浙教版数学九年级下册全册教学设计

浙教版数学九年级下册完整版全册教案教学设计

第1章解直角三角形

1.1锐角三角函数(1)

教学目标

1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2.掌握三角函数定义式：sinA=乙噌目边乙4的邻边

cosA=NA的对边

斜边斜边tanA=

NA的邻边

重点和难点

重点：三角函数定义的理解。

难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。

教学过程

一、情境导入

如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1,2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶？如果

AB和A'B'相等而Na和NB大小不同，那么它们的高度AC和A，C'相等吗？AB,AC,

BC与/a,A'B，,A'C',B/C与/B之间有什么关系呢？

二、新课教学

1、合作探究

(1)作RtzXABC

2、三角函数的定义：在Rt^ABC中，如果锐角A确定，那么/A的对边与斜边的比、邻边

与斜边的比也随之确定.

NA的对边与邻边的比叫做NA的正弦(sine),记作sinA,即sinA=乙Y勺.边

斜边

ZA的邻边与斜边的比叫做NA的余弦(cosine),记作cosA,即cosA=4噌洋边

斜边

ZA的对边

NA的对边与NA的邻边的比叫做NA的正切(tangent),记作tanA,即tanA=

ZA的邻边

锐角A的正弦、余弦和正切统称NA的三角函数.

注意：sinA,cosA,tanA都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中A前面的

一般省略不写。

师：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？

师：（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边.

生：独立思考，尝试回答，交流结果.

明确：0<sinA<l,0<cosA<l.

巩固练习：课本第6页课内练习第1题、作业题第1、2题

3、例题教学：课本第5页中例1.

例1如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,求NA,/B的正弦，余弦和正切.

分析：由勾股定理求出AC的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系

求出各函数值。

师：观察以上计算结果，你发现了什么？

明确：sinA=cosB,cosA=sinB,tanA,tanB=l

4、课堂练习：课本第6页课内练习第2、3题，作业题第3、4、5、6题

三、课堂小结：谈谈今天的收获

1、内容总结

（1）在RtAABC中，设/C=90°,/a为RtAABC的一个锐角，贝！|

Na的对边Na的邻边

Za的正弦sina=Za的余弦cosa=

斜边斜边

Na的对边

Za的正切tana=

Na的邻边

（2）一般地，在RtZkABC中，当/C=90°时，sinA=cosB,cosA=sinB,tanA,tanB=l

2、方法归纳

在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解

1.1锐角三角函数（2）

教学目标

（一）教学知识点

1.经历探索30°、45。、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体

会三角函数的意义.

2.能够进行30°、45。、60°角的三角函数值的计算.

3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.

（二）思维训练要求

1.经历探索30°、45。、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.

2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

（三）情感与价值观要求

1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.

2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

教学重点

1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.比较锐角三角函数值的大小.

教学难点

进一步体会三角函数的意义.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［问题］为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60。两个锐角的

三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.

（用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法）

［生］我们组设计的方案如下：

让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰

好和斜边重合且过树梢C点，30。的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长

度，因为DE=AB,所以只需在Rt^ACD中求出CD的长度即可.

［师］在RtZkACD中，ZCAD=30°,AD=BE,BE是已知的，设BE=a米，则AD=a米，

如何求CD呢？

［生］含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一

半，即AC=2CD,根据勾股定理，（2CD）2=CD2+a2.

解得CD=­V3a.则树的高度即可求出.

3

［师］我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、

CDCD

余弦值也随之确定，如果能求出30。的正切值，在上图中，tan300=—=——，则CD=

ADa

atan30°,岂不简单.

你能求出30°角的三个三角函数值吗？

II.讲授新课

L探索30°、45°、60°角的三角函数值.

［师］观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？

［生］一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.

［师］sin30。等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流.

［生］sin30°=—.

2

sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们

不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的

一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30。角的邻边为a,所以sin300=

a_1

2a~2'

［师］cos30°等于多少？tan30°呢？

［师］我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角一一45°、60°,它们的

三角函数值分别是多少？你是如何得到的？

［生］求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边

和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得

tan60°="a=6.

a

［生］也可以利用上节课我们得出的结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，一个锐角

人、“人石

的余弦等于它余角的正弦.可知sin600=cos(90°-60")=cos30°=---cos60°

2

=sin(90°-

60°)=sin30°=-.

