2024年中考九年级数学复习提升训练-因式分解 压轴题

2024年中考九年级数学复习提升训练一一因式分解压轴题

1.通过课堂的学习知道，我们把多项式"+2必+/及02一2必+匕2叫做完全平方式，

如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中

出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.

配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解

因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.

例如：分解因式

X2+2X-3=(%2+2X+1)-4=(X+1)2-4=(X+1+2)(X+1-2)=(X+3)(X-1)；

22

再例如求代数式2d+4x-6的最小值，2/+4尤-6=2(X+2X-3)=2(X+l)-8.

可知当x=-l时，2/+4x-6有最小值，最小值是-8,根据阅读材料用配方法解决下

列问题：

⑴代数式-/+2a+3的最大值为：

(2)若Af=/+/+口与N=6。-力，判断M、N的大小关系，并说明理由；

(3)已知：<7-6=2,ab+c2-4c+5^0,求代数式a+6+c的值.

2.材料一：一个正整数x能写成x=/一廿(/匕均为正整数，且偿。)，则称尤为“雪

松数”，a,b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若/+〃最大，则称

a,6为尤的最佳平方差分解，此时尸(x)=/+b?.

例如：24=72-52,24为“雪松数”，7和5为24的一个平方差分解，32=92-72,

32=62—2?,因为9?+7?>6+2?,所以9和7为32的最佳平方差分解,尸(32)=92+7：

材料二:若一个四位正整数,它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，

但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”.例如4334,5665均为“南麓数”.

根据材料回答：

(1)请直接写出两个“雪松数”，并分别写出它们的一对平方差分解；

⑵试证明10不是：“雪松数”；

(3)若一个数r既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两

位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数

t中尸⑺的最大值.

3.请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题:

例1：分解因式(尤2+2X)(Y+2X+2)+1；

解：将“/+2元”看成一个整体，^x2+2x=y；

原式=y(y+2)+l=y2+2y+l=(y+l)~=(x。+2x+l)~=(x+1)4；

例2：已知仍=1,求+的值.

l+d1+b

左刀11ab1b1.

角牛---------1---=-----1---=----1---=].

1+6?1+Z?ab+a1+b1+b1+b'

(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式(炉-6》+8)卜2-6*+10)+1进行因式分解;

⑵计算：

(1-2-3-...-2021)x(2+3+...+2022)-(1-2-3-...-2022)x(2+3+...+2021)=

⑶①已知而=1,求.+£的值;

5a5b5c

②若abc=1,直接写出的值.

ab+a+1bc+b+1ca+c+1

4.我们定义：一个整数能表示成/+从（。、6是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.

例如，5是“完美数”.理由：因为5=2?+12,所以5是“完美数”.

［解决问题］

（1）已知29是“完美数”，请将它写成/+〃（以/,是整数）的形式______；

⑵若f一6元+5可配方成（X-，"）-+"（机、〃为常数），则；

［探究问题］

（3）已知丁+/一2x+4y+5=0,贝！|x+y=；

（4）已知S=Y+4y2+4x-12y+Z;（无、y是整数，左是常数），要使S为“完美数”，试求

出符合条件的一个左值，并说明理由.

［拓展结论］

（5）已知实数x、y满足-V+gx+y-5=0,求x-2y的最值.

5.如果一个三角形有两个顶点满足横坐标的平方和等于横坐标积的二倍，且这两个顶

点不在坐标轴上，则称这个三角形为垂轴三角形，这两点称为垂顶点.

⑴若已知A（后4）,8（3,3）,C（3,l）,判断ASC是否为垂轴三角形；

⑵如图，OAB为垂轴三角形，点O是坐标原点.设点A（a,6）,Q<b〈岛.若OA=OB,

以。4为边作等边.AOP,顶点尸在落在第二象限，OF平分/POB,且NABR=30。,

连接尸尸交y轴于点E.

①探究AB与PF的位置关系；

②若尸点的坐标为（5,4-机），求点尸的坐标（用含。、机的式子表示）.

6.［项目学习］配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒

等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形

中，并结合非负数的意义来解决一些问题.

例如，把二次三项式/一2》+3进行配方.

解：x2-2x+3=x2-2x+l+2=［x2-2x+l）+2^（x-l）2+2.

我们定义：一个整数能表示成/+匕2（。，6是整数）的形式，即两个数的平方和形式，

则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”.理由：因为5=22+F.再如，

M=d+2盯+2y2=（x+y）?+y2（x,y是整数），所以M也是“雅美数”.

（1）［问题解决］4,6,7,8四个数中的“雅美数”是.

⑵若二次三项式d-6x+13（尤是整数）是“雅美数”，可配方成（x-相『+〃（加，”为

常数），则的值为;

3

（3）［问题探究］已知S=/+4/+8x-12y+左（x,>是整数，k是常数且w,>*］），

要使S为“雅美数”，试求出符合条件的左值.

（4）［问题拓展］已知实数M,N是“雅美数”，求证：是“雅美数”.

7.材料一：一个三位数若它的各数位上的数字均不为0,且满足十位上的数字的

平方等于百位数字与个位数字之积的左倍（人为整数），则称M为絮阶比例中项数”；

材料二：一个三位数P=诙，它的百位数字和十位数字组成的两位数为瓦，十位数字

和个位数字组成的两位数为瓦，规定歹（尸）=瓦+5瓦；

例如：244,因为42=2x2x4,其中％=2,2是整数，所以244是“2阶比例中项数”，

F（244）=24+5x44=244；

44

又如：321,因为22=§x3xl,但§不是整数，所以321不是一个“左阶比例中项数”，

"321）=32+5x21=137.

