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江苏省南京市南师附中集团新城中学2024年中考四模数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,任意转动正六边形转盘一次,当转盘停止转动时,指针指向大于3的数的概率是()A. B. C. D.2.如图,菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4),顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数(x>0)的图象经过顶点B,则k的值为A.12 B.20 C.24 D.323.如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC于E,则△ADE的周长等于()A.8 B.4 C.12 D.164.下列条件中不能判定三角形全等的是()A.两角和其中一角的对边对应相等 B.三条边对应相等C.两边和它们的夹角对应相等 D.三个角对应相等5.如图,E,B,F,C四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是()A.AB=DE B.DF∥AC C.∠E=∠ABC D.AB∥DE6.四个有理数﹣1,2,0,﹣3,其中最小的是()A.﹣1B.2C.0D.﹣37.某种超薄气球表面的厚度约为,这个数用科学记数法表示为()A. B. C. D.8.一次函数y=ax+b与反比例函数,其中ab<0,a、b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是()A. B. C. D.9.下列调查中,调查方式选择合理的是()A.为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间,选择全面调查B.为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率,选择全面调查C.为了解神舟飞船设备零件的质量情况,选择抽样调查D.为了解一批节能灯的使用寿命,选择抽样调查10.已知O为圆锥的顶点,M为圆锥底面上一点,点P在OM上.一只蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是()A. B.C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.国家游泳中心“水立方”是奥运会标志性建筑之一,其工程占地面积约为62800m2,将62800用科学记数法表示为_____.12.计算的结果等于_____.13.某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉,如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图,根据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为_____元.14.若一次函数y=-2x+b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限,则b的值可以是_________.(写出一个即可)15.抛物线y=(x+1)2-2的顶点坐标是______.16.在平面直角坐标系中,如果点P坐标为(m,n),向量可以用点P的坐标表示为=(m,n),已知:=(x1,y1),=(x2,y2),如果x1•x2+y1•y2=0,那么与互相垂直,下列四组向量:①=(2,1),=(﹣1,2);②=(cos30°,tan45°),=(﹣1,sin60°);③=(﹣,﹣2),=(+,);④=(π0,2),=(2,﹣1).其中互相垂直的是______(填上所有正确答案的符号).三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,小明的家在某住宅楼AB的最顶层(AB⊥BC),他家的后面有一建筑物CD(CD∥AB),他很想知道这座建筑物的高度,于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°,顶部D的仰角是25°,他又测得两建筑物之间的距离BC是28米,请你帮助小明求出建筑物CD的高度(精确到1米).18.(8分)如图1,已知扇形MON的半径为,∠MON=90°,点B在弧MN上移动,联结BM,作OD⊥BM,垂足为点D,C为线段OD上一点,且OC=BM,联结BC并延长交半径OM于点A,设OA=x,∠COM的正切值为y.(1)如图2,当AB⊥OM时,求证:AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3)当△OAC为等腰三角形时,求x的值.19.(8分)﹣(﹣1)2018+﹣()﹣120.(8分)如图,是的直径,是圆上一点,弦于点,且.过点作的切线,过点作的平行线,两直线交于点,的延长线交的延长线于点.(1)求证:与相切;(2)连接,求的值.21.(8分)2018年4月份,郑州市教育局针对郑州市中小学参与课外辅导进行调查,根据学生参与课外辅导科目的数量,分成了:1科、2科、3科和4科,以下简记为:1、2、3、4,并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(未完成),请结合图中所给信息解答下列问题:(1)本次被调查的学员共有人;在被调查者中参加“3科”课外辅导的有人.(2)将条形统计图补充完整;(3)已知郑州市中小学约有24万人,那么请你估计一下参与辅导科目不多于2科的学生大约有多少人.22.(10分)发现如图1,在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形A1A2A3A4……An中(n为大于3的整数),∠A1A2A3=∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠An﹣(n﹣4)×180°.验证如图2,在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中,证明:∠ABC=∠A+∠C+∠D.证明3,在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中,证明;∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°.延伸如图4,在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四边形A1A2A3A4……An中(n为大于4的整数),∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠An﹣(n﹣)×180°.23.(12分)如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A(,1)在反比例函数y=的图象上.(1)求反比例函数y=的表达式;(2)在x轴上是否存在一点P,使得S△AOP=S△AOB,若存在,求所有符合条件点P的坐标;若不存在,简述你的理由.24.如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内,CM∥AN).求灯杆CD的高度;求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.1.sin37°≈060,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】分析:根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.详解:∵共6个数,大于3的有3个,∴P(大于3)=.故选D.点睛:本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.2、D【解析】

如图,过点C作CD⊥x轴于点D,∵点C的坐标为(3,4),∴OD=3,CD=4.∴根据勾股定理,得:OC=5.∵四边形OABC是菱形,∴点B的坐标为(8,4).∵点B在反比例函数(x>0)的图象上,∴.故选D.3、A【解析】