2

［师生共析］我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三

角形.

设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,斜边行a.由此可求得

„a1v2„a1V2„a«

sin45=l=-j==,cos45==—；==----,tan45=—=1

V2aV22V2aV22a

［师］下面请同学们完成下表(用多媒体演示)

30°、45°、60°角的三角函数值

三角函数

角sinacoatana

j_V3V3

30°

2TV

V2V2

45。1

~T

j_

60°V3

~T2

这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、

45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.

为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的

正弦值，你能发现什么规律呢？

［生］30。、45。、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为6,6,

随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.

［师］再来看第二列函数值，有何特点呢？

［生］第二列是30。，45。、60°角的余弦值，它们的分母也都是2,而分子从大到小分

别为石，、历，余弦值随角度的增大而减小.

［师］第三列呢？

［生］第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个

锐角，所以tan45°=1比较特殊.

［师］很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、

45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.

2.例题讲解(多媒体演示)

［例1］计算：

(1)sin30°+cos45°；

(2)sin260°+COS260°-tan45°.

分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数

值进行计算时，一般不取近似值，另外sin为。。表示(sin60°)2,cos260°表示(cos600)".

解：(1)sin300+cos45°=1+

222

(2)sin260°+COS260°-tan,45°

31

+--1

44

=0.

［例2］一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时，摆角恰好为

60°,且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.（结果

精确到0.01m）

分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

解：根据题意（如图）

可知，ZB0D=60°,

0B=0A=0D=2.5m,

ZAOD=-X60°=30°,

2

.1.0C=0D-cos30°

=2.5X—^2.165(m).

2

AAC=2.5-2.165-0.34(m).

所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34m.

III.随堂练习

多媒体演示

1.计算：

（1）sin60°-tan45°；

（2）cos60°+tan60°；

受sin45。+sin6。。W5。.

2

解：（1）原式=且-1二/二2

22

⑵原式=L+百1+273

22­

⑶原式二无X正+且2X正」+凤2立

22222

2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7m,扶梯的长度是多少？

解：扶梯的长度为‘_=1=14（m）,

sin30°£

2

所以扶梯的长度为14m.

IV.课时小结

本节课总结如下：

⑴探索30°、45°、60°角的三角函数值.

1匹V3

sin30=—,sin45°==---，sin60°=---；

222

41。1

cos30°=——,co.s45°=---，cos60=一；

222

tan30°二,tan45°=1,tan60°=V3.

3

⑵能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

⑶能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小

V.课后作业

VI.活动与探究

（2003年甘肃中考）如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m,两楼间的距离AC=24

m,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影

子在乙楼上有多高？

（精确到0.1m,V2«1.41,V373）

［分析］根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E,直射到乙楼D点，D

点向下便接受不到光线,过点D作DBLAE（甲楼）.在RtABDE中.BD=AC=24m,ZEDB=30°.

可求出BE,由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.

字二8品.

［结果］在RSBDE中，BE=DB-tan30°=24X

：DF=BE,.\DF=873^8X1.73=13.84(m).

甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84Pl6.2(m).

备课参考资料

参考练习

12

1.计算：—.....

sin30073+1

答案：3-73

2.计算：(V2+l)-1+2sin30°-78

答案：-收

3.计算:(1+V2)0^|l_sin30°I1+(—)'.

2

答案：一

2

4.计算：sin60°+-------

1-tan60°

答案：

2

5.计算；2、（收003+”产cos60。1

1-V2"

答案：—-HV2

8

1.2锐角三角函数的计算（1）

教学目标

使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角

形的问题。

教学过程

一、由问题引入新课

问题：小明放一个线长为125米的风筝,他的风筝线与水平地面构成60°的角，

他的风筝有多高？（精确到1米）/

根据题意画出示意图，如右图所示，在RtZ\ABC中，AB=125米，/B=60°,

求AC的长。（待同学回答后老师再给予解答）

在上节课，我们学习了30°,45°,60°的三角函数值，假如把上题的ZB=60°改为NB

=63°,这个问题是否也能得到解决呢？揭示课题：已知锐角求三角函数值

二、用计算器求任意锐角的三角函数值

1、同种计算器的学生组成一个学习小组，共同探讨计算器的按键方法。教师巡视指导。

2、练一练：

(1)求下列三角函数值：sin60°,cos70°,tan45°,sin29.12°,cos37°4276",tanl8

31,

(2)计算下列各式：

sin250+cos65°;sin36°,cos72°;tan56°•tan34°

3、例1如图，在RtZXABC中，NC=90°,

已知AB=12cm,ZA=35°,

求AABC的周长和面积.