（1）363是“阶比例中项数”；最大的"3阶比例中项数”为；

⑵若N=100"?+10〃+l（其中1《机<4,2<o<8,m,"均为正整数，且"为偶数）

是一个“左阶比例中项数”，且歹（N）被7除余1,求出所有满足条件的N.

8.一个两位数M,若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N,当N>0

时，我们把N放在M的右边将所构成的新数叫做M的“叠加数”.

例如：M=47,：N=(2x4)2—72=15>0,47的“叠加数”为4715；

M=26,N=(2x2)2-62=-20<0,26没有“叠加数”.

(1)请判断3420和5846是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由；

(2)两位数M=10a+6(l<a<9,l<b<4,且。、6均为整数)有“叠加数”，且12a—N

能被13整除，求所有满足条件的两位数M的“叠加数”.

9.观察下列各式：(xwO)

(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格:

⑵用数学的整体思想方法，设［=根，分解因式：(疗+机6+W+/+/+疗+m+1),

(3)已知1+2+22+23+24+25+26+27=(32­04,(2、6、。、1都是正整数,且。＞6＞。＞1,

化简求，包的值.

ycd)I17c)a

10.数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问

题的思想.我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：

探索整式乘法的一些法则和公式.

⑴探究一:

将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可

得一个多项式的分解因式

(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为。的大正方体进行以下探索:

在大正方体一角截去一个棱长为伏6＜。)的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的

体积为

(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，'：BC=a,

AB=a-b,CF=b,...长方体①的体积为ab(a-b).类似地，长方体②的体积为.

长方体③的体积为.(结果不需要化简)

(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式(将一个多项式因式分解)

为.

(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6,ab=2,求的值.

(6)类比以上探究，尝试因式分解：«3+^=_.

11.我们知道，任意一个正整数〃都可以进行这样的分解：n=pxq（p,4是正整数,

且在"的所有这种分解中，如果p,g两因数之差的绝对值最小，我们就称

是“的最佳分解，并规定；歹（"）=',例如12可以分解成1x12,2x6或3x4,因为

q

12-1>6-2>4-3,所以3x4是12的最佳分解，所以F（12）="

⑴求尸（24）；

（2）如果一个正整数〃只有1与根本身两个正因数，则相称为质数.若质数加满

足网m+4）=1,求的值；

⑶是否存在正整数〃满足尸（力）=尸（〃+12）=；,若存在，求W的值：若不存在，说明

理由.

12.阅读题.

材料一:若一个整数m能表示成a2-b2（a,b为整数）的形式，则称这个数为"完美数".例如，

3=22-12,9=32。,12=42-22,则3,9,12都是"完美数”;再如,M=x2+2xy=（x+y）2-y2,（x,y

是整数），所以M也是"完美数”.

材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pxq（p、q是正整数，且p<q）.如

果pxq在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称pxq是n的最佳分

解，并且规定F(n)=K.例如18=1x18=2x9=3x6,这三种分解中3和6的差的绝对值

q

31

最小，所以就有F(18)===：.请解答下列问题：

62

(1)8(填写"是"或"不是")一个完美数，F®=.

⑵如果m和n都是"完美数"，试说明mn也是完美数

⑶若一个两位数n的十位数和个位数分别为x,y(l<x<9),n为"完美数"且x+y能够被8整

除，求F(n)的最大值.

13.若一个两位正整数m的个位数为8,则称m为“好数”.

(1)求证：对任意“好数”m,11?一64一定为20的倍数；

(2)若m=p2-q2,且p,q为正整数,则称数对(p,q)为“友好数对”，规定："(〃?)=",

P

[68

例如68=182-162,称数对(18,16)为“友好数对”，贝朋(68)=R=§,求小于50的“好

数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值.

14.把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解

题方法叫做配方法.

如：①用配方法分解因式：a2+6a+S,

解：原式=〃+6。+8+1-1=。2+6。+9-1

=(。+3)2-12=[(a+3)+l][(a+3)-ll=(a+4)(«+2)

②M=a2-2aT,利用配方法求M'的最小值.

：4-_2a_]=q-_2a+1—2=(a-1)~—2

,."(a-b)2>0,.•.当a=l时，M有最小值一2.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)用期方渚因式分解：X2+2X-3.

(2)若河=2尤2_8X,求M的最小值.

(3)已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0,求x+y+z的值.

15.阅读下列材料：

1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方

程求解，并最早给出因式分解定理.

他认为：对于一个高于二次的关于龙的多项式，“关=。是该多项式值为0时的一个解”

与“这个多项式一定可以分解为（》一。）与另一个整式的乘积”可互相推导成立.

例如：分解因式三+2H-3.

,・・％=1是d+2/_3=0的一个解，・,・二+2%2_3可以分解为（1-1）与另一个整式的乘积.

设+2/—3=（无一1）（以2+区+c）

而（X—1）（62+区+。）=61r3+9―〃）％2+（0_勾％_。，贝”有

。=1（

a=1

〃_〃—2

<人。，得胆=3，从而x3+2f-3=（x-l乂/+3犬+3）

运用材料提供的方法，解答以下问题:

(1)①运用上述方法分解因式d+2x+3时，猜想出V+2x+3=0的一个解为

(只填写一个即可)，则d+2x+3可以分解为