∵AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC于E,∴DA=DB,EA=EC,则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8,故选A.4、D【解析】

解:A、符合AAS,能判定三角形全等;B、符合SSS,能判定三角形全等;;C、符合SAS,能判定三角形全等;D、满足AAA,没有相对应的判定方法,不能由此判定三角形全等;故选D.5、A【解析】

由EB=CF,可得出EF=BC,又有∠A=∠D,本题具备了一组边、一组角对应相等,为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF,那么添加的条件与原来的条件可形成SSA,就不能证明△ABC≌△DEF了.【详解】∵EB=CF,∴EB+BF=CF+BF,即EF=BC,又∵∠A=∠D,A、添加DE=AB与原条件满足SSA,不能证明△ABC≌△DEF,故A选项正确.B、添加DF∥AC,可得∠DFE=∠ACB,根据AAS能证明△ABC≌△DEF,故B选项错误.C、添加∠E=∠ABC,根据AAS能证明△ABC≌△DEF,故C选项错误.D、添加AB∥DE,可得∠E=∠ABC,根据AAS能证明△ABC≌△DEF,故D选项错误,故选A.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.6、D【解析】解:∵-1<-1<0<2,∴最小的是-1.故选D.7、A【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【详解】,故选:A.【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.8、C【解析】

根据一次函数的位置确定a、b的大小,看是否符合ab<0,计算a-b确定符号,确定双曲线的位置.【详解】A.由一次函数图象过一、三象限,得a>0,交y轴负半轴,则b<0,满足ab<0,∴a−b>0,∴反比例函数y=的图象过一、三象限,所以此选项不正确;B.由一次函数图象过二、四象限,得a<0,交y轴正半轴,则b>0,满足ab<0,∴a−b<0,∴反比例函数y=的图象过二、四象限,所以此选项不正确;C.由一次函数图象过一、三象限,得a>0,交y轴负半轴,则b<0,满足ab<0,∴a−b>0,∴反比例函数y=的图象过一、三象限,所以此选项正确;D.由一次函数图象过二、四象限,得a<0,交y轴负半轴,则b<0,满足ab>0,与已知相矛盾所以此选项不正确;故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象,一次函数的图象,解题关键在于确定a、b的大小9、D【解析】

A.为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间,选择抽样调查,故A不符合题意;B.为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率,选择抽样调查,故B不符合题意;C.为了解神舟飞船设备零件的质量情况,选普查,故C不符合题意;D.为了解一批节能灯的使用寿命,选择抽样调查,故D符合题意;故选D.10、D【解析】

此题运用圆锥的性质,同时此题为数学知识的应用,由题意蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时所爬过的最短,就用到两点间线段最短定理.【详解】解:蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段,因此选项A和B错误,又因为蜗牛从p点出发,绕圆锥侧面爬行后,又回到起始点P处,那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后,位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点(P′)重合,而选项C还原后两个点不能够重合.故选D.点评:本题考核立意相对较新,考核了学生的空间想象能力.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、6.28×1.【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】62800用科学记数法表示为6.28×1.故答案为6.28×1.【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.12、【解析】分析:直接利用二次根式的性质进行化简即可.详解:==.故答案为.点睛:本题主要考查了分母有理化,正确掌握二次根式的性质是解题的关键.13、17【解析】

根据饼状图求出25元所占比重为20%,再根据加权平均数求法即可解题.【详解】解:1-30%-50%=20%,∴.【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法,属于简单题,计算25元所占权比是解题关键.14、-1【解析】试题分析:根据一次函数的图象经过第二、三、四象限,可以得出k<1,b<1,随便写出一个小于1的b值即可.∵一次函数y=﹣2x+b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限,∴k<1,b<1.考点:一次函数图象与系数的关系15、(-1,-2)【解析】试题分析:因为y=(x+1)2﹣2是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣1,﹣2),故答案为(﹣1,﹣2).考点:二次函数的性质.16、①③④【解析】分析:根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可;详解:①∵2×(−1)+1×2=0,∴与垂直;②∵∴与不垂直.③∵∴与垂直.④∵∴与垂直.故答案为:①③④.点睛:考查平面向量,解题的关键是掌握向量垂直的定义.三、解答题(共8题,共72分)17、39米【解析】