(周长精确到0.1cm,面积保留3个有效数字)

4、做一做:

求下列各函数值，并把它们按从小到大的顺序用连接:

(1)sin21°,sin34°23',sin46。24'46",sin58°,sin67°45',sin89°;

(2)cos27°121,cos85°,cos63°36715",cos54°23,，cos38°39752

(3)tan3°12'5〃,tan4O°55',tan73°3',tan35°,tan10°.

问：当a为锐角时，各类三角函数值随着角度的增大而做怎样的变化?

小结：sina,tana随着锐角a的增大而增大；

cosa随着锐角a的增大而减小.

三、课堂练习

课本第13页课内练习第1、2题.

四、小结

1.我们可以利用计算器求出任意锐角的三角函数值

2.我们可以利用直角三角形的边角关系解决一些实际的问题.

1.2有关三角函数的计算(2)

教学目标：

1、会用计算器求由锐角三角函数值求锐角。

2、会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决.

教学重点：会用计算器求由锐角三角函数值求锐角

教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关

系，从而利用所学知识把实际问题解决.

教学过程：

创设情景，引入新课

为了方便行人，市政府在10m高的天桥.两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多

少？

要解决这问题，我们可以借助科学计算器.怎样使用计算器由锐角三角函数值求锐角？这就

是我们这节课要解决的问题。（板书课题）

二、进行新课，探究新知

1、已知三角函数值求角度，要用到sin,cos,tan的第二功能键"sin4,cos-1,tan4"

键

例如按键的顺序1按键的顺序2显示结果NA的值

NAg78.99184039°

ShiftSin0.981Sin1=0.9816

sinA=0.98162ndfSin0.9816

6二=78.99184039

Shiftcos0.8602ndfcos0.8607NA公30.60473007°

cos-1=0.8607

cosA=0.86077二

=30.60473007

tan-1=0.189ZA^IO.70265749°

Shifttan0.189

tanA=0.18902ndftan0.1890=0

0二

=10.70265749

Shifttan56.78tan-1=56.78NA488.99102049°

tanA=56.782ndftan56.78=

=88.99102049

由于计算器的型号与功能的不同，按相应的说明书使用.

2、如果再按“度分秒键”，就换成度分秒

例如按键的顺序1按键的顺序2显示结果ZB的值

2ndfSin0.4NB^26°48751"

ShiftSin

511=Sin-1=0.4511

sinB=0.45110.4511

2ndfD°Mf=26°48，51.41〃

=°///

Sf

2ndfcos0.7ZB^38"12’52"

Shiftcos

857=cos-1=0.7857

cosB=0.78570.7857

2ndfD°=38°12f52.32〃

=°///

S，

Shifttan2ndftan1.4tan"=1.4036ZB^54°31z55〃

tanB=l.4036

1.4036036=二54。31，54.8〃

_O2ndfD°M'

Sz

3、练一,练:课N"第16页第1、2题

4、讲解例题

例1如图，工件上有一V型槽，测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角（/ACB）的大小

（结果精确到10）.

解：QtaaN4CD---—・O.SZdM.

CD19.2

AZ.K7^27.5".

AZ.ICB=1Z.ICD^lX27.5*=55*.

；.\甲珀的大小约55°.

例2、一段公路弯道呈圆忽形，测得弯道AB两端的距离为200m,AB的半径为1000m,求弯

道的长（精确到0.1m）

分析：因为弧AB的半径已知，根据弧长计算公式，要求弯道弧AB的长，只要求出弧AB所

对的圆心角NA0B的度数。作OC_LAB,垂足为C,则0C平分NA0B,在RtZ^OCB中，

BC=l/2AB=100m,0B=1000m,于是有Sin/B0C=l/10。利用计算器求出NB0C的度数，就能求

出NA0B的度数。

请同学们自己完成本例的求解过程。

5、练习：

（1）解决引例

（2）一梯子斜靠在一面墙上，已知梯子长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯子

与地面所成的锐角.

（3）第16页课内练习第3题

三、课堂小结：

1、由锐角的三角函数值反求锐角，该注意什么？

2、己知一个角的三角函数值，求这个角的度数（逆向思维）

四、布置作业：练习卷

课题解直角三角形

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学

教学生分析问题、解决问题的能力.

