公式得到cos/PEC与sinZCAP的等量关系，由此可求结果.

【详解】连接ACOP,如下图所示：

因为尸为A8的中点，所以NADP=90°,

所以smZADC=sin（90°一ZCDP）=cosACDP=0.8,

又因为NCAP=g/COP,

所以cosNCDP=cos2ZCAP=l-2sin2ZCAP=0.8,

所以sinNC4尸=（负值舍去），

10

答案第6页，共14页

因为A5为直径，所以NACB=90°,

所以cosNPEC=cos(ZACE+ZCAE)=cos(90+ZCAE^=-sinZCAE=-sinZCAP=，

故答案为：-巫.

10

［久5A/3TI

10.-------

3

【分析】过点A作AQLAC交AC于。点，根据已知线段长度和位置关系求解出AQ,然

后确定出P的轨迹为MN，再通过扇形的弧长公式求解出轨迹长度.

【详解】连接AC8D=o,4cr瓦2=q,连接。。一过点A作A。，AC交AC于。点,

因为AB=2A4=4g,所以AC=2AG=0x46=4

所以=",所以AQ=屈三方=2，

因为几何体为正四棱台，所以。。，平面

所以OQ^AC,

又因为a。J_AC,AQu平面ACCM，OQu平面ACGA，

所以AQ//。。，所以A。，平面ABCD,

又因为4P=JPQ2+4Q2=4,所以尸。=26,

以。为圆心，2—为半径画圆，如下图，MN即为p的轨迹,

过。作QE，A£>,Q尸，A8,分别交A£>,A8于E,F,

答案第7页，共14页

因为QE=QF=AQsin：=6,

4

所以cosZMQE=cosZNQF=景=-,

71

所以NMQE=NNQF=g,

所以/MQN=2兀一二一2x^=至，

236

所以MV的长度为2通*k=半，

故答案为：也.

3

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的轨迹问题，对于空间想象能力和计算能力要求

较高，难度较大.解答问题的关键是求解出PQ的长度从而确定出P的轨迹形状，借助扇形的

弧长公式完成相关计算.

17.(1)110

(2)100.75g

【分析】(1)先求得频率，进而求得正确答案.

(2)根据平均数的求法求得正确答案.

【详解】(1)不低于100g的频率为(0.07+0.04)x5=0.55,

所以这200个脐橙中质量不低于100g的个数是200x0.55=110.

(2)平均数为92.5x0.1+97.5x0.35+102.5x0.35+107.5x0.2=100.75g.

18.(l)a„=(2«-l)2

(2电=(〃—1)-2川+2

【分析】(1)利用数列,J、1的前〃项和，即可求数列｛为｝的通项公式；

(2)首先根据(1)的结果求数列｛2｝的通项公式，再利用错位相减法求和.

【详解】(1)当77=1时，4=1,

由已知，q+§+粤++-=岛①

352n—l

答案第8页，共14页

2

当“22,4+生+包++J^=（„-1）,②

352n-3'7

①-②，得二九2一（几_1）2二2九一1,

2〃一1

得见=,

当”=1时，«[=I2=1,成立，

2

综上可知，an=（2n-l）；

-2

（2）由（1）可知，an+1-an=（2M+1）-（2n-l）=8n,

则2=8小2"-3=小2",

23

Sn=1X2+2X2+3X2+……+nx2",

23

2Sn=1X2+2X2+……+-I）x2"+"x2'"i,

两式相减得-E,=2+22+23+……+2"-nx2n+1,

+1

即一5="（I2）_nx2"+i=（1一〃）.2"-2’

"1-2''

所以邑=（，L1）-2向+2

19.（1）证明见解析

Q）叵

20

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】（1）证明：由三棱柱的性质可知CG〃叫.

因为四，平面ABC,所以CG，平面ABC.

因为ABu平面ABC,所以CG_LAB.

因为。为48的中点，且"C是等边三角形，所以CDLAB.

因为CRCGu平面CCQ,且CCjCD=C,

所以AB人平面CCQ.

答案第9页，共14页

(2)解：取A4的中点2,连接OR.由题意可得。民。c,r>2两两垂直，故以。为坐标

原点，

DB,DC,DDX的方向分别为％%z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

故AB=（2,0,0）,AG=（l,6,3）,r>A=（T，0,3）,OC=（0,®0）.

