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文档简介
吉林省舒兰市第九大区市级名校2023-2024学年中考联考数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.数轴上有A,B,C,D四个点,其中绝对值大于2的点是()A.点A B.点B C.点C D.点D2.如图,BD∥AC,BE平分∠ABD,交AC于点E,若∠A=40°,则∠1的度数为()A.80° B.70° C.60° D.40°3.下列实数中,最小的数是()A. B. C.0 D.4.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m,先到终点的人原地休息.已知甲先出发2s.在跑步过程中,甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系如图所示,给出以下结论:①a=8;②b=92;③c=1.其中正确的是()A.①②③ B.仅有①② C.仅有①③ D.仅有②③5.如图,点A是反比例函数y=的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为3,则k的值是()A.3 B.﹣3 C.6 D.﹣66.如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是()A. B. C.且 D.x<-1或x>57.若二次函数的图象与轴有两个交点,坐标分别是(x1,0),(x2,0),且.图象上有一点在轴下方,则下列判断正确的是()A. B. C. D.8.将直线y=﹣x+a的图象向右平移2个单位后经过点A(3,3),则a的值为()A.4B.﹣4C.2D.﹣29.如图,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠CAC′为()A.30° B.35° C.40° D.50°10.已知二次函数y=ax1+bx+c+1的图象如图所示,顶点为(﹣1,0),下列结论:①abc>0;②b1﹣4ac=0;③a>1;④ax1+bx+c=﹣1的根为x1=x1=﹣1;⑤若点B(﹣,y1)、C(﹣,y1)为函数图象上的两点,则y1>y1.其中正确的个数是()A.1 B.3 C.4 D.5二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.在△ABC中,∠C=90∘,AC=3,BC=4,点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,则12.某学校要购买电脑,A型电脑每台5000元,B型电脑每台3000元,购买10台电脑共花费34000元设购买A型电脑x台,购买B型电脑y台,则根据题意可列方程组为______.13.观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度,如图,一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°,已知楼房高AB约是45m,根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.14.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,以BC为边在三角形外作正方形BCDE,连接BD,CE交于点O,则线段AO的最大值为_____.15.当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,且其中一个根为另一个根的2倍时,称之为“倍根方程”.如果关于x的一元二次方程x2+(m﹣2)x﹣2m=0是“倍根方程”,那么m的值为_____.16.如图,在扇形AOB中∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当扇形AOB的半径为2时,阴影部分的面积为__________.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q.(1)求证:OP=OQ;(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形.18.(8分)如图,已知抛物线与轴交于两点(A点在B点的左边),与轴交于点.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点在抛物线上,点在抛物线的对称轴上,若以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标;(3)如图2,过点作直线的平行线交抛物线于另一点,交轴于点,若﹕=1﹕1.求的值.19.(8分)有一项工作,由甲、乙合作完成,合作一段时间后,乙改进了技术,提高了工作效率.图①表示甲、乙合作完成的工作量y(件)与工作时间t(时)的函数图象.图②分别表示甲完成的工作量y甲(件)、乙完成的工作量y乙(件)与工作时间t(时)的函数图象.(1)求甲5时完成的工作量;(2)求y甲、y乙与t的函数关系式(写出自变量t的取值范围);(3)求乙提高工作效率后,再工作几个小时与甲完成的工作量相等?20.(8分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交⊙O于点E,交BC于点D,过点E做直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;(3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.21.(8分)如图,在一个平台远处有一座古塔,小明在平台底部的点C处测得古塔顶部B的仰角为60°,在平台上的点E处测得古塔顶部的仰角为30°.已知平台的纵截面为矩形DCFE,DE=2米,DC=20米,求古塔AB的高(结果保留根号)22.(10分)某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡,根据它们的质量(单位:),绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:(Ⅰ)图①中的值为;(Ⅱ)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数;(Ⅲ)根据样本数据,估计这2500只鸡中,质量为的约有多少只?23.(12分)已知关于x的一元二次方程.求证:方程有两个不相等的实数根;如果方程的两实根为,,且,求m的值.24.如图,在中,,平分,交于点,点在上,经过两点,交于点,交于点.求证:是的切线;若的半径是,是弧的中点,求阴影部分的面积(结果保留和根号).