目标掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.

比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.

培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

难点1.理解坡比、仰角、俯角的概念

重点2.利用三角函数、边角关系、勾股定理解直角三角形

【知识要点一：直角三角形的边角关系】

1.三边关系：a2+b2c2(勾股定理)

2.三角关系：一直角，两锐角互余

3.边角关系：若NA是RtZXABC的一个锐角，则有

..的对边.的邻边.的对边

sinA人t、r，cosA人t、r，tanA

斜边斜边NN的邻边

例题讲解

例1如图，在中，NC=90°.

课

已知和a,贝!

堂(1)cJsin/=________,sin5=________.

已矢口和贝

教(2)aN418=________,c=__________.

过CA

学

程

过

Acnr)

程

例1图例2图

例2如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度比'=10m,N6=36°,则中柱为

底边中点)的长是()

A.5sin36°mB.5cos36°mC.5tan36OmD.lOtan36°m

例3如图，在RtZXd回中，NC—90°,AB-2y[5,sin8—4.尸为比1上动点，PD//AB,

PD交AC于点、D,连结北

(1)求/C,8c的长.

(2)设R7的长为x,△/小的面积为y,问：当x为何值时，y最大？最大值为多少？

例1如图是拦水坝的横断面，斜坡N6的水平宽度为12m,斜面坡度为1：2,则斜坡36的

长为m.

例2如图，长4m的楼梯46的倾斜角N4即为60。，为了改善楼梯的安全性能，准备重新

建造楼梯，使其倾斜角N/切为45°,则调整后的楼梯AC的长为()

A.2mB.2mC.(2-^3—2)mD.(2^6—2)m

例3如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高宽是10m,力410m,为了方便

使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面国的倾斜角30°.若新坡

面下〃处与建筑物之间需留下至少3m宽的人行道，问：该建筑物是否需要拆除(参考数据:

【变式训练】

1.如图，在平地筋上用一块10m长的木板48搭了一个斜坡，并用两根支柱/C,4?支撑.

其中明AD1MN,且/C=7.5m,则斜坡的坡度是()

A.3：5B.4：5C.3：4D.4：3

第2题

2.如图，在中，ZC=90°,ZA=15°,RAD=BD,则由图可知75°的正切值为

()

A.2^/3B.2+73C.小+小D.不能确定

3.某校门前正对一条公路，车流量较大，为便于学生安全通过，特建一座人行天桥.如图是

这座天桥的引桥部分示意图，上桥通道由两段互相平行的楼梯46,必和一段平行于地面的

平台比7构成.已知/力=37°,天桥高度加为5.1m,引桥水平跨度/〃为&3m.

(1)求水平平台6c的长度.

(2)若两段楼梯46：CQ10:7,求楼梯46的水平宽度/£的长.

343

（参考数据：sin37。cos370年，tan37。）

4.如图，在中，ZC=150°，47=4,tanB=^.

o

（1）求8c的长.

（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1,参考数据：镜-1.4,小M.7,4-2.2）.

【知识要点三：仰角、俯角】

例1如图，在地面上的点力处测得树顶6的仰角为a,AC^lm,则树高6c为（）

7

例2如图，一艘渔船由西往东航行，在点力处测得海岛。位于它的北偏东60。方向，前进

40海里到达点方处，此时测得海岛C位于它的北偏东30°方向，则海岛，到航线38的距离

CD是Q）

A.20海里B.40海里C.20/海里D.40十海里

例3如图，身高1.6m的小明为了测量学校旗杆AB的高度，在平地上。处测得旗杆顶端A

的仰角为30。，沿3方向前进3nl到达2处，在，处测得旗杆顶端/的仰角为45。，求旗

杆加的高度（参考数据：木七1.7,A/2^1.4）.

【变式训练】

1.如图，某飞机处于点。的正上方/处，此时飞行高度/C=1200m,从飞机上看地平面指

挥台6的俯角。=43°,则飞机/与指挥台6之间的距离为（精确到1m,参考数

据：sin43°心0.68,cos43°«0.73,tan43°心0.93）.

