湖南省衡阳市名校联考联合体2024年高三下学期数学高考考前仿真联考试题

湖南省衡阳市名校联考联合体2024年高三下学期数学高考考前仿真联考试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x∣x2−4<0}A．{−2,−1,C．∅ D．{2．已知复数z=(a+bi)i(a,b∈R,i为虚数单位A．a2+b2≠0 B．ab=0 3．已知非零向量a,b满足a⊥b,A．1或-1 B．2或-2 C．1或2 D．-1或24．已知函数f(x)=loga(−x2+ax+3)(A．(1,2) B．(1,2] C．5．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是（）A．若m∥α,m∥βB．若m∥α,n∥αC．若α⊥β,β⊥γD．若m⊥α,m⊥β6．已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点为FA．2 B．2 C．22 7．将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（）A．34 B．45 C．148．如图，已知P是圆C:(x−2)2+A．1 B．2 C．3 D．2二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价x（单位：元）与销量y（单位：万件）的数据如下表所示：产品定价x（单位：元）99.51010.511销量y（单位：万件）1110865则下列结论正确的是（）A．产品定价x的平均值是10元B．产品定价x与销量y存在正相关关系C．产品定价x与销量y满足一元线性回归模型D．产品定价x与销量y的相关系数r≈−0参考公式：r=i=1参考数据：i=1510．已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)过点P(2,22)，其焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线l1,A．抛物线Γ的方程为yB．抛物线Γ的准线方程为x=−2C．△ACF和△BFD面积之和的最小值为7D．△ACF和△BFD面积之和的最小值为811．已知定义在实数集R上的函数f'(x)的图象关于点(1,0)中心对称，函数g(x)=(x−1)f(x)，且函数g(x)在(−∞,A．函数f'(x)的图象关于直线B．g(x)的图象关于点(1,C．若g'(−1)=−2D．g(三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象过点P(0,22)，则φ=13．如图，由直三棱柱ABC−A1B1C1和四棱锥14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2,四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15．在三角形ABC中，角A,B,C所对的边长分别为（1）证明：3c=4a；（2）若b=13,c=a+116．如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AC是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD是圆锥底面圆O的内接三角形，E是圆锥母线PC的中点，PO=6,（1）求证：平面BED⊥平面ABD；（2）设点M在线段PO上，且OM=2，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值.17．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知过点P(1,4)的直线与双曲线C右支交于A､B两点，点Q在线段AB上，若存在实数λ(λ>0且λ≠1)18．某电竞平台开发了A、B两款训练手脑协同能力的游戏，A款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.B款游戏规则是：共设计了n(n∈N∗，且n⩾2)关，每位玩家都有n次闯关机会，每关闯关成功的概率为13，不成功的概率为（1）电竞游戏玩家甲玩A款游戏，若第一关通过的概率为34，第二关通过的概率为2（2）电竞游戏玩家甲玩B款游戏，记玩家甲第i次闯关获得的分数为Xi(i=1,2,⋯,n)，求19．已知函数f(x)=xlnx+ax在点(1,f(1))处的切线与直线（1）求实数a的值；（2）求函数f(x)在区间[1（3）证明：f(x)⩾x

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A,C,D10．【答案】A,D11．【答案】A,C,D12．【答案】π4；13．【答案】2814．【答案】715．【答案】（1）证明：因为3sinCsinA=2−2cos2A=2−2(1−2sin因为A∈(0,π)，则所以3sinC=4sinA，由正弦定理得3c=4a.（2）解：由（1）有3(a+1)=4a，可得a=3,c=4，又由余弦定理可得cosB=a又B∈(0,π)，所以所以△ABC面积为S△ABC16．【答案】（1）证明：如图，设AC交BD于点F，连接EF，在圆锥PO中，PO⊥底面圆O，所以PO⊥BD，又等边三角形ABD是圆锥底面圆O的内接三角形，AC为直径，所以BD⊥AC，所以AB=ACsinπ3=2可知OF=12OC=1，即F又E是母线PC的中点，所以EF∥PO，所以EF⊥平面ABD.又EF⊂平面BED，所以平面BED⊥平面ABD.（2）解：由（1）EF⊥平面ABD,BD⊥AC，以点F为坐标原点，FA,FB,FE所在直线分别为在等腰三角形PAC中AC=4,又AF=3，所以BF=DF=AFtanπ所以A(3,∴AB设平面ABE的法向量为n=(x则AB⋅n=0,AE⋅n设直线DM与平面ABE所成的角为θ，则sinθ=|cos⟨1+317．【答案】（1）解：设双曲线C的半焦距为c，由|F1F2|=4所以a2又双曲线C的一条渐近线方程为y=3x，所以解得a=1,故双曲线C的方程为x2（2）解：设直线与双曲线C交于A(x1,因为存在实数λ>0且λ≠1，使得AP=−λ所以(1−x(x整理得：x1−λx2=1−λ得x12同理y1−λy2=4(1−λ)得y12由于双曲线C上的点的坐标满足3x③×3-⑥得3x即3−3λ2=(3x0表示点Q(x0,y0)在直线所以直线A2Q的斜率为18．【答案】（1）解：记事件Ai表示第i次通过第一关，事件Bi表示第设甲可以进入第三关的概率为P，由题意知P=P(=P(=3（2）解：依题意得Xi+1所以E(XE(X又随机变量X1X105P12所以E(X1)=所以{E(Xi)−10}为等比数列.其中首项为−所以E(Xi)−10=−所以E(X19．【答案】（1）解：由f(x)=xlnx+ax，得f'所以f'因为函数f(x)=xlnx+ax在点(1,f(1))处的切线与直线所以f'(1)×(−1（2）解：由（1）得f(x)=xlnx+x,x>0，所以当x∈(1e4当x∈(1e2所以fminfmax（3）明：由xlnx+x⩾x2−ex令ℎ(x)=xlnx−x2令φ(x)=x−2−lnx，可得φ'当0<x<1时，φ'(x)<0，所以φ(x)在当x>1时，φ'(x)>0,又φ(eφ(4)=4−2−ln4=2−2ln2>0，所以在(e−3,1)中存在唯一的x1使得φ(x1)=0，在因为φ(x)在(0,1)单调递减，在所以当0<x<x1时，φ(x)>0；当x1当1<x<x2时，φ