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、A【解析】
根据绝对值的含义和求法,判断出绝对值等于2的数是﹣2和2,据此判断出绝对值等于2的点是哪个点即可.【详解】解:∵绝对值等于2的数是﹣2和2,∴绝对值等于2的点是点A.故选A.【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键要明确:①互为相反数的两个数绝对值相等;②绝对值等于一个正数的数有两个,绝对值等于0的数有一个,没有绝对值等于负数的数.③有理数的绝对值都是非负数.2、B【解析】
根据平行线的性质得到根据BE平分∠ABD,即可求出∠1的度数.【详解】解:∵BD∥AC,∴∵BE平分∠ABD,∴故选B.【点睛】本题考查角平分线的性质和平行线的性质,熟记它们的性质是解题的关键.3、B【解析】
根据正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,进行比较.【详解】∵<-2<0<,∴最小的数是-π,故选B.【点睛】此题主要考查了比较实数的大小,要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法.(1)正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小.(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小.4、A【解析】
解:∵乙出发时甲行了2秒,相距8m,∴甲的速度为8/2=4m/s.∵100秒时乙开始休息.∴乙的速度是500/100=5m/s.∵a秒后甲乙相遇,∴a=8/(5-4)=8秒.因此①正确.∵100秒时乙到达终点,甲走了4×(100+2)=408m,∴b=500-408=92m.因此②正确.∵甲走到终点一共需耗时500/4=125s,,∴c=125-2=1s.因此③正确.终上所述,①②③结论皆正确.故选A.5、D【解析】试题分析:连结OA,如图,∵AB⊥x轴,∴OC∥AB,∴S△OAB=S△CAB=3,而S△OAB=|k|,∴|k|=3,∵k<0,∴k=﹣1.故选D.考点:反比例函数系数k的几何意义.6、D【解析】利用二次函数的对称性,可得出图象与x轴的另一个交点坐标,结合图象可得出的解集:由图象得:对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(1,0),∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0).由图象可知:的解集即是y<0的解集,∴x<-1或x>1.故选D.7、D【解析】
根据抛物线与x轴有两个不同的交点,根的判别式△>0,再分a>0和a<0两种情况对C、D选项讨论即可得解.【详解】A、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况,故本选项错误;B、∵x1<x2,∴△=b2-4ac>0,故本选项错误;C、若a>0,则x1<x0<x2,若a<0,则x0<x1<x2或x1<x2<x0,故本选项错误;D、若a>0,则x0-x1>0,x0-x2<0,所以,(x0-x1)(x0-x2)<0,∴a(x0-x1)(x0-x2)<0,若a<0,则(x0-x1)与(x0-x2)同号,∴a(x0-x1)(x0-x2)<0,综上所述,a(x0-x1)(x0-x2)<0正确,故本选项正确.8、A【解析】
直接根据“左加右减”的原则求出平移后的解析式,然后把A(3,3)代入即可求出a的值.【详解】由“右加左减”的原则可知,将直线y=-x+b向右平移2个单位所得直线的解析式为:y=-x+b+2,把A(3,3)代入,得3=-3+b+2,解得b=4.故选A.【点睛】本题考查了一次函数图象的平移,一次函数图象的平移规律是:①y=kx+b向左平移m个单位,是y=k(x+m)+b,向右平移m个单位是y=k(x-m)+b,即左右平移时,自变量x左加右减;②y=kx+b向上平移n个单位,是y=kx+b+n,向下平移n个单位是y=kx+b-n,即上下平移时,b的值上加下减.9、A【解析】
根据旋转的性质可得AC=AC,∠BAC=∠BAC',再根据两直线平行,内错角相等求出∠ACC=∠CAB,然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC,再求出∠BAB=∠CAC,从而得解【详解】∵CC′∥AB,∠CAB=75°,∴∠C′CA=∠CAB=75°,又∵C、C′为对应点,点A为旋转中心,∴AC=AC′,即△ACC′为等腰三角形,∴∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=30°.故选A.【点睛】此题考查等腰三角形的性质,旋转的性质和平行线的性质,运用好旋转的性质是解题关键10、D【解析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解:①由抛物线的对称轴可知:,∴,由抛物线与轴的交点可知:,∴,∴,故①正确;②抛物线与轴只有一个交点,∴,∴,故②正确;③令,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,故③正确;④由图象可知:令,即的解为,∴的根为,故④正确;⑤∵,∴,故⑤正确;故选D.【点睛】考查二次函数的图象与性质,解题的关键是熟练运用数形结合的思想.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、6【解析】