过点A作AE⊥CD,垂足为点E,在Rt△ADE中,利用三角函数求出的长,在Rt△ACE中,求出的长即可得.【详解】解:过点A作AE⊥CD,垂足为点E,由题意得,AE=BC=28,∠EAD=25°,∠EAC=43°,在Rt△ADE中,∵,∴,在Rt△ACE中,∵,∴,∴(米),答:建筑物CD的高度约为39米.18、(1)证明见解析;(2).();(3).【解析】分析:(1)先判断出∠ABM=∠DOM,进而判断出△OAC≌△BAM,即可得出结论;(2)先判断出BD=DM,进而得出,进而得出AE=,再判断出,即可得出结论;(3)分三种情况利用勾股定理或判断出不存在,即可得出结论.详解:(1)∵OD⊥BM,AB⊥OM,∴∠ODM=∠BAM=90°.∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M,∴∠ABM=∠DOM.∵∠OAC=∠BAM,OC=BM,∴△OAC≌△BAM,∴AC=AM.(2)如图2,过点D作DE∥AB,交OM于点E.∵OB=OM,OD⊥BM,∴BD=DM.∵DE∥AB,∴,∴AE=EM.∵OM=,∴AE=.∵DE∥AB,∴,∴.()(3)(i)当OA=OC时.∵.在Rt△ODM中,.∵.解得,或(舍).(ii)当AO=AC时,则∠AOC=∠ACO.∵∠ACO>∠COB,∠COB=∠AOC,∴∠ACO>∠AOC,∴此种情况不存在.(ⅲ)当CO=CA时,则∠COA=∠CAO=α.∵∠CAO>∠M,∠M=90°﹣α,∴α>90°﹣α,∴α>45°,∴∠BOA=2α>90°.∵∠BOA≤90°,∴此种情况不存在.即:当△OAC为等腰三角形时,x的值为.点睛:本题是圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质,圆的有关性质,勾股定理,等腰三角形的性质,建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.19、-1.【解析】

直接利用负指数幂的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案.【详解】原式=﹣1+1﹣3=﹣1.【点睛】本题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题的关键.20、(1)见解析;(2)【解析】

(1)连接,,易证为等边三角形,可得,由等腰三角形的性质及角的和差关系可得∠1=30°,由于可得∠DCG=∠CDA=∠60°,即可求出∠OCG=90°,可得与相切;(2)作于点.设,则,.根据两组对边互相平行可证明四边形为平行四边形,由可证四边形为菱形,由(1)得,从而可求出、的值,从而可知的长度,利用锐角三角函数的定义即可求出的值.【详解】(1)连接,.∵是的直径,弦于点,∴,.∵,∴.∴为等边三角形.∴,∠DAE=∠EAC=30°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠1=∠DCA-∠OCA=30°,∵,∴∠DCG=∠CDA=∠60°,∴∠OCG=∠DCG+∠1=60°+30°=90°,∴.∴与相切.(2)连接EF,作于点.设,则,.∵与相切,∴.又∵,∴.又∵,∴四边形为平行四边形.∵,∴四边形为菱形.∴,.由(1)得,∴,.∴.∵在中,,∴.【点睛】本题考查圆的综合问题,涉及切线的判定与性质,菱形的判定与性质,等边三角形的性质及锐角三角函数,考查学生综合运用知识的能力,熟练掌握相关性质是解题关键.21、(1)50,10;(2)见解析.(3)16.8万【解析】

(1)结合条形统计图和扇形统计图中的参加“3科”课外辅导人数及百分比,求得总人数为50人;再由总人数减去参加“1科”,“2科”,“4科”课外辅导人数即可求出答案.(2)由(1)知在被调查者中参加“3科”课外辅导的有10人,由扇形统计图可知参加“4科”课外辅导人数占比为10%,故参加“4科”课外辅导人数的有5人.(3)因为参加“1科”和“2科”课外辅导人数占比为,所以全市参与辅导科目不多于2科的人数为24×=16.8(万).【详解】解:(1)本次被调查的学员共有:15÷30%=50(人),在被调查者中参加“3科”课外辅导的有:50﹣15﹣20﹣50×10%=10(人),故答案为50,10;(2)由(1)知在被调查者中参加“3科”课外辅导的有10人,在被调查者中参加“4科”课外辅导的有:50×10%=5(人),补全的条形统计图如右图所示;(3)24×=16.8(万),答:参与辅导科目不多于2科的学生大约有16.8人.【点睛】本题考察了条形统计图和扇形统计图,关键在于将两者结合起来解题.22、(1)见解析;(2)见解析;(3)1.【解析】

(1)如图2,延长AB交CD于E,可知∠ABC=∠BEC+∠C,∠BEC=∠A+∠D,即可解答(2)如图3,延长AB交CD于G,可知∠ABC=∠BGC+∠C,即可解答(3)如图4,延长A2A3交A5A4于C,延长A3A2交A1An于B,可知∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠2+∠A4+∠4,再找出规律即可解答【详解】(1)如图2,延长AB交CD于E,则∠ABC=∠BEC+∠C,∠BEC=∠A+∠D,∴∠ABC=∠A+∠C+∠D;(2)如图3,延长AB交CD于G,则∠ABC=∠BGC+∠C,∵∠BGC=180°﹣∠BGC,∠BGD=3×180°﹣(∠A+∠D+∠E+∠F),∴∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣310°;(3)如图4,延长A2A3交A5A4于C,延长A3A2交A1An于B,则∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠2+∠A4+∠4,∵∠1+∠3=(n﹣2﹣2)×180°﹣(∠A5+∠A1……+∠An),而∠

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