专题12 几何思想之等边三角形综合专练（原卷版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（沪教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题12几何思想之等边三角形综合专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35 B．40 C．50 D．602．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．43．在边长为8的等边中，为边上的中点，是线段上的一点，是射线上的一点，且，，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．64．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（）A．40° B．45° C．105° D．55°5．已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形6．下列命题正确的是（）①任何数的0次幂都等于1；②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；③等腰三角形顶角的外角是底角的二倍；④等腰三角形的角分线，高线，中线相互重合．A．①② B．②③ C．①③ D．②④7．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝1，AC＝3，△OCD周长的最小值是（）

A．4 B．5 C．6 D．78．如图，在等边ABC中，D为边AC上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60°，得到BAE，连接ED，若BC＝20，BD＝18，则AED的周长是（）

A．38 B．36 C．32 D．不确定9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边作等边△ABD，等边△ACE，等边△CBF．设△AEH的面积为S1，△ABC的面积为S2，△BFG的面积为S3，四边形DHCG的面积为S4，则下列结论正确的是（）A．S2＝S1＋S3＋S4 B．S1＋S2＝S3＋S4C．S1＋S4＝S2＋S3 D．S1＋S3＝S2＋S410．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A． B． C．a+b D．a二、填空题11．如图，等边三角形ABC，BC的高AD=4cm，点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则BP+EP的最小值_________．12．如图，将边长为的等边向右平移，得到，此时阴影部分的周长为______．13．如图，点A、B、C在一条直线上，∆ABD、∆BCE均为等边三角形．连结AE和CD，AE分别交CD、BD于点M、P，CD交BE点Q．连结PQ、BM．①ABE≌DBC；②∠DMA﹦60°；③BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中正确结论的序号是________________________．

14．如图，三角形和三角形是等边三角形，三角形绕点顺时针旋转后得三角形，为45度，则__度．15．如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为_________．16．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其中正确的是___________________________（填序号）.

17．如图，△ABC、△ADE、△DFG均为等边三角形，C、E、F三点共线，且E是CF的中点．下列结论：①△ADG≌EDF；②△AEC为等腰三角形；③∠GEB＝60°；④∠BAG＝∠BCE；⑤DF＝AD＋GE，其中正确的是_______（只填序号）18．小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是_____．三、解答题19．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）在图中，依题意补全图形；（2）记∠DCB=α（α＜45°），求∠BAF的大小；（用含α的式子表示）（3）若△BCE是等边三角形，猜想EF和AB的数量关系，并证明你的结论．20．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAC＝∠PAB，AD＝AP，连结DP，DC．（1）求证：△ADC≌△APB．（2）若PA＝4，PB＝3，PC＝5，求∠APB的度数．

21．已知A，B，C为△ABC的三边，且a2+b2+b2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由22．如图，△ABC是等边三角形，△ABD顺时针方向旋转后能与△CBD′重合．连接DD′，证明：△BDD′为等边三角形．23．已知，等边△ABC中，D为AC延长线上一点，以BD为斜边做Rt△BED使∠BED＝90°，∠BDE＝30°，连接CE并延长与射线AB交于点F，连接DF．（1）如图1，求证：∠FBE＝∠ADB；（2）如图1，求证：AD＝BF；（3）如图2，若∠AFC＝15°，EF＝4，求△DEC的面积．24．如图，在平面直角坐标系中，AO＝CO＝6，AC交y轴于点B，∠BAO＝30°，CO的垂直平分线过点B交x轴于点E．（1）求AE的长；（2）动点N从E出发，以1个单位/秒的速度沿射线EC方向运动，过N作x轴的平行线交直线OC于G，交直线BE于P，设GP的长为d，运动时间为t秒，请用含量t的式子表示d，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点M从A以1个单位/秒的速度沿射线AE运动，且点M与点N同时出发，MN与射线OC相交于点K，是否存在某一运动时间t，使得＝2，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．25．已知，在等边∆ABC中，点D是线段AB上一点，点E是射线CD上一点，且∠ACE＝2∠ABE．（1）如图（1）所示，求证：BC＝CE；（2）如图（2）所示，延长CE到点P，连接线段AP，BP，若AP＝AB，求∠BPC的度数；26．△ABC和△GEF都是等边三角形．问题背景：如图1，点E与点C重合且B、C、G三点共线．此时△BFC可以看作是△AGC经过平移、轴对称或旋转得到．请直接写出得到△BFC的过