首先利用勾股定理求得斜边长,然后利用三角形中位线定理求得答案即可.【详解】解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=AC2+B∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点,∴DE=12BC,DF=12AC,EF=∴C△DEF=DE+DF+EF=12BC+12AC+12AB=1故答案为:6.【点睛】本题考查了勾股定理和三角形中位线定理.12、【解析】试题解析:根据题意得:故答案为13、135【解析】试题分析:根据题意可得:∠BDA=30°,∠DAC=60°,在Rt△ABD中,因为AB=45m,所以AD=m,所以在Rt△ACD中,CD=AD=×=135m.考点:解直角三角形的应用.14、【解析】
过O作OF⊥AO且使OF=AO,连接AF、CF,可知△AOF是等腰直角三角形,进而可得AF=AO,根据正方形的性质可得OB=OC,∠BOC=90°,由锐角互余的关系可得∠AOB=∠COF,进而可得△AOB≌△COF,即可证明AB=CF,当点A、C、F三点不共线时,根据三角形的三边关系可得AC+CF>AF,当点A、C、F三点共线时可得AC+CF=AC+AB=AF=7,即可得AF的最大值,由AF=AO即可得答案.【详解】如图,过O作OF⊥AO且使OF=AO,连接AF、CF,∴∠AOF=90°,△AOF是等腰直角三角形,∴AF=AO,∵四边形BCDE是正方形,∴OB=OC,∠BOC=90°,∵∠BOC=∠AOF=90°,∴∠AOB+∠AOC=∠COF+∠AOC,∴∠AOB=∠COF,又∵OB=OC,AO=OF,∴△AOB≌△COF,∴CF=AB=4,当点A、C、F三点不共线时,AC+CF>AF,当点A、C、F三点共线时,AC+CF=AC+AB=AF=7,∴AF≤AC+CF=7,∴AF的最大值是7,∴AF=AO=7,∴AO=.故答案为【点睛】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握相关定理及性质是解题关键.15、-1或-4【解析】分析:设“倍根方程”的一个根为,则另一根为,由一元二次方程根与系数的关系可得,由此可列出关于m的方程,解方程即可求得m的值.详解:由题意设“倍根方程”的一个根为,另一根为,则由一元二次方程根与系数的关系可得:,∴,∴,化简整理得:,解得.故答案为:-1或-4.点睛:本题解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系:若一元二次方程的两根分别为,则.16、π﹣1【解析】
根据勾股定理可求OC的长,根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积,依此列式计算即可求解.【详解】连接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点,∴∠COD=45°,∴OC=CD=1,∴CD=OD=1,∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积=﹣×11=π﹣1.故答案为π﹣1.【点睛】本题考查正方形的性质和扇形面积的计算,解题关键是得到扇形半径的长度.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)证明见解析(2)74【解析】试题分析:(1)先根据四边形ABCD是矩形,得出AD∥BC,∠PDO=∠QBO,再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB,即可证得OP=OQ;(2)根据已知条件得出∠A的度数,再根据AD=8cm,AB=6cm,得出BD和OD的长,再根据四边形PBQD是菱形时,利用勾股定理即可求出t的值,判断出四边形PBQD是菱形.试题解析:(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以AD∥BC,所以∠PDO=∠QBO,又因为O为BD的中点,所以OB=OD,在△POD与△QOB中,∠PDO=∠QBO,OB=OD,∠POD=∠QOB,所以△POD≌△QOB,所以OP=OQ.(2)解:PD=8-t,因为四边形PBQD是菱形,所以PD=BP=8-t,因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=90°,在Rt△ABP中,由勾股定理得:AB即62解得:t=74即运动时间为74考点:矩形的性质;菱形的性质;全等三角形的判断和性质勾股定理.18、(1);(2)和;(3)【解析】