设平面ACD的法向量为〃=(%,%,4),

n•DAX=一玉+3Z]=0

令再=3,得〃=（3,0,1）.

n-DC==0,

设平面A8C1的法向量为m=(%,%，Z2),

m-AB=2X=0,

则<2令％=g，得加

m-ACX=x2+6y2+3Z2=0,

设平面\CD与平面ABC,所成的锐二面角为巴

则c°se=H〃，叶辐

即平面A.CD与平面ABC,所成锐二面角的余弦值为画.

20

20.⑴工+匚1

94

(2)证明见解析

【分析】(1)设尸(石,乂)，根据斜率之积和点尸在椭圆上整理可得；

(2)设直线PT的方程为了=履+1,联立椭圆方程消去y,利用P,。坐标表示出直线序与

尸8的方程，求解出点。的坐标，然后用韦达定理化简即可得证.

答案第10页，共14页

【详解】（1）由题意可得A（。⑼,3（0,-9，设尸（冷凶）,

则所以“.

因为点P在椭圆C上，所以/+普=1,所以玉2=（〃；；）",

〃24

贝!）%出/=_-2=~Q.

a9

因为2a=6,所以"=96=4,

22

故椭圆C的标准方程为上+匕=1.

94

（2）设。（吃,显然直线PT不垂直于x轴，

设直线PT的方程为y="+L

y=kx+l,

由尤2>2_消去y得（4+9/）d+18入一27=0.

194

因为点（0,1）在椭圆C的内部，所以△>0,司+々=-岩］,玉毛=--0

yK十今,zrt十4

V—2.y+2

设直线”的方程为y=2—X+2,直线5。的方程为y=29—X-2,

%X2

所以％+2=半±餐（%-2）.

y,-2y,+24%(%+2)9(%+2)(%+2)「9

由(1)知2---=可得》2。

士玉9&-2)4XyX24

222

(例+3)([+3)_9kxlx2+3k(xl+x2)+9_9-27^-54^+9(%+4)_

玉/4x1x24-27

因此％=4,即点。在直线y=4上.

【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的处理思路：联立方程消元，利用韦达定理表示出已知

答案第11页，共14页

和所求，然后化简整理即可.

21.(1)证明见解析

(2)不是，理由见解析

【分析】(1)结合分析法，将问题转化成证明后sin[x+：J<gx3-l+x-i,构造函数

加(无)=；/-f+x-l(x23),利用导数与函数单调性间的关系，求出见工)的最小值，即可

证明结果；

(2)对f(x)求导，得到8(了)=6':-《^-2彳，再利用导数与函数单调性间的关系，得出尸(力

在(-8,0)上单调递增，在(。,％)上单调递减，又因为/'(。)=0,再利用极值点的定义即可

求出结果.

【详解】(1)//(x)=e"-sinx-x2-l,要证〃耳<广(力，

只需证e*+cosx-gx3-x<e*-sinx-x2-1,即证0sin[x+：J<-x?+x-l,

令加(无)=:/一%2+尤一1(%23),贝!]=(x-lj20,

则m(x)在[3,+co)上单调递增，所以加(x)2根⑶=2>020sin[x+：],

所以当xw[3,+co)时，J^sin[x+—<—x3—x2+x—1,

从而当xe[3,+a>)时，〃x)</'(x)得证.

(2)因为/'(x)=e'-sinx-x2-l,所以/'(x)的导数为g(x)=e*-cosx-2x,故

g'(x)=e%+sinx-2,

当xWO时，e"<1,当且仅当x=0时取等号，又sinxWl,当x=0时，sin%=0,所以g'(x)<。，

当x>0时，令Mx)=e"+sinx—2,则〃(x)=e，+cosx,因为龙>0时，ex>1,所以〃(九)>。,

所以h^x)在(0,+8)上单调递增，

X/i(0)=-l,/z(l)=e-2+sinl>0,所以我«0,1),使网通)=0,

所以当尤£(0,犬0)时,A(x)<0,当%£(%+8)时，/i(x)>0,

所以当工£(-8,%)时，g'(x)<0,即g(x)在区间(-8,%)上单调递减；当X£(%,+8)时，

答案第12页，共14页

g'(x)>0,即g(x)在区间(%,+oo)上单调递增,

又g(0)=0,所以当xe(Yo,0)时,