///1200m"中4二5飞、

RCRD

第1题第2题

2.如图，张三同学在C处测得塑像底部6处的俯角为18°48,，测得塑像顶部/处的仰角

为45°,点〃在观测点C正下方的地面上.若5=10m,则此塑像的高约为（参

考数据：tan71°12'以2.9）.

3.如图，上午9时，海检船位于/处，观测到某港口城市?位于海检船的北偏西67.5。方

向.海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达6处，这时观测到城

市户位于海检船的南偏西36.9。方向，求此时海检船所在6处与城市户的距离（参考数据：

331212

sin36.9。---tan36.90为,sin67.5。一瓦,tan67.5。-y）.

【综合例题讲解】

例1如图所示是某一公路路基的设计简图，等腰梯形加3表示它的横断面.原计划设计的坡

角为N/=22°37',坡长42=6.5m.现考虑到由于经济的发展，短期内车流量会增加，需

增加路面宽度，故改变原设计方案，将图中（一）、（二）两块分别补到上部（三）、（四）的位置,

使横断面皮诩为等腰梯形，重新设计后路基的坡角为32°,全部工程的土方数不变.请你计

512

算：重新设计后，路面宽将增加多少米（参考数据：sin22。37,仁科，cos22。37,,

55

tan22°37',tan32°）?

1Zo

（三力2—CG（H）

AENMFB

例2如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的点Z处发现海中东北方向的点6处有人求救,

便立即派三名救生员前去营救.1号救生员从点A处直接跳入海中，2号救生员沿岸边（岸边

看成是直线）向前跑到点C处，再跳入海中，3号救生员沿岸边向前跑300m到离点8处最近

的点，处，再跳入海中.救生员在岸上跑的速度都是6m/s,在水中游泳的速度都是2m/s.

若点方在点。的北偏东30。方向上，三名救生员同时从点力处出发，请说明谁先到达营救地

点6（参考数据：十七1.4,十心1.7）.

例3如图，台风中心位于点户处，并沿东北方向闾移动，已知台风移动的速度为30km//,

受影响区域的半径为200km,6市位于点户的北偏东75°方向上，距离户点320km处.

（1）说明本次台风会影响6市.

（2）求这次台风影响8市的时间.

例4如图，信号塔PQ座落在坡度i=l：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌.当太

阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2斯米，落在

警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高.（结果不取近似值）

【课后作业】

3

1.在Rt△/回中,/餐9。°,若"=4,sin^?则斜边上的高线长为（）

2.如图，一河坝的横断面为等腰梯形/灰力,坝顶8c宽10m,坝高庞为12m,斜坡的

坡度7=1：1.5,则坝底4?的长为（）

A.26mB.28mC.30mD.46m

第2题第3题

3.如图，在高为2m,坡比为1：4的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为()

A.4mB.6mC.4-\J2mD.(2+2-^3)m

4.如图，在一笔直的海岸线)上有48两个观测站，已知48=2km,从4站测得船。在北

偏东45。方向，从夕站测得船。在北偏东22.5°方向，则船C离海岸线，的距离(即切的

长)为()

A.4kmB.(2+72)kmC.2y[2kmD.(4-72)km

5.如图，线段AB,CD分别表示甲，乙两幢楼的高，ABLBD,CD_LBD.•从甲楼顶部A测得

乙楼顶C的仰角a=3.0°,乙楼底部D的俯角B=60°,已知甲楼的高AB=24.米，则乙楼高

CD为米.

6.如图，无人机于空中4处探测到目标属，，从无人机/上看目标属。的俯角分别为30°,

60°,无人机的飞行高度/C为60m,随后无人机从力处继续飞行30/m到达/处.

(1)求46之间的距离.

(2)求从无人机，上看目标〃的俯角的正切值.

AA

BDC

3.6直线和圆的位置关系

第1课时

、教学目标

1.理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数，圆心到直线的距离与半径之

间的关系来判定它们.

2.掌握直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数和

圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定.

二、课时安排

1课时

三、教学重点

理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数，圆心到直线的距离与半径之间

的关系来判定它们.

四、教学难点

掌握直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数和圆心

到直线的距离与半径之间的关系来判定.

五、教学过程

（一）导入新课

太阳与地平线的位置关系，列车的轮子与铁轨之间的关系，给你留下了的位

置关系的印象.