(1)设,,再根据根与系数的关系得到,根据勾股定理得到:、,根据列出方程,解方程即可;(2)求出A、B坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形的性质,分类讨论点P坐标,利用全等的性质得出P点的横坐标后,分别代入抛物线解析式,求出P点坐标;(3)过点作DH⊥轴于点,由::,可得::.设,可得点坐标为,可得.设点坐标为.可证△∽△,利用相似性质列出方程整理可得到①,将代入抛物线上,可得②,联立①②解方程组,即可解答.【详解】解:设,,则是方程的两根,∴.∵已知抛物线与轴交于点.∴在△中:,在△中:,∵△为直角三角形,由题意可知∠°,∴,即,∴,∴,解得:,又,∴.由可知:,令则,∴,∴.①以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,设抛物线的对称轴为,l与交于点,过点作⊥l,垂足为点,即∠°∠.∵四边形为平行四边形,∴∥,又l∥轴,∴∠∠=∠,∴△≌△,∴,∴点的横坐标为,∴即点坐标为.②当以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,设抛物线的对称轴为,l与交于点,过点作⊥l,垂足为点,即∠°∠.∵四边形为平行四边形,∴∥,又l∥轴,∴∠∠=∠,∴△≌△,∴,∴点的横坐标为,∴即点坐标为∴符合条件的点坐标为和.过点作DH⊥轴于点,∵::,∴::.设,则点坐标为,∴.∵点在抛物线上,∴点坐标为,由(1)知,∴,∵∥,∴△∽△,∴,∴,即①,又在抛物线上,∴②,将②代入①得:,解得(舍去),把代入②得:.【点睛】本题是代数几何综合题,考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质,解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.19、(1)1件;(2)y甲=30t(0≤t≤5);y乙=;(3)小时;【解析】
(1)根据图①可得出总工作量为370件,根据图②可得出乙完成了220件,从而可得出甲5小时完成的工作量;(2)设y甲的函数解析式为y=kx+b,将点(0,0),(5,1)代入即可得出y甲与t的函数关系式;设y乙的函数解析式为y=mx(0≤t≤2),y=cx+d(2<t≤5),将点的坐标代入即可得出函数解析式;(3)联立y甲与改进后y乙的函数解析式即可得出答案.【详解】(1)由图①得,总工作量为370件,由图②可得出乙完成了220件,故甲5时完成的工作量是1.(2)设y甲的函数解析式为y=kt(k≠0),把点(5,1)代入可得:k=30故y甲=30t(0≤t≤5);乙改进前,甲乙每小时完成50件,所以乙每小时完成20件,当0≤t≤2时,可得y乙=20t;当2<t≤5时,设y=ct+d,将点(2,40),(5,220)代入可得:,解得:,故y乙=60t﹣80(2<t≤5).综上可得:y甲=30t(0≤t≤5);y乙=.(3)由题意得:,解得:t=,故改进后﹣2=小时后乙与甲完成的工作量相等.【点睛】本题考查了一次函数的应用,解题的关键是能读懂函数图象所表示的信息,另外要熟练掌握待定系数法求函数解析式的知识.20、(1)直线l与⊙O相切;(2)证明见解析;(3)214【解析】试题分析:(1)连接OE、OB、OC.由题意可证明BE=(2)先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF,然后再证明∠CBE=∠BAF,于是可得到∠EBF=∠EFB,最后依据等角对等边证明BE=EF即可;(3)先求得BE的长,然后证明△BED∽△AEB,由相似三角形的性质可求得AE的长,于是可得到AF的长.试题解析:(1)直线l与⊙O相切.理由如下:如图1所示:连接OE、OB、OC.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.∴BE=∴∠BOE=∠COE.又∵OB=OC,∴OE⊥BC.∵l∥BC,∴OE⊥l.∴直线l与⊙O相切.(2)∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB.∴BE=EF.(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=1.∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,∴△BED∽△AEB.∴DEBE=BEAE,即∴AF=AE﹣EF=494﹣1=21考点:圆的综合题.21、古塔AB的高为(10+2)米.【解析】试题分析:延长EF交AB于点G.利用AB表示出EG,AC.让EG-AC=1即可求得AB长.试题解析:如图,延长EF交AB于点G.设AB=x米,则BG=AB﹣2=(x﹣2)米.则EG=(AB﹣2)÷tan∠BEG=(x﹣2),CA=AB÷tan∠ACB=x.则CD=EG﹣AC=(x﹣2)﹣x=1.解可得:x=10+2.答:古塔AB的高为(10+2)米.22、(Ⅰ)28.(Ⅱ)平均数是1.52.众数为1.8.中位数为1.5.(Ⅲ)200只.【解析】分析:(Ⅰ)用整体1减去所有已知的百分比即可求出m的值;(Ⅱ)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可;(Ⅲ)用总数乘以样本中2.0kg的鸡所占的比例即可得解.
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