专题 方程思想在勾股定理中的应用（原卷版）

八年级下册数学《第十七章勾股定理》专题方程思想在勾股定理中的应用题型一题型一利用直角三角形三边的和差倍分关系求边长【例题1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a：b＝3：4，c＝10，则△ABC的面积为（）A．24 B．12 C．28 D．30【变式1-1】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（）A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，a+c＝32，a：c＝3：5，则△ABC的周长为．【变式1-3】（2022春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（）A．8 B．10 C．24 D．48【变式1-4】已知直角三角形的斜边为2，周长为2+6A．12 B．1 C．62 D【变式1-5】（2022秋•遂川县期末2，AB＝3AC，求【变式1-6】（2022春•虞城县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c，（1）若a：b＝3：4，c＝15，求a，b的值．（2）若c﹣a＝4，b＝16，求a的值．【变式1-7】如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD＝1，BD=17，则BC的长为【变式1-8】（2021秋•重庆期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝．【变式1-9】（2021春•盘龙区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【变式1-10】（2021秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．（1）求证：CD⊥AB；（2）求AC长．题型二题型二利用公共边相等结合勾股定理列方程求长度【例题2】（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，则AD＝，BD＝；（2）若BC＝20，求CD的长．【变式2-1】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．【变式2-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．（1）求∠A的度数；（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．【变式2-3】如图，在△ABC中，AC=61，BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则ABA．10 B．11 C．12 D．13【变式2-4】（2021秋•浑南区期末）如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为．【变式2-5】如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？【变式2-6】（2022秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝210，AD⊥BC，垂足为D．（1）求证：∠B＝2∠CAD．（2）求BD的长度；（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离．题型三题型三翻折问题中的方程思想【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC上一点，将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，则折痕BD的长是（）A．5 B．34 C．35 D．61【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．154cm B．254cm C．74cm【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（）A．95 B．125 C．165 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣3，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为．【变式3-4】（2022秋•沙坪坝区期末）如图，△AB'C是将长方形ABCD沿着AC折叠得到的．若AB＝4，BC＝6，则OD的长为．【变式3-5】如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求CE的长；（2）求点D的坐标．【变式3-6】（2022秋•锦江区校级期中）如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，2），折叠长方形使得点C与点A重合，折痕交BC于点D、交OA于点E，点O的对应点为F．（1）求点D的坐标；（2）求折痕DE的长度．题型四题型四实际问题中的方程思想【例题4】（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．【变式4-1】（2021秋•源城区月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图①），小芳为了测量旗杆AB的高度，将绳子拉直，使绳子的另一端C刚好着地（如图②）．量得BC=5米，求旗杆AB的高度．【变式4-2】（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程【变式4-3】（2021春•绥宁县期末）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．【变式4-4】（2022春•昆玉市期末）如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？【变式4-5】（2021秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变）【变式4-6】（2022秋•抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【变式4-7】（2022秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．【变式4-8】（2021秋•叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判断△ACM的形状，并说明理由；（2）求公路AB的长．【变式4-9】（2022春•江津区期中）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．【变式4-10】（202