（二）讲授新课

探究1：作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,试说出直线和圆有几种

位置关系？

直线和圆的位置关系

你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？

利用公共点的个数判断直线和圆的位置关系具有一定的局限，你有更好的判断方法吗？

点和圆的三种位置关系

仿照这种方法怎样判断“直线和圆的位置关系”？

直线和圆的位置关系

令圆心。到直线/的距离为d,圆的半径为r

活动2：探究归纳

直线与圆位置关系的判定可以从数的角度和形的角度进行判定，数的角度是圆心到直线

的距离；形的角度是直线与圆的交点的个数.

（三）重难点精讲

例题：已知RtZ\ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm.

（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时,AB与。C相切？

（2）以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的

位置关系？

解：⑴过点C作CDLAB于点D.

\"AB=8cm,AC=4cm.

“AC1

cosA------——.

AB2

ZA=60°.

.-.CD=AC.sinA=4sin60=26（cm）.

因此,当半径长为cm时,AB与。C相切.

（2）由（1）可知，圆心到AB的距离d=2百cm,所以

当r=2cm时,d>r,AB与。C相离;

当r=4cm时,d<r,AB与。C相交.

（四）归纳小结

判定直线与圆的位置关系的方法有两种：

（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；

（2）根据性质，圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.

在实际应用中，常采用第二种方法判定.

（五）随堂检测

1.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=4cm,以点C为圆心，以2

cm的长为半径作圆，则。C与AB的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.相切或相交

2.在平面直角坐标系中，以点（3,2）为圆心、3为半径的圆，一定（）

A.与x轴相切，与y轴相切B.与x轴相切，与y轴相交

C.与x轴相交，与y轴相切D.与x轴相交，与y轴相交

3.（赤峰•中考）如图，。。的圆心到直线/的距离为3cm,。。的半径为1cm,将直线

，向右（垂直于/的方向）平移，使/与。。相切，则平移的距离是（）

A.1cmB.2cmC.4cmD.2cm或4cm

【答案】

1.答案为B

2.答案为B

3.答案为B

六.板书设计

3.6.1直线和圆的位置关系

七、作业布置

课本P91练习1、2

练习册相关练习

3.6直线和圆的位置关系

第2课时

一、教学目标

1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力.

2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力.

3.会作三角形的内切圆.

二、课时安排

1课时

三、教学重点

会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力.

四、教学难点

会作三角形的内切圆.

五、教学过程

（一）导入新课

直线和圆有什么样的位置关系？

（二）讲授新课

探究1：如图,AB是。0的直径，直线7经过点A,/与AB的夹角为/a当/绕点A顺时

针旋转时，圆心0到直线1的距离d如何变化？

你能写出一个命题来表述这个事实吗？

过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.

明确：：AB是。。的直径，直线CD经过A点，且CDLAB,CD是。。的切线.

B

这个定理实际上就是

d=r直线和圆相切

的另一种说法.

探究2：从一块三角形材料中，能否剪下一个圆,使其与各边都相切?

三角形的内切圆作法：

(1)作/ABC,NACB的平分线BM和CN,交点为I.

(2)过点I作IDLBC,垂足为D.

(3)以I为圆心，ID为半径作。I,。:［就是所求.

探究3：这样的圆可以作出几个呢?为什么？

VBE和CF只有一个交点I,并且点I到4ABC三边的距离相等，因此和4ABC三边都相

切的圆可以作出一个,并且只能作一个.

定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内

心，是三角形三条角平分线的交点.

分别作出锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的内切圆，并说明它们内心的位置情况.

判断题：

1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（）

2.三角形的外心到三角形各边的距离相等（）

3.等边三角形的内心和外心重合（）

4.三角形的内心一定在三角形的内部（）

活动2：探究归纳

内心均在三角形内部

（三）重难点精讲

例1.如图,AB是。0的直径，ZABT=45°,AT=BA.求证:AT是。0的切线.

证明：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB,

所以NABT=NATB,又由/ABT=45°,所以NATB=45°.由三角形内角和定理可证N

TAB=90°,即AT_LAB,故AT是。。的切线.

例2.如图，在△ABC中，点0是内心,（1）若NABC=50°,ZACB=70°，则NBOC的

度数是.

(2)若/A=80°,则/BOC=

(3)若NB0C=110°，

答案：（1）120°（2）130°（3）40°

（四）归纳小结

本课主要学习了哪些内容？

1.探索切线的判定条件.

2.作三角形的内切圆.

3.了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念.

(五)随堂检测

1.如图